Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo 2002/03 Conjunto R - Operações com radicais, racionalização de denominadores e enquadramentos            10.º Ano

 

NÚMEROS IRRACIONAIS

Números irracionais são números que não é possível representar na forma de fracção, isto é, que não podem ser escritos como razão de dois números inteiros.

As dízimas dos números irracionais são sempre infinitas não periódicas.

O conjunto dos números reais, R, compreende os números racionais e irracionais.

 

As dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas representam sempre números racionais.

Por exemplo, determinemos a fracção correspondente ao número racional :

Designando  por , temos:

              subtraindo ordenadamente, vem:

Logo, .

Um irracional famoso

Talvez o mais famoso número irracional seja o PI (  ), o quociente entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. As calculadoras científicas têm uma tecla para acesso directo a um valor aproximado de  com dez, ou mais, dígitos. Por vezes, quando se calcula o perímetro ou uma área de um círculo utiliza‑se  como valor aproximado de , mas actualmente ele já foi calculado com milhões de casas decimais.

 

OPERAÇÕES COM RADICAIS

Em certas situações particulares é possível operar com raízes quadradas, raízes cúbicas, ....

 

Radicais equivalentes

A propriedade seguinte tem duas aplicações: simplificação de radicais e redução de radicais ao mesmo índice.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos

Escrever, por ordem crescente,  e .

     e    .

Logo, .

 

Adição e subtracção de radicais

É possível traduzir a soma e a diferença de radicais por um único radical quando tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos

 

Multiplicação de radicais

O produto de dois radicais com o mesmo índice, é um radical ainda com o mesmo índice, cujo radicando é o produto dos radicandos.

 

Para todos os números reais positivos  e  e para ,

Exemplos

 

Divisão de radicais

O quociente de dois radicais com o mesmo índice, é um radical ainda com o mesmo índice, cujo radicando é o quociente dos radicandos.

 

Para todos os números reais positivos  e  e para ,

Exemplos

 

Passar um factor para dentro ou para fora do radical

Pode sempre escrever‑se o produto de um número racional por um radical sob a forma de um radical, bastando para isso escrever o número racional na forma de radical e, em seguida, multiplicar os dois radicais.

 

Para todo o número racional  e real  positivos e para ,

Exemplos

 

Potência de um radical

A potência de um radical é um radical ainda com o mesmo índice, cujo radicando é a potência do radicando.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos


 

Radical de um radical

O radical de um radical é outro radical cujo índice é o produto dos índices e o radicando é o mesmo número.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos

 

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Qual dos números,  e , é maior?

