Aproximações
a uma pequena história do Ensino da Matemática em Portugal
Versão
1.0
1772 - Estatutos da
Universidade de Coimbra
“haverá todos os
Mezes hum Exercicio Geral. Para elle determinaráõ os Lentes hum
assumpto tal, que peça discussão, e dê materia a huma breve
Dissertação.” (Liv. III, Part. II, Tit. V, Cap. IV)
"Cuidaraõ
tambem muitos os Lentes, em que os Discipulos se ponham no caminho dos
Inventores: Presentando-lhes para isso algumas materias pelos passos, que se
deram, ou podiam dar, até se chegar ao descubrimento das verdades, que
nellas se contém: Mostrando-lhes os indicios, por onde se suspeita, e
conjectura primeiro o que se poderá achar; e os meios, e tentativas, que
se applicam para o descubrir: E dando-lhes huma idéa circumstanciada da evolução
dos descubrimentos Mathematicos, e de como por degráos se passou de huns
aos outros: Porque este assumpto merece particulares reflexões; em
razão de servir de exemplo a quem pretende empregar-se utilmente nestas
Sciencias" (Liv. III, Parte II, tít. V, Cap. II, § 12.)
1772 - Estatutos da
Universidade de Coimbra
Sobre as aulas da cadeira do primeiro ano,
Geometria:
“1 Para que as Lições do Curso
Mathematico se
façam com boa ordem, e com aproveitamento dos Estudantes: O Lente de Geometria, a quem pertencem as Disciplinas
do Primeiro Anno, antes de entrar nas Lições proprias da sua
Cadeira, lerá os Prolegomenos Geraes das Sciencias Mathematicas.
2 Nelles fará uma Introducção breve,
e substanciada ao Estudo destas Sciencias: Mostrando o objecto, divisão,
e prospecto geral delas: Explicando o Methodo, de que se servem; a utilidade, e
excelencia delle: E fazendo hum Resumo dos sucessos principaes da sua Historia
pelas Epocas mais notaveis della. Taes são: Desde a origem da
Mathematica, até o Seculo de Thales, e Pythagoras: Deste até a
fundação da Escola Alexandrina: Della até a Era
Christã:
Desta até a destruição do Imperio Grego: Della até Cartesio: E de Cartesio até o presente tempo.
3 Este Resumo será proporcionado á
capacidade dos Estudantes: De sorte, que os disponha, e anime para entrarem no
estudo com gosto. Por isso não entrará o Lente na
relação circumstanciada dos descubrimentos, que se fizeram nas
ditas Sciencias em differentes tempos, e lugares; porque não póde
ser entendida, senão por quem tiver já estudado as mesmas
Sciencias; e então não lhe será necessaria a voz do
Mestre, para se instruir na Historia. Recommendará porém muito
aos seus Discipulos, que á medida, que forem caminhando no Curso
Mathematico, se
vão instruindo particularmente nella: Mostrando-lhes, que a primeira
cousa, que deve fazer quem se dedica a entender no progresso das Mathematicas,
he instruir-se nos descubrimentos antecedentemente feitos; para não
perder o tempo em descubrir segunda vez as mesmas cousas; nem trabalhar em tarefas,
e emprezas já executadas.”
1772 - Estatutos da
Universidade de Coimbra
Sobre as aulas da cadeira do segundo ano,
Álgebra:
“3 Para facilitar melhor a entrada nella, e segurar
o fruto das Lições: Principiará o Professor pelos Prolegomenos respectivos: Dando huma
idéa circumstanciada do seu objecto, e dos meios, que applica para
conseguir o fim, que se propõe: Mostrando a sua origem, e progressos: E
fazendo hum Resumo da historia da mesma Algebra pelas Epocas mais notaveis
della.
4 Em particular mostrará a razão, por que
os Antigos, sem embargo de terem conhecido as Regras Fundamentaes da Analyse, e de serem dotados de
tão grande engenho, não tiráram della as vantagens
prodigiosas, que decubríram os Modernos; faltando-lhes o Instrumento da Analysis, que he a Algebra.”
