Como  tudo  começou....

 

 Procurar  as  origens  da  Matemática  significa  ir  até  a os  primórdios  da  história  humana  e  percorrer  as  etapas  do  desenvolvimento da inteligência da nossa espécie.

De  facto  a  Matemática  antes  de  ser uma  ciência  foi  um  conjunto  de  métodos  empíricos  aplicados  à  vida  prática  dos  nossos  antepassados. 

Para  encontrar  estas  origens  é  necessário  mergulhar  na  história  da  evolução...

Na  verdade  o  conceito  de  número - inserido  na  própria  Natureza - pode  ser  notado,  por  exemplo,  no  comportamento  de  muitos  animais.

 

Quando  os  nossos  antepassados  passaram  das  actividades  primitivas  exclusivas  da  caça  e  da  pesca  às  das  pastagem  e  agricultura  a  necessidade  de  contar  com  maior  precisão  fez-se  sentir.

Os  homens  primitivos  devem  ter  compreendido  que  uma  "porção"  de  quatro  cabras  era  bastante  diferente  de  uma  "porção"  de  dezasseis  ou  de vinte...

Assim  surgiu  o  primeiro  sistema  de  "Matemática  Aplicada"!

 

Alguns  começaram  a  controlar  as  suas  cabeças  de  gado  fazendo,  por  cada  unidade,  um  corte  na  casca  de  uma  árvore,  outros  faziam  nós  em  cordas  de  lianas  e  outros  amontoavam  conchinhas,  pedras  ou  pauzinhos ( um  por  cada  animal  contado ).

Foi  assim  que os  homens  da  Pré-História  inventaram  o  sistema  que  depois  os  matemáticos  definiram  como  correspondência  biunívoca  entre  duas  ordens :  tantas  pedrinhas,  pauzinhos  ou  conchas  por  tantos  animais.

 

Mas  o homem  tomou  consciência  que  tinha  à  sua  disposição  a  possibilidade  de  uma  "correspondência  biunívoca"  ainda  mais  simples  e  começaram  a  contar  servindo-se  dos  dedos  das  mãos  e  também  dos  pés.

Para  fazer  os  cálculos  relativos a  entidades  superiores  a  dez  ou  vinte  foi  criada,  não  se  por  quem,  uma  "base de transporte".  Certas  tribos  primitivas  ainda  hoje  quando  se  querem  referir  a  doze  elementos  mostram  uma  mão  mais  dois  dedos (a  mão  serve  aqui  como  base  de  transporte).

 

Um  passo  fundamental  no  processo  de  abstracção  matemática  foi  o  da  criação  dos  " símbolos  numéricos" Alguns  povos  - os  Babilónios, Egípcios,  os  Gregos  e  os  Indianos - por volta do ano 3.000 a.C,  inventaram  um conjunto de símbolos  baseados em linhas ou traços  e  já  indicavam  o  1  com  um  símbolo  semelhante  ao  nosso   mas  o  nosso  sistema  numérico  é  designado  geralmente  com  o  atributo  de  árabe.  Os  símbolos  gráficos  dos  números  são  de  origem  indiana  tendo  os  Árabes  servido  de  intermediários  para  transportar  do  Oriente  para  o  ocidente  os  sistemas  de  numeração  moderna.

 

Os  Hindus,  além  dos  símbolos  dos  números,  tiveram  também  o  mérito  de  inventar  o  zero (por volta do ano 2.300 a.C.) .  Uma  das  explicações  mais  interessantes  para  o  aparecimento  deste  número  parece  ser  a  que  liga  o  conceito  de  zero  à  ideia  de  "nada"  bem  expressa  no  misticismo  religioso  hindu  pelo  chamado  Nirvana.

 

Por  volta  do  ano  2.000 a.C.  foi  inventado  na  Mesopotâmia  um  sistema  de numeração  posicional  denominado  Sistema  Cuneiforme. 

 

No  ano  1.000 a.C.  os  antecessores  dos  Maias  tinham  a  preocupação  de  memorizar  as  datas  dos  acontecimentos  que  consideravam  mais  importantes.  Assim,  passavam  o  seu  saber  de  uma  geração  para  outra.  Usavam  símbolos  pictóricos  para  escrever  e   inventaram  um  sistema  de  numeração  posicional  cujo objectivo  era  marcar  o  tempo  a  partir  de  observações  estelares. 

 

Mais  ou  menos  no  ano  400 a.C., enquanto  os  chineses  já  usavam  seus  ábacos de  mesa,  as  civilizações  que  ocupavam  a  região  andina  onde  floresceu,  entre  outras,  a  civilização  inca  usavam  feixe  de  cordas  delgadas  providas  de  nós  de  cores  e  de  torções  diferentes  para  calcular  a  colheita  de  milho  (cada  nó,  um feixe de milho).