Determinar mentalmente um valor aproximado de  é relativamente fácil, pois sabemos que  é um valWvp>gvI>vjF󷆇۪p̅Hu }W$'(" N*ztO3AvіBX&r㚖H|tKM35}PrWQ ë.c]^+$tȨfMluWJ#Q犗&!0[./ZB\m" κ7- Dg(K>Mʯ_|hb#H'((`H"9YWgoRN ~+ cmxǴuv0̃F J5(Sg[5b]5v8į%څq I EΦ3p-Qayo۬u> 1~IzX/ζd*=*V,,^5nJ2I\kzKseqKkO>X ,M֤ .JgAз XKp7l Vuu[*T*2Ee9^M~hCeMŬ ,jN{c#'<~Y4߉7WMwEvMݭOl{ʖagp1$ʕwQQɥ^^ ld0&avh絩x,mOEx9_N;;t YL>)皕X+,gTbfVӝ[z#TbĢ~8pK y4'Vc<?ɤL U0uh MdwGуO\0 U:1d})xA8`vA0eX5N,J恓('Eg"{g@dɴ=Wn!ɀ"C@@vit"#z=m>J뵨CLr(~4`Dzu{>:uUC]3NkZ$ZD-qu Hn4QA>3(A +#6F\QLϘT¹Yj\d ݼNHR'uO tN;4cwmЯ)*xZTX&ȱ`f!l~N졯Xc"{Qvs0hFRKyMwYD]u 5u<F_[: ~UVcIRC f3G1!afbㆻѪF$; ]0KrsH#n`ʶz }i|-YP=mV'ޞG{zGHZdkE[)jj PF~}Zۧ *l r_;qbafݸwgρ{͂l ^ȪQ*2b*6|z=e_.^Ij'e5LV߯dL3PQy֋$CMԍfد@T?~XۦO qpx&Tf6538j5Ptm=ƹ:[2Јo#Nen = /\0AW+p]maJhGmn/3`o^1% YQ_F`n-rʒ!|;<+e8)Ơ?}+,-zYO $<5'R69'~Ǜ G /fX9 DjhgnCk-MJ;ZB QPL {7ԃ8nFG-^pjE1Zu f<֐W*~B%|(ɩQ}>[-dЬM e]G.p!QFs)-[vtTq~w}g >bBTN\%J3nX9jW BzH zHL;~[! ŝEP>j(-y_&&lj N-# t] 霫|:Nr3)8juc:Ǹh_B"_؅6t^m早fjZ-ǷOկ (G!_,m͔>Y8ZKY4At2ULt } VwJ޳@7rw؀1)Cp&O ɷ/?I8ۡd[II|ҢڽdR2-d.‹{0B# rW(}$v䤁’|՗A̍){K3b @$׸ivpDԇ.[ux 3pv Å^Rב~9wqwBMK?.J2|1P)&afa˕'}YsdE]X ?}ɷeBߵ?,Ay'M5a Qܧ&<0'0^q1 R'D)̾,ε ౥lc|$Aժh,ʂxҔrJVv4gFy 0Av%nv"i|Y am-FAh3bHcՇpbEsHt ?U/CL?3fϰT-~fL|}/c]iͺq. Sfٽd3! n';E4/I1.$%Aܝ%٦7]M?#&+8VP ]MxgpsLJF R`JtT-nAan4MeOrZL$Ntbە?}A%oT!G7h_ep* 6O_#2Tˎ~|+@D qnnv_ky)V[[gbn3g| *xйn YXXj` tVU@SpK&BJ8/w.MC'@Ûۜ `e:MFFh.7" ("UwU2gՒU < u3Lel&6-Hn 5K4Ae $aZ?B7Deyz;KfB: yR@w!2W^+u#xKy5\d\) ҿB0$ (4'ʑJG0{XZ/tfq׎tĉhIyېڵۘSVL]8 m֐#ߑ1uO.ZO J%`crKbq@}p)pǚ]&b@_UkSEDjT#^2WĴÓy$hqɱ-z}!MP:{oQŴ VBdDxU5|gNhɊ&s]h>]\mRv fUS$s7v<($c&럌Mc}Um_>V $1GMaq:Q0j8+^@\fT.9C|+gvJRJx{p݉uEJlt$ ~G~aT;pҡ+Ԗ]$樬9RfJպ`djb28Kwڧ?s}b;AR?0?xIP(]k/~REЃ,E(I @cL9`ؿT $v>R\[LmVTk=? Ua Y&jvI, bv?æڐ%]=A0ɢUNE/ [+u+{cfQ7\S,]d!ǢOU1\>!NO^JM&^*MM"kC2WI9lrM#\}_wqՃشߔeq,I(/#6({-ۥוkcuNN7 S@ $ Y[ـ1Fꫧ+THSWڽSuuUayigfdOv˽4+d߁yG6%%RsvrabTN-hqZ3Q+7EmN8cGOŎdd {fy hmr= G!l=UB=0Yиp;.%({R(w1@PVR,n6a*p4\<F̙"2Pwm4枞]yl kZ`f:Z~.Z}"&!J;4=Nr[pc8^vO۝Qa2kQ|VmUF)M^HqQ"N#d(W*?NpÃ~;EIE° K-Kآ"px΂h4Csq]@B6Eȱbp:_ɬ^:2!Zڧ\& fK^=mJˡ)5!pvkg8$a8ذWEÂ$1?צ!A7}eK†EkL!Eo1 Y rm_)uSO^Xe[ DFZE]o'+M}P $'a8uAys% }w[h1\ Dމ uJ0IMMЍdBJl:., TL_]sKϰ%ĈMbR{K:Hu0m\CkKx*8 1&v$*vվ 7 7P ]|ػhFnAG+6/PL/IR852k6o.yYM|u*}}tG>t_*,V}e a?;}2ARĩ4l 9;M`[}Gux́;<'I@C~򹀩m*JIg$Z3f@N4!Q . e4֩jk 3+Um )C6hZ([bxaDܨ}36Br(-)*h$}V^*'m^IFvA"2ʦS %堲`*.