1786 - José Anastácio da Cunha
“O meu
modo de ensinar era o que a minha consciencia e intelligencia (...) me
dictavam. Expunha o objecto das proposições, a sua
connexão e dependencia; o artifício com que Euclides consegue
quasi sempre unir a facilidade ao rigor geometrico; e d’este procurava
dar aos estudantes o conhecimento necessario. Não me demorava em ler ou repetir litteralmente (como
os meus companheiros costumavam) as proposições que por faceis
nem carecem de explicação (...) só para poder empregar
tempo sufficiente em indicar aos estudantes as verdadeiras difficuldades da
lição, e facilitar-lh’as quanto as minhas tenues
forças o permitiam. (...) Porém queria que tambem os estudantes
trabalhassem e os obrigava a
resolver problemas.
(...) Compellido pois por força superior,
conformei-me ao tal methodo estabelecido, e serenou a tempestade. O tal methodo
era certamente suave e commodo para os estudantes e mestres. O mestre repetia
ou pelo livro ou de cór litteralmente as proposições da
lição; e no dia seguinte cada estudante satisfazia repetindo de
cór a proposição que lhe perguntavam. Nem se mostrava o
uso das prtoposições, nem se resolviam problemas; ninguem viu
ainda o lente do 1º anno no campo ensinado as praxes, que os Estatutos mandam. Debalde solicitei os
instrumentos para isso necessarios: não me consta que a Universidade
tenha ainda nem uma prancheta. Mas similhantes lições dão
trabalho aos mestres e luzes aos estudantes; e isso é justamente o que
não convém.”
Faculdade
de Matemática da Universidade de Coimbra
até
1861:
Primeiro Anno
1ª Cadeira
Arithmetica; Geometria de
Euclides; Algebra até ás equações do 2º
gráu inclusivamente; Trigonometria plana.
Segundo Anno
2ª Cadeira
Continuação da
Algebra; Algebra Superior; Series — principios elementares de calculo
differencial e integral.
até
1852:
Terceiro Anno
3ª Cadeira
Calculo integral
transcendente, de variações, e equações
differenciaes até á 3ª ordem; e na 2ª parte do anno
Mechanica dos solidos.
de 1852 até 1861:
Terceiro Anno
3ª Cadeira
Calculo superior,
differenças finitas; Geometria descriptiva.
de 1861 até 1902:
Primeiro Anno
1ª Cadeira
Algebra Superior - principios
de theoria dos numeros - geometria analytica a duas e a tres dimensões -
theoria das funcções circulares - trigonometria espherica.
Segundo Anno
2ª Cadeira
Calculo differencial e
integral; das differenças, directo e inverso; das
variações e das probabilidades.
1864
– Faculdade de Matemática da Universidade de Coimbra
(proposta
feita pela Faculdade ao Governo – e não aprovada por este)
“...que
se déssem no 1º anno, como preliminares ao estudo da Algebra
superior, algumas doutrinas mais elevadas de Arithmetica, Algebra e Geometria
plana e dos solidos, que ou não entravam no programma mais elementar e
practico dos lyceus, ou que alli se não estudavam debaixo do systema e
com o desinvolvimento que deviam ter na Universidade; e em passar para o
3º anno as partes do calculo differencial e integral que estão em
mais intima ligação com a mechanica racional.”
Faculdade
de Matemática da Universidade de Coimbra
de
1902 até 1911:
Primeiro Anno
1ª Cadeira
Álgebra Superior;
geometria analytica a duas e a tres dimensões; trigonometria
esphérica.
2ª Cadeira
Geometria descriptiva.
Segundo Anno
3ª Cadeira
Cálculo differencial e
integral.
Terceiro Anno
4ª Cadeira
Anályse superior.
1913
– Faculdade de Ciências da Universidade de Coimbra
“A
Faculdade de Sciências de 1911 a 1913”
Relatório
aprovado em Congregação de 11 de novembro de 1913
“É,
em geral, nos primeiros anos, que mais se fazem sentir as
reprovações; o que resulta em grande parte, da deficiente
preparação que os alunos trazem do ensino secundário, e
que só pouco a pouco vão compensando. (...) O actual estado de coisas
só pode evidentemente melhorar com o aperfeiçoamento do ensino
secundário, impossível de realizar emquanto não fôr
convenientemente reduzido o número dos liceus. ”
1908
- Sidónio Pais (Universidade de Coimbra)
(Oração
de Sapiência, Abertura Solene das aulas do ano lectivo 1908-1909)
“O melhor professor entre
nós é o que explica melhor. Fazer a lição, é
expor com clareza um assumpto de maneira que o alumno o comprehenda sem o menor
esforço. (...) se este [o professor] é pouco claro —
recurso a um explicador supplementar. Ás vezes ha ainda a
explicação escripta — a sebenta. E á porta da aula ha
novos explicadores — os ursos.