 

A  Teoria  dos  Números  nasceu  cerca  de  600 a. C. quando  Pitágoras  e  os  seus  discípulos  começaram  a  estudar  as  propriedades  dos  números  inteiros.    Os  pitagóricos  rendiam  verdadeiro  culto  místico  ao  conceito  de  número ,  considerando-o  como  essência  das  coisas.  Acreditavam  que tudo  no  universo  estava  relacionado  com  números  inteiros (em  linguagem  actual  números  racionais).  

Na  antiguidade  a  designação  número  aplicava-se  só  aos  inteiros  maiores  do  que  um.

Esta  crença  foi  profundamente  abalada  quando  Pitágoras  calculou  a  medida  da  diagonal  de  um  quadrado  de  lado  1  e  verificou  que  o  número  obtido  não  podia  ser  expresso  como  quociente  de  números  inteiros.

             E  assim  surgiu  um  número  irracional...

Com esta  descoberta  os  pitagóricos  consideraram  que  estava  quebrada  a  harmonia  do  universo  visto  que  "não  podiam  aceitar  a  raiz  quadrada  de  2  como  um  número,  mas  também  não  podiam  negar  que  esta  raiz  era  a  medida  da  diagonal  do  quadrado  unitário".

Convencidos  de  que  os  deuses  os  castigariam  caso  divulgassem  aquilo  que  lhes  parecia  uma  imperfeição  divina,  tentaram  ocultar  a sua  descoberta.

Este  facto  teve  grandes  repercussões  na  história  da  ciência  que  se  fizeram  sentir  até finais  do  século  XIX.  De  cada  vez  que  as  necessidades  do  cálculo  levavam  a  introduzir  " novos  entes  numéricos"  gerava-se  uma  enorme  desconfiança  à  sua  volta.  Assim  os  números  irracionais  eram  designados  por  números  inexprimíveis  e  por  números  incalculáveis.

Durante  muitos  séculos  os  números  reais (fraccionários  ou  racionais  e irracionais)  foram  apenas  concebidos  como  medidas  de  grandeza  e  só  nos  finais  do  século  XIX,  principalmente  por  obra  do  matemáticos  alemães  Dedekind  e  Cantor,  se  construiu  uma  teoria  dos  números  reais  independente  da  geometria.

Nos séculos XI e XII, por intermédio dos árabes, o sistema de numeração posicional na base decimal com zero provavelmente originário da Índia, difundiu-se no Ocidente.

 Desde essa época, a teoria aritmética foi pouco a pouco desenvolvendo-se  sob a pressão das necessidades práticas do comércio, das finanças e da astronomia. Entre os factos mais importantes da matemática, naquela época , refere-se a introdução dos números decimais, isto é, a conversão das fracções ordinárias em fracções decimais, atribuída , segundo alguns historiadores, ao astrónomo alemão Johann Muller ( 1436 - 1476 ), mais conhecido sob o nome de Regiomontanus . Outros historiadores atribuem-na a Stewin, matemático holandês ( 1548 - 1620 ), que publicou em 1585, na Disme, as primeiras noções sobre as fracções decimais. 

Os logaritmos foram introduzidos por John Neper  ou Napier, barão escocês      (1550-1617) e depois Bürgi, por volta de 1600, independentemente.

No século XVI, Viete ( 1540-1603 ) e Bachet ( 1581 - 1638 ) trouxeram para o estudo da Aritmética precisões importantes, mas foi sobretudo Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) quem, por suas concepções geniais, deu um desenvolvimento considerável ao estudo das propriedades dos números. 

Enfim, para estabelecer a Aritmética tal como a concebemos hoje, isto é, formando um conjunto de propriedades intimamente ligadas umas às outras por dedução, grandes matemáticos aplicaram os métodos mais elevados da análise algébrica e infinitesimal.

 

 

Um pouco da história dos números complexos…

 

As equações do segundo grau apareceram na Matemática aproximadamente 1700 anos antes de Cristo nas tabuletas de argila da  Suméria, e em alguns casos levaram a radicais de números negativos, porém não foram elas, em nenhum momento que sugeriram o uso dos números complexos.

O primeiro exemplo de radical de número negativo foi publicado, aproximadamente em 75 D.C. por Heron, num cálculo sobre o desenho de uma pirâmide em que surge a necessidade de avaliar a raiz quadrada de (84-100) que não provocou maiores problemas e foi trocada pela  raiz quadrada de (100-84) .