~>< { Ղ8_^m(~,IN/fJbQ`K+͂ 6q n$qJAx9?CnA['HU Y 0:j vMy6aQEݲH@ rj`=?k9hŠuCW22LeXSJ@WYҖ!VDgX輡&q_Z:Ah+ɔc<_z~{r 6ۼg@\zN*ƑY@N6K#&`x>/[bMlPZVX+ ]%I}y5 jba@ XH#*Ra Ykk7 Hv5ud'͏ƾ;w5ԏzw #"$k< 7?H-wyJM{mXP9et[u|N̛.ecȍυ ZЊgO$QUd1f^L5|4Ţ|-sǨ»@g>ddHTa]3Vh#ai l){hp.+}5Rb&7x'm8~:shW8ЧNޕ:8u;أ<(KD(.8)~ܺI ix+&]59Ƨh !JyǵJ;m;E4g_恍90Z=Sɧ]m1Gwc r3Ø*7D8sdT{ޝ B.j z9B"n\)j;aF=iTu~o^ɶCa:o3te̸{gZٖa3>~dBƊɋ6v24uH[[YW M 99kn_O}1DjO@6Sx.Jt2 UzM"j =vUPvTW-]$+HM ,hjiJ *=Ffa ԖE+-},3TeZ-JÜy_HKQm>BiX_],=x]ЁohPUIt-]7KiTǍgܤڟ Ldia)_aa`-fhFnQw$(qǴo2&&hSS.W^ ƭbɖ4gBHǿuQ9U9G"2l ܽ sr<߰}XePZJf$XFpb1чu-8,3ƍ%6Af kTj3]''kDH8:_N:N{aDOu[T@o|`y/>PA1t6vLmjM)"TYx>l2qs'bF.-UPU%lA+Ujzj'Z6~/矆=<33*{Fj [_e6aVd1JEVӜ#T(d!0h6|ăE2F=wNh@PqqO4/^K4Yz\VM Rr^y70W_&u`Ԋ %6? SΏuu}>QT¬yH#D"-6u8)2a|t Kso_I#\IPq!zhv{!o*fk2]8pn݅⦈;6|4(³Q;Ts'4*"xԔIHi3ΰZ4ޥPqWgS#b~m9QOgFKjCʂ:?I2e$vZa}: ~P.qqQTx M. m_ͳ#Zhc?XYyg\cxjsT%u |¬E]39\}!tJ Rltin}oJH)̶^ xy5O->fA8B^_Y\%V*x~ީ473d'mc}Em<ןKƣVRCUdqUn&&}*>z1+jPʾZػqCkiwF)Eym]qGc%Aβؘ۳KIdY#k[cpi>=s#ؿ#T6{6[)8~dUA+q*-,Ҧ Ũwq( .CIP r(_\r5b֥ߵl5'3ܾL]5fxfé$ 5Lvw߄f<>TD$%U(|%C] laxn=)0 X^@WeHGwA+a-kw'i'iUg i*~Q0ʼnBٴE3玂 oƎ[wA/~Q0[jo`jJgG@QZIN;&'vQnBayth }6Rl!Hwc܌th}4ѧsT/옳hТךPZ ;} P[JaJgϞoo\'wX=I3t_!Yx̓CXKb](%DE''LbN:pؔ 9MG\~-d֏Ca<6!5/z@{oJg-oU4k'g:G?m_Đu}k4 FMFXyd oǚilt CFJ[Pk&͇#`[O\~S羽AnM%J0^-R%hX? ~`[㬢uYʎ@NrȉfB4+ڝ-|c<'z>N XGK/% =3B\I#?lrvݩ dbs\Q9yn3kY5Qh vN`WGpܤx̑.ȏ!t+'!Z8t1l/jTU}Xb78V{d7wCX.gvĩZ)\0>CBTǚ {ztUOjTE B$@*fwdLpn^;SHD9GS6Wrdh]!8g+;x]VZ* ;7d5BΕs-xpt"I \}30_8,g*rsQdy6/xb/S/ж͡d;wC-vL!o%On1zXs,}C9s/7:{vW-Y6o]֕6cu Pn^(h>fZTt\YWbSWn]`f]vX-k(X T e*n-m9ڇnz= vVfY'xg2XO6EC95O| on FfŸӪ f)NGna+Qtfo2ԆmBfRDjvc1,oR}?Om{G{<ȑNs 8ŏinSEȶdV ~{.ݷt E/1!ȽMa;tXwng}EElq:F^vQM,%H ęӋF+Vطgr G.*bXoZ c٢qIs\ŸYN$][/s`݇DE7+_l51;u >%-#wj1޷0^8f.[=&Ň EɞŸ).x *i"˶#}_oP]RS֫j:- ;rIDž]!q?e~r#0QQMې% JVixIx^ Sj 4_k%yWq!G62޴ضKHjJE@٦uu( W [ɳ@b=/z|j5=3J#&kwh}T!DӰ}(p, e6 :8_0{qe zə亶p4ZR,xcg(avn +#><VJنf 1?+)'sOGP7c^QMM~tn_A?+w0`ۈ\mf q㢴_֧H'dD) pɴ!3 G*޲6opK*!j+ؠziWҞ}M,$Gb凄7Gb >nۃh>tyR0G)rI _HSj2O匹q|H1gʱ]{_ngvl;}2fiD+lF#R\XDS"* ,͚tgZuc@uBKb/+OYƾ_]/mVJAY81&Vfr]jUq_P<)`i/?o-L JwI,& HȶBhpf&P^C$| FY灂 ]kk E8CfK֓,O e -7PK1P<.zYS}V&O,~|V=Ac3#߭ZIC KI8?!@t `AA5םQ1%D[z1'4&1A(;jD݈u"ǜK9 ^_*Щ4M(YUrqdk=e1agmt:fODaӪۑtNxƂ,qmJwl%!]U$\\m.B[{8H[wj= FV@rTl%ē64eZ}6-A.eJ-I[E䀘-|ĺZzƗ/%u^ӮuŊc.T'DM✟6H[qǢz'QoW۪Ym1WټK6&\X?X#"$QQi*CS%U/Z) g `p*'Gj ] ypO6؎[l>io] kBÝ3l\à܀n0N $sj$Oqn~wsuv+x{ߢ] g,ǃ-#<Cʂw`2N>"lŨmSEiZrmW_k "&-*[(6 XDYa͞1UZoXxc p!Mi"+`#yl޿ny[7LRߡpln#o FSݷ,ܡ#tghqS,QQ*D ] es=83C7>rMh|m[rq_-`s'}׾!82Ŏ\pqRi]i.n"_ddQ !L.k)pr)N*m),/DF _,-2]]); MPEquation();