(...) O ideal da nossa pedagogia
é poupar o trabalho de compreensão ao estudante.
Em compensação
avulta o trabalho de memoria. Explicada a lição, o estudante
terá de a decorar para a expôr de novo.
Que elle não pense um
segundo em questão alguma e passe annos inteiros, faça o curso
sem resolver um problema, sem ter feito um unico esforço pessoal de
investigação, apenas com o trabalho de decalque do que outros
pensam.
(...)
Temos de modificar totalmente os
nossos processos de ensino e os nossos criterios de julgamento.
A preocupação do
professor deve ser crear o gosto do alumno pelo trabalho, desenvolver-lhe o
espirito de iniciativa, a curiosidade de descobrir, a originalidade.
(...) No estudo da sciencia
feita, empregar o metodo da redescoberta (...)”
1923
- Diogo Pacheco de Amorim (Universidade de Coimbra)
(Oração
de Sapiência, Abertura Solene das aulas do ano lectivo 1923-1924)
“O primeiro
obstáculo que se opõe ao progresso dos estudos matemáticos
nas nossas Universidades e ao bom aproveitamento dos seus alunos, é a
falta de preparação com que êstes saem do curso dos Liceus.
(...) Apesar do saber, do tino e
da boa vontade de muitos dos seus mestres, de tal modo está organizado o
ensino nos liceus, que os alunos saiem de lá sem saber nada de nada
(...) Após sete anos de matemática elementar, os alunos chegam
ás Universidades num estado de desesperadora ignorância.
Da Aritmética, cujo
ensino, como já dissemos, está todo confiado aos liceus, muitos
ignoram as quatro operações com quebrados e decimais; raros sabem
extrair uma raiz quadrada; raríssimos se entendem com a táboa dos
logarítimos!
De Algebra, trazem só
ideias confusas. Poucos resolvem um sistema de equações com
desembaraço e pouquíssimos conhecem o cálculo
combinatório.
Do binomio de Newton, só
os privilegiados teem ouvido falar.
E que dizer da Geometria, cujo
ensino, as mais das vezes, nem sequer é começado nos liceus por
falta de tempo? Na Trigonometria Plana, como aliás na Geometria no
Espaço, a ignorância então é total, absoluta.
(...) o estatuto
universitário (...) torna facultativa a frequência das aulas
teóricas e obrigatória a das práticas; proscreve o uso de
compendios; proíbe a prática da chamada diária. Não
é precizo mais para impossibilitar a aprendizagem e o ensino das
matemáticas entre nós.
(...) Para que o aluno se
desenvolva não basta que ouça, é preciso que fale, que
tire conclusões, que relacione as consequências com os
princípios, que procure as ligações ocultas que aproximam
matérias por vezes na aparência bem distantes. É preciso
que faça a síntese das doutrinas, a análise das
lições, que discuta os problemas, que varie as hipóteses,
numa palavra, que tome uma parte activa nas aulas que é precizamente o
contrário do que os Estatutos preceituam e nas Universidades se pratica.
(...) O estudante não
fala, ouve; não pensa, vê pensar.
Na economia das aulas, o aluno
entra apenas como parte integrante do mobiliário indispensável ao
seu funcionamento.
Nada mais.”
1940
- Diogo Pacheco de Amorim
Compêndio
de Geometria,
vol. 2º, Anos 4º, 5º e 6º
(8ª
edição, 1940 - Aprovado oficialmente por despacho de 9 de Dezembro de
1939)
“E
se as matemáticas não teem no ensino liceal aquela
importância e lugar que deviam ter, a Geometria por sua vez também
não tem, dentro do ensino matemático, o lugar que lhe compete.