Aproximadamente no ano 275 D.C. Diophanto resolvendo um problema geométrico chega à equação 24x² - 172x + 366 = 0  cujas raízes envolvem o cálculo da raiz quadrada de -167   mas  não sente  a  necessidade de dar sentido à expressão .

Por volta de 850 D.C., o matemático indiano Mahavira afirma:

... como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto raiz quadrada.

Bhaskara (1114 – 1185 aprox.) afirma:

O quadrado de um afirmativo é um afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.

O matemático Luca Paccioli (1445 – 1514) publica em 1494 que a equação x²+c=bx é solúvel se ¼ b² ≥ c e o francês Nicola Chuquet (1445 – 1500 aproximadamente) faz observações semelhantes sobre "soluções impossíveis" em publicação de 1484.

Gerónimo Cardano (1501 – 1576) considerava que o surgimento de radicais negativos na resolução de um problema apenas indicava que o mesmo não tinha solução, mas apesar disso resolve um problema que consiste em dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes tal que o produto delas seja 40, a partir da equação x (10-x) = 40 ou x² - 10x - 40 = 0 cujas soluções envolvem raizes quadradas de números negativos.

Cardano reconhece que o problema não tem solução, mas observa que se somarmos as duas raízes, obtemos 10 e se as multiplicamos considerando (-15)² = 15, teremos como resultado 40.

Os números complexos surgem da resolução da equação do terceiro grau, dos seguintes tipos: x3 + ax = b,   x3 = ax + b  e  x3 + b =ax. Em 1545 Cardano publicou uma fórmula para resolver equações do terceiro grau, que ficou conhecida por "Fórmula de Cardano", mas foi Tartaglia (1500 – 1557 aproximadamente) que lhe deu tal sugestão.

Raphael Bombelli (1526 – 1573) um admirador de Cardano, decidiu escrever um livro sobre os mesmos assuntos mas de maneira mais clara, publicado em 1572. 

Provavelmente pela primeira vez, surge uma situação na qual, apesar do resultado apresentar radicais de números negativos, existe verdadeiramente uma solução para ela. O que fez com que Bombelli começasse a tentar compreender o que estava acontecendo.

Uma das dificuldades que Bombelli se deparava era não dispor de uma boa notação, mas mesmo assim mostrou o papel importante que os números imaginários conjugados iriam desempenhar no futuro. Porém, na época a observação não ajudou na operação efectiva de resolver equações cúbicas, pois precisava saber antecipadamente o valor de uma de suas raízes, pois sem isso o seu método falha.

Efectivamente o símbolo raiz quadrada de (-1) foi introduzido por Albert Girard em 1629, quando enuncia claramente as relações entre raízes e coeficientes de uma equação.

O símbolo i foi usado pela primeira vez para representar o símbolo raiz quadrada de (-1)  por Leonhard Euler em 1777, foi impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801.

Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637.

A expressão número complexo foi introduzida por Gauss em 1832.

A partir do trabalho de Bombelli os números complexos começam a ser usados, ao mesmo tempo que duvidava-se de sua existência.

A primeira tentativa de dar um significado concreto aos números complexos através de uma "interpretação geométrica" é devida a John Wallis (1616 – 1703), discutindo a impossibilidade da existência de quantidades imaginárias comparando essa questão à existência de quantidades negativas.

Em 1702 Jean Bernoulli sustenta que um número e seu oposto tem o mesmo logaritmo. Esse facto intrigava os matemáticos no começo do século XVIII, mas em 1747 Euler escreveu a d’Alembert explicando correctamente a questão dos números complexos.

Em 1707 Moivre publica a solução da equação de grau ímpar, por um método análogo ao de Cardano.

Roger Cotes (1682 – 1716) obteve em 1714 um importante resultado sobre a obtenção das raízes enésimas de números complexos chegando ao resultado: 

log e (cos θ + i sen θ) . 

Se não tivesse morrido prematuramente teria chegado à fórmula de Moivre: (cos θ + i sen θ)n = cos (n θ) = i sen (n θ), publicada em 1722, limitando-se a casos particulares e nunca chegando a enunciar ou demonstrar a fórmula no caso geral.

Quem realizou tal prova foi Euler (1707 – 1754) que em 1748 redescobre a fórmula de Cotes, demonstra a fórmula de Moivre e estende sua validade para todo expoente real, estabelecendo definitivamente a existência de raízes no campo complexo.

 

A formalização completa dos números complexos como pares ordenados de números reais será desenvolvida em 1833 por Hamilton (1805 – 1865) 

e em 1847 por Cauchy (1789 – 1857) com outro tipo de formalização.