Didáctica da Análise Matemática

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Joaquim Pinto

Trabalho 5

 

Tarefa 5

Texto de Apoio: A definição de função/igualdade de funções

 

 

 

Definição: [Função / Igualdade de Funções]

 

Bento de Jesus Caraça

“Lições de Álgebra e Análise  Volume II”

Bertrand, Lisboa, 1966

 

Conceito de Função.

 

Página 55

Função de uma variável. Sejam u e z duas variáveis, reais ou complexas, e sejam  e , respectivamente, os seus domínios.

Se entre u e z existe uma correspondência tal que a cada valor de z, domínio , corresponde um valor de u, domínio , seja qual for a maneira como essa correspondência é estabelecida, diz-se que u é função de z, definida no domínio , e

escreve-se

 

 

(…)

Ao conjunto  chama-se domínio da função; ao conjunto  contra-domínio da função.

 

 

Página 57

Igualdade. Operações. Sejam  e  duas funções de x com o mesmo domínio.

As duas funções dizem-se iguais quando em todo o ponto  do domínio for .

(…)

 

Antes de passarmos aos nossos comentários vejamos o que o autor, aqui citado, escreve sobre a definição de função, pois consideram-se pertinentes e oportunas as suas considerações

 

Modos de definição.

 

Página 57

Em cada uma das definições dadas no parágrafo anterior, está expressamente estabelecido que a ideia de função é independente da maneira como se efectiva a correspondência argumento (ou argumentos)  função. Simplesmente, essa maneira assume uma importância enorme quando se pretende estudar a função. Por isso vamos examinar os processos pelos quais se podem estabelecer correspondências de variáveis ou, o que equivale no fundo ao mesmo, os processos de definições de funções.

 

Páginas 58 e 59

Definição analítica. Consiste em dar a definição por meio de uma expressão analítica. Por exemplo, a relação , onde  é uma variável real definida em todo o eixo, faz corresponder a todo o número real  um número único ; fica assim definida, portanto, uma função .

Do mesmo modo, a equação , onde  é a mesma variável, faz corresponder a cada  um único  e, portanto, esta equação define também uma função .

Em cada um destes casos, as expressões analíticas não são as funções, mas apenas meios de as definir, maneiras técnicas de estabelecer a correspondência .

Para que uma expressão analítica possa ser utilizada para definir uma função, ela deve satisfazer às duas seguintes condições:

a)      Deve determinar efectivamente, para cada valor da variável independente, o valor correspondente da função. Quando acontecer que, para alguns valores particulares do argumento, isso se não dê, há então que completar, para esses valores a definição da função.

É o que se dá, por exemplo, com a igualdade , que faz corresponder a cada número real  um , excepto para . Depois de dar a definição no ponto zero, atribuindo a , por exemplo o valor zero, ter-se-á a função  assim definida

 

b)      A expressão analítica deve ser tal que a cada valor de  faça corresponder um único valor de . É o caso dos dois exemplos acima citados, mas não é já, por exemplo, em relação à variável independente , o caso da equação  a qual define duas funções de   a função definida por  e a função definida por .

 

Páginas 60 e 61

Definição geométrica. Consiste em estabelecer a correspondência do argumento para a função por meio de uma curva, num sistema de eixos conveniente.

Por exemplo, dada, na fig. 22, a recta r) paralela à bissectriz dos dois eixos e cortando o eixo  no ponto de ordenada , por meio dela é definida uma função , aquela em que a cada valor  de   corresponde a ordenada  do ponto .

 

Fig. 22

Mais geralmente, dado um sistema de eixos cartesianos, toda a curva que não seja cortada em mais de um ponto por uma paralela ao eixo , define, dum modo análogo, uma função . A condição de que a curva só seja cortada num ponto qualquer paralela a  é indispensável; caso contrário haveria, pelo menos em certas regiões do domínio, mais de um valor de  correspondente a cada valor de .

(…)

 

Página 62

Observação. Como já foi repetidas vezes dito, a noção de função é independente da maneira pela qual se estabelece a correspondência. Isto faz prever a possibilidade de definir uma mesma função, analítica e geomètricamente. É o que se passa efectivamente, em grande número de casos, pelo menos. Por exemplo, a função  definida na fig. 22 pode sê-lo também pela expressão analítica , visto que para todo o  se tem .

(…)

 

Página 63

Definição aritmética. Finalmente, uma função pode ser definida enunciando simplesmente a correspondência aritmética existente entre as variáveis.

É o caso, por exemplo, da função definida assim, no intervalo :

 

Este meio de definição é menos usado na Análise do que o meio analítico, por não se prestar tão bem como ele ao enunciado de leis.

(…)

 

 

Análise da definição de Função e da de igualdade de funções:

Conforme vimos durante a sessão presencial, onde discutimos a equivalência da definição de função, averiguar a equivalência entre diferentes funções não é fácil. Os diferentes autores ao darem a definição de função não são suficientemente explícitos para que essas definições não tenham sempre alguma ambiguidade. Ora, chegamos à conclusão que nada melhor que a sua definição de igualdade de funções, para aí percebermos e lermos, nas entrelinhas, a definição de função de cada autor. Mas se dúvidas houver podemos sempre recorrer ao estudo da inversa e assim dissiparmos qualquer dúvida que persista.

Ora, atendendo a estes aspectos, não temos dúvidas em dizer que a definição aqui apresentada e da autoria de Bento de Jesus Caraça é equivalente à definição A, apresentada por J. Sebastião e Silva, “Compêndio de Matemática  1º volume, 1º Tomo”, Edição GEP, Lisboa, 1975.

Repare-se, Sebastião e Silva escreve: “Dadas duas aplicações  a aplicação  é a mesma que  (isto é, tem-se  ), se e só se forem verificadas as duas seguintes condições:

a)       têm o mesmo domínio, isto é,  

b)      ”

Que é exactamente o mesmo que escreve Bento de Jesus Caraça, pois ao considerar que  é igual a  exige que tenham o mesmo domínio, que  seja um ponto arbitrário do domínio e que .

 

Note-se que neste texto, de 1966, podemos tirar uma consequência pedagógica importante é a de Bento de Jesus Caraça pôr ao mesmo nível os modos de definição

analítico e geométrico. Classicamente em Portugal o modo de definição ou é analítico ou não presta (ou é considerado "não rigoroso")!

No contexto de uso de tecnologia isto é muito importante.

Veja-se ainda que o facto de um autor como Bento de Jesus Caraça, usar esta abordagem menos sofisticada, mostra que quem tem preocupações pedagógicas de ensino elementar (e pode ser universitário, não tem de ser secundário) escolhe cuidadosamente o enquadramento teórico. Não escolhe sempre o mais geral...

 

Aproveita-se este espaço para chamarmos a atenção para o reforço sistemático, feito por Bento de Jesus Caraça, em torno do modo de definir função.

Vem ao de cima a sua vertente de grande pedagogo, sempre preocupado em que os seus leitores não fiquem com nenhuma dúvida acerca do assunto em estudo e ao mesmo tempo, sempre preocupado em apresentar diversos pontos de vista do mesmo assunto, para que este fique completamente esclarecido.

Dá vontade de ir a correr ver os manuais actuais, pelos quais os nossos estudantes estudam e ver se esta preocupação existe. Penso que não. A maioria apresenta um conjunto de receitas e pratos pré-cozinhados que levam a que os nossos estudantes se tornem uns inumerados.

Não esclarecendo devidamente a definição de função, impedem na prática, que os estudantes dominem a noção de função não lhes restando outra alternativa que não seja a repetição mecânica e acrítica das manipulações introduzidas pelo professor.