Os
alunos do 2º ciclo liceal passam a maior parte do tempo a fazer contas com
polinómios muito compridos, com radicais, logarítmos e outras
matérias de pouca ou nenhuma utilidade para êles; e muitas vezes
só depois das férias da Páscoa passam para a Geometria que
estudam de afogadilho.
Ora,
quer atendamos ao valor informativo, quer ao educativo, a doutrina dos
programas de Geometria dêstes três anos é muito mais valiosa
do que a dos correspondentes programas de Álgebra.”
1943
- Bento de Jesus Caraça
Algumas
reflexões sobre os exames de aptidão
(“Gazeta
de Matemática”, nº 17, 1943)
“Julho Liceus Aprovações
74 (66%) Reprovações
38 (34%)
Ensino
Técnico Aprovações
18 (51%) Reprovações
17 (49%)
«polígonos
são figuras planas de um número ilimitado de lados» (Liceu)
«o
logar geométrico dos lados dum ângulo é a bissectriz»
(Liceu)
«são
chamadas superfícies de revolução às figuras do
espaço que são geradas por sólidos» (Liceu)
É
frequentíssimo encontrar entre os candidatos um desprezo total pelos
resultados e seu possível enquadramento dentro do problema a que dizem
respeito. É hoje limitadíssimo o número de candidatos que
faz uma idéia clara do que seja a discussão dos resultados dum
problema. Mas a coisa vai ainda mais longe e verifica-se em muitos casos uma
completa indiferença, até, pela verosimilhança dos
resultados. (...) Um candidato (Liceu) encontra para a altura dum cone 7,2
metros e para geratriz do mesmo cone 3 metros e continua
imperturbàvelmente o cálculo do volume do cone. Outro (ens. tec.)
encontra para altura do mesmo cone o número 6‑3π e continua
imperturbàvelmente!
(...)
Tôdas estas insuficiências, se reduzem, creio eu, fundamentalmente
a duas: falta de espírito crítico e automatismo. Diante do
problema, a primeira reacção do candidato é procurar a
fórmula que se aplica (...) e atirar-nos com o resultado, não do
problema, mas da aplicação da fórmula.”
1945
- Bento de Jesus Caraça
Em
guisa de continuação de um debate
(“Gazeta
de Matemática”, nº 23, 1945)
“Por
muito estranho que pareça, é freqüente um aluno chegar ao
fim do seu curso médio no ensino técnico comercial sem ter
aprendido uma palavra de geometria elementar. E como não parece
possível que sem ela se ensinem os rudimentos da Geometria
Analítica
ou do Cálculo Diferencial, incluem-se habitualmente perguntas de geometria
elementar sintética nos pontos de resposta obrigatória do exame
de aptidão ao I.S.C.E.F. Atribuo a esse facto a elevada percentagem de
reprovações nessa classe de candidatos.
(...)
sem discutir agora a orgânica da licenciatura em Ciências
Matemáticas, é de perguntar se ela, tal como existe, é a
mais própria preparação para um futuro professor de
Matemática no ensino médio. A resposta parece-nos dever ser redondamente
negativa.
Encontram-se no quadro de estudos dessa licenciatura, muitas matérias de
que o futuro professor do ensino médio nem de perto nem de longe
terá que vir a lançar mão e faltam-lhe, em
compensação, as coisas mais urgentes e essenciais. Para dar
apenas um exemplo, ¿Com que conhecimentos de Matemáticas
Elementares
— aquelas que mais tarde tem de manejar todos os dias, (e ensinar!)
— está apetrechado um licenciado à saída da sua
escola? os mesmos que possuía quando para lá entrou!”
1942
- Bento de Jesus Caraça
(“Gazeta de Matemática”, 1942, nº 11, pp. 16, e nº 12, pp. 14-17.)
“O ensino secundário deve ser para todos e
não se deve submeter às necessidades de nenhuma futura
profissão em particular.”
Vários temas ausentes dos programas deviam estar
aí presentes porque “na vida contemporânea têm uma
importância tal que devem ser ensinados a todos”; dentre esses
temas cita: a noção de probabilidade, rudimentos da
estatística, tábuas de mortalidade.
Outros assuntos que considera muito importantes e estavam
então ausentes dos programas: o manejo da régua de cálculo
e da máquina de calcular, as aproximações no
cálculo numérico, a resolução de triângulos não
rectângulos.
Outros assuntos também então ausentes mas a
que atribui essencialmente valor cultural como a Geometria Analítica e a
teoria dos complexos.
1968
- José Sebastião e Silva
Problemas
da Universidade
(“A
Capital”, 4 de Dezembro de 1968)
“(...)
um sistema que tem vindo a agravar-se por todo um conjunto de factores (entre os
quais avulta o da explosão escolar) que reduziram o ensino à preparação
em massa para o exame,
e, portanto, à degradação e à
mecanização dos processos.
(...) além
de ficarem pelo caminho cerca de 80% dos alunos, consta que há numerosos
casos de esgotamento!
Tenho conhecimento de um caso de suicídio, e quem sabe se não
haverá outros. Pergunto: É assim, com uma geração
de frustrados e de nevróticos, que se poderá construir o Portugal de
amanhã?
(...)
estamos em presença de um sistema educacional que não ensina a
observar nem a experimentar, nem a reflectir, nem a raciocinar, nem a escrever,
nem a falar: ensina apenas a repetir mecânicamente, a imitar e, por conseguinte, a não
ter personalidade. É um sistema que reprime o espírito de
autonomia e todas a possíveis qualidades criadoras do aluno, na idades
decisivas em que essas qualidades deveriam ser estimuladas ao máximo: um
sistema feito à medida da mediocridade obediente, que acerta o passo
enquadrada em legiões de explicadores. É, portanto, um ensino em regime de
desdobramento: professor-explicador (e o mais grave é que o professor
já conta com o explicador).
(...)
Depois na Universidade, o drama atinge o ápice. (...) Em certas
cadeiras, a percentagem de reprovações atinge 90%.
(...)
haveria que facultar aos alunos mal preparados — que são quase
todos — a frequência de um ano pré-universitário, a
funcionar na Universidade ou em alguns liceus (...) teria essencialmente
carácter de transição, de orientação e de recuperação
— à
semelhança do que se faz em outros países.
(...)
verifica-se um divórcio quase total entre o ensino secundário
e o ensino universitário (...).
1966
- José Sebastião e Silva
(1º
volume, ed. GEP 1975)
“(...)
Deste modo se chega à síntese:
Toda
a recta não vertical tem uma equação da forma
y = m x + b,
em
que m é
o declive da recta e
b a ordenada na origem.
O
aluno deverá chegar a estas sínteses como resultados dum processo indutivo, tal como
nas ciências experimentais, indo do particular para o geral. Só
depois notará que o raciocínio no caso geral é
essencialmente o mesmo, bastando substituir os símbolos numéricos
por letras. Quanto às figuras, essas terão de corresponder sempre
a casos particulares, evidentemente, mas é preciso notar que não
intervêm essencialmente nas demonstrações: o seu papel é apenas o de
apoiar a intuição.
(...)
É preciso errar para aprender! Os grandes génios erram
inúmeras vezes quando tentam descobrir algo de novo...
(...) O
professor não deve forçar a conclusão: deve
deixá-la formar-se espontaneamente no espírito do aluno.
(...) O
nº 43 do livro, que vem marcado com um asterisco por não ser
obrigatório, é agora, pelo contrário, da máxima
importância,
pelas suas aplicações em problemas de programação
linear. A programação,
linear ou não linear, é um dos tipos de problemas que se
apresentam hoje com maior frequência em INVESTIGAÇÂO
OPERACIONAL, no domínio da economia. A sua inclusão no ensino
liceal, com carácter elementar, está a tornar-se cada vez mais
imperiosa.”
1966
- José Sebastião e Silva
(2º/3º
volume, 1965-66, ed. GEP 1975, p. 93)
“Há um mínimo de elementos de
estatística que se impõe dar no ensino secundário, em anos
futuros, se não quisermos ficar lamentavelmente atrasados em
relação a outros países. Aliás, esses elementos
deverão ser introduzidos progressivamente, desde muito cedo, logo a
partir do 1º ciclo, juntamente com aplicações da matemática
à vida corrente, à economia, etc. Tal introdução
pressupõe, evidentemente, um aumento do número de tempos lectivos
de matemática, no 1º e no 2º ciclos, elevando-o, se
possível, até seis horas por semana, à semelhança
do que se verifica em vários países estrangeiros. Observe-se
entretanto que, há uns 35 anos, o programa de matemática do
2º ciclo incluía juros compostos, anuidades, etc., além do
estudo dos logaritmos. A pouco e pouco, pelas razões atrás
expostas, o ensino da matemática nos nossos liceus foi-se esvaziando de
todo o conteúdo concreto, até se reduzir a um formalismo quase
inteiramente oco, que o aluno não consegue dominar, em grande parte
porque esse jogo de símbolos não lhe diz nada. É tempo de
começar a remar contra a corrente.
José
Sebastião e Silva e a Modernização do Ensino da
Matemática
“A modernização do ensino da Matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas também quanto a métodos de ensino.” (Guia para a utilização do compêndio de Matemática)
“É preciso combater
o excesso de exercícios que, como um cancro, acaba por destruir o que
pode haver de nobre e vital no ensino. É preciso evitar certos
exercícios artificiosos ou complicados, especialmente em assuntos
simples.(...) É mais importante reflectir sobre o mesmo exercício
que tenha interesse, do que resolver vários exercícios diferentes, que
não tenham interesse nenhum.(...) Entre os exercícios que podem ter mais
interesse figu-ram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas. ("Guia para a
utilização do compêndio de Matemática")
“Chegou-se a fazer crescer
os rapazes numa planície matemática esterilizada e
esterilizadora, capaz de sufocar qualquer objecção, qualquer
diálogo. Porque se quisermos que o ensino da matemática seja
autenticamente vivo e fecundo, deveremos apresentar uma ciência que se
faz e não uma ciência já feita. A matemática
não deve desprezar o concreto, a matemática deve estar ligada
à realidade física em que o pensamento matemá-tico
mergulha as suas raízes. E é sobretudo a geometria que serve de modo
natural para a ligação entre o mundo físico e a abstracção
(carta a Emma Castelnuovo, cit. em Ens. da Mat. Anos 80, SPM, Lisboa, 1982)
Sebastião e Silva
preconizava a introdução da Estatística desde muito cedo,
mas avisava: "Tal introdução pressupõe,
evidentemente, um aumento do número de tempos lectivos de matemática,
no 1º e no 2º ciclos, elevando-o, se possível, até seis
horas por semana, à semelhança do que se verifica em
vários países estrangeiros. (Guia para a utilização
do compêndio de Mat., 2º/3º vol, pg 93)
“É este um momento oportuno para um diálogo importante, relativo à existência de entes geométricos no mundo físico. O diálogo poderá fazer-se noutra ocasião, mais cedo ou mais tarde, com diversas variantes, ao sabor das circunstâncias. Mas é necessário que o assunto seja debatido alguma vez com os alunos (...)” ("Guia para a utilização do compêndio de Matemática", 1º vol, pg 46, 2º/3º vol, pg 125)
“Se eu tivesse hoje que
voltar a escrever esse Curso [Curso de Análise Superior],
fá-lo-ia ainda em termos de maior simplicidade, multiplicando muito os
exemplos e, sobretudo, intensificando muito mais a motivação dos
conceitos.” (cit. em "Vida e obra do Prof. Sebastião e
Silva", pg 58, por António Guimarães", Porto, 1972, não
publicado)
José
Sebastião e Silva e os Objectivos do Ensino da Matemática
“A meu ver são principalmente o sentido
crítico e a autonomia mental as qualidades que um professor de
matemática se deve esforçar por desenvolver nos seus
alunos.” (Texto sobre Bento de Jesus Caraça, DL, 25/6/1968)
“Os alunos não
precisam, em geral, de ser investigadores, mas precisam de ter espírito
de investigação. Intuição, experiência,
lógica indutiva, lógica dedutiva - todos estes meios se alternam
constantemente na investigação científica, numa cadeia sem
fim em que é difícil destrinçar uns dos outros.”
("Guia para a utilização do compêndio de
Matemática", 2º/3º vol, pg 107-111)
“Ensinar matemática
sem mostrar a origem e a finalidade dos conceitos é como falar de cores
a um daltónico: é construir no vazio. Especulações
matemáticas que, pelo menos de início, não estejam
solidamente ancoradas em intuições, resultam inoperantes,
não falam ao espírito, não o iluminam.” (Guia para a
utilização do compêndio de Matemática)
“O que é preciso
é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o enciclopedismo
desconexo,
imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão desde as guerras
púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem
dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num
sistema de exames que só permite apreciar memorizações e
automatismos superficiais, mais ou menos próximos do psitacismo.”
(Guia para a utilização do compêndio de Matemática)
“Um dos objectivos
fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no
aluno hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os
automatismos de leitura, de escrita e de cálculo. Mas trata-se
aí, manifestamente, de meios, não de fins.” ("Guia para a
utilização do compêndio de Matemática",
2º/3º vol, pg 10-11)
“Um ensino das
ciências, que não seja acompanhado de uma boa
educação estética e que não fale à
imaginação dos alunos, está condenado a priori, pela sua
própria aridez, a afastar muitos dos melhores talentos.”
("Guia para a utilização do compêndio de
Matemática", 1º vol, pg 46, 2º/3º vol, pg 125)
“Se não houver tempo
- o que é bem provável - podem-se omitir as
demonstrações. O que importa, por enquanto, são as
intuições: essas de modo nenhum devem faltar, (...)”
("Guia para a utilização do compêndio de
Matemática", 2º/3º vol, pg 81)
José
Sebastião e Silva e a reforma da formação dos professores
de Matemática
“Também o
sistema de exames carece de profundas alterações: Nas nossa
Universidades chega a consumir-se mais tempo e energia a examinar e a ser
examinado, do que propriamente a ensinar e a aprender.(...) Os exames finais por
cadeiras e cursos individuais serão abolidos e substituídos
(com elevação do nível) por exames de carácter
global realizáveis a meio do curso e no final (...) Com esta e outras
medidas, a tendência para a fraude infelizmente tão generalizada
entre nós em provas escritas, diminuirá consideravelmente: (...)
Por idênticas razões são abolidos os exames de
aptidão, cuja inutilidade tem sido demonstrada à saciedade, e que
só contribuem para extremar professores e assistentes (além dos
alunos), afastando-os dos grandes objectivos essenciais do ensino.
Finalmente é
instituída a obrigatoriedade duma dissertação nos exames
de licenciatura, à semelhança do que já se faz em outras
Escolas superiores do País. Será este mais um meio de elevar o nível
dos estudos matemáticos nas nossas Universidades e, em particular, o
nível dos doutoramentos em matemática, nos quais se
tornarão supérfluos e sem sentido, os interrogatórios ou
lições mais próprios dum exame de licenciatura.”
“1. TRABALHOS
PRÁTICOS
As aulas práticas
são destinadas não só à resolução de
exercícios e problemas relacionados com assuntos expostos nas aulas
teóricas mas também à discussão de alguns desses
assuntos, e de outros afins, para seu completo esclarecimento. Este trabalho de
discussão e esclarecimento, em que participarão os alunos,
deverá acentuar-se no biénio especial, tendendo para a forma de
trabalho em seminário.
No fim de cada semestre,
os alunos deverão apresentar cadernos em que tenham resolvidos pelo
menos dois terços das questões propostas durante as aulas.
Devem igualmente
apresentar antes do exame de licenciatura ou bacharelato relatórios de
trabalhos de laboratório e de observatório executados.
2. EXAMES DE
FREQUÊNCIA
(...)
Os exames de
frequência (...) deverão ser efectuados no prazo de uma semana (de
preferência em dias alternados) para evitar que os alunos se habituem a
estudar unicamente na semana que precede cada exame.”
“17. Fundamentos
da Matemática Complementos de lógica matemática.
Paradoxos da teoria dos conjuntos; teoria dos tipos; números
transfinitos. Generalidades sobre axiomáticas e sobre a
construção duma teoria dedutiva. Fundamentos da
aritmética: estudo comparativo de diversas axiomáticas; teoria
das operações a partir da axiomática de Peano;
funções recorrentes e sua aplicação no
cálculo mecânico. A teoria da probabilidade e dos números
primos à luz da álgebra moderna. Problemas da
não-contradição e da decisão. As grandes correntes
da filosofia matemática: logicismo, formalismo intuicionismo;
alusão ao teorema de Gödel e de Gentzen. Lógicas
polivalentes: lógica probabilista contínua, lógica
trivalente topológica, relações com a mecânica
quântica; discussão. Fundamentos da geometria elementar: estudo
comparativo de várias axiomáticas; teoria da igualdade e
semelhança a partir da axiomática preferida. Axiomática de
geometria projectiva; geometrias projectivas finitas.
Classificação das geometrias; noções sobre
geometrias não euclidianas. O problema do ensino da geometria elementar:
passagem do intuitivo ao racional.
Nas aulas práticas: exercícios
de lógica simbólica, estudo das axiomáticas,
análise lógica de definições e
demonstrações, problemas de aritmética, de geometria
euclidiana e de geometria projectiva, estudo geral dos métodos de
demonstração.
Observação: Esta cadeira,
que se deve hoje considerar indispensável à
formação do matemático puro e do professor de
matemática do liceu, é inteiramente nova nas nossas
Universidades. Falta-nos portanto experiência do seu ensino, embora
não faltem pessoas habilitadas para o fazer. O anterior programa
poderá ser cumprido integralmente, desde que certos assuntos não
sejam aprofundados.”
(in PROJECTO DE REFORMA DA
LICENCIATURA EM CIÊNCIAS MATEMÁTICAS - manuscrito, sem data)
José
Sebastião e Silva e o ensino da trigonometria
“A introdução
à trigonometria poderá e deverá ser feita com motivação concreta,
apta a despertar interesse suficiente no espírito do aluno (cf. Algebra
e Trigonometria,
para os IV, V e VI anos liceais, Francisco Dias Agudo (1938). A
introdução à trigonometria adoptada nesse livro é
em parte semelhante à que aqui vamos preconizar, mas, que, como é
de ver, não se coaduna com a orientação estatuída
pelo actual programa clássico)” (Guia - 2º vol - pg 15)
“(Entre as célebres obras de
ficção científica de Júlio Verne há uma,
particularmente interessante, que vem muito a propósito citar aqui:
“A ILHA MISTERIOSA”. Nesta obra, o autor descreve como um dos
personagens - o Eng. Smith - consegue calcular a altura a que se encontra uma
gruta escavada numa rocha junto ao mar por meio de medições
efectuadas na praia).” (Guia - 2º vol - pg 18)
“Resta o problema das tábuas. Existem
tabelas de fórmulas (chamadas ‘formulários’), como
existem tabelas numéricas, listas telefónicas, catálogos
ou enciclopédias. A finalidade é sempre a mesma: evitar um
esforço inútil e mesmo incomportável de memória,
dando maior grau de liberdade ao pensamento. Sem dúvida há
fórmulas e tabelas numéricas que o aluno deverá ter sempre
presentes, atendendo à frequência com que é preciso
utilizá-las: por exemplo, as fórmulas trigonométricas da
adição de ângulos e as tabuadas das operações
elementares da aritmética. É tudo, afinal, uma questão de
medida e de bom senso.” (Guia-2º vol - pg 12)
“Chegou agora o momento de dizer ao aluno que se
encontram já construídas por tais processos tabelas
numéricas,
que fornecem,
com certa aproximação (...) as tangentes dos ângulos agudos
(...). E convirá resolver alguns problemas simples com tais tabelas
(...) escolhendo o grau de aproximação conveniente em cada caso
concreto (...) Convirá, agora, informar o aluno de que a sua
régua de cálculo lhe permite resolver rapidamente muitos destes
problemas, com aproximação suficiente, e adestrá-los no
uso da régua para esse fim..” (Guia- 2º vol - pg 22)
“Os cálculos exigidos por este processo
[valores aproximados por defeito e por excesso de sen 63˚ ] são
laboriosos, mas, quando se dispõe de um bom computador, podem ser
efectuados rapidamente. No entanto, mesmo quando se trabalhe com um bom
computador, procura-se sempre, entre vários métodos de
aproximação, aquele que seja mais expedito e mais fácil e programar (...)” (Guia - 2º vol - pg 46)
“Todo o conceito é introduzido com uma
determinada finalidade: quanto menos o conceito surgir ligado à sua finalidade,
menos interesse poderá despertar. Qual é, por exemplo, o
interesse das funções circulares inversas?” (Guia - 2º vol - pg 47)