4.    Calcule:

a)                                     b)                                           c)  

5.    Calcule:

a)                                   b)                                    c)  

6.    Simplifique cada uma das expressões:

a)                                           b)                         c)  

7.    Efectue as operações indicadas e apresente o resultado na forma mais simples:

a)                         b)               c)                              d)               e)  

b)                g)                     h)              i)          j)   

8.    Racionalize os denominadores das seguintes expressões:

a)                                       b)                                      c)                                 d) 

 

9.    Considere um quadrado [ABCD] com  dm de lado.
Determine a mediatriz de [AB].
Com centro no ponto médio de [AB] trace um arco de circunferência que passe por C até encontrar o prolongamento de [AB] para o lado de B no ponto E.
Desenhe o rectângulo de lados [AD] e [AE].

a)    Determine o comprimento exacto do lado maior do rectângulo (  ).

b)   Sabendo que , entre que valores varia o lado maior do rectângulo?

c)    Determine o perímetro exacto do rectângulo.

10. A figura representa um paralelepípedo rectângulo seccionado pelo plano ABC que o separou em dois sólidos diferentes.

 cm

O volume do sólido menor resultante da divisão é  cm3.

a)    Determine .

b)   Determine o volume do sólido maior obtido no corte.

11. Considere um prisma quadrangular regular em que a altura é o dobro da aresta da base.

a)    Representando por a a aresta da base, obtenha as medidas de todas as diagonais do prisma.

b)   Determine a medida da aresta da base para que o volume seja  cm3.

12. Desenhe um quadrado e um círculo inscrito.
Calcule o perímetro e a área do círculo inscrito num quadrado de lado 1.
Indique o valor exacto e um valor aproximado.

13. Desenhe um quadrado e um círculo circunscrito.
Calcule o perímetro e a área do círculo circunscrito a um quadrado de lado 1.
Indique o valor exacto e um valor aproximado.

14. Considere o cubo da figura.
I é o ponto médio de [EF.

a)    Desenhe a secção resultante da intersecção do cubo pelo plano CIH. Explique o seu raciocínio.

b)   Classifique, justificando, o quadrilátero obtido.

c)    Calcule o valor exacto do perímetro da secção, sabendo que o comprimento da aresta é  cm.

15. Duas formigas vão de O a Q pelas paredes de um cubo, à mesma velocidade (R e Q são os pontos médios das arestas). A formiga A segue o trajecto ORQ e a formiga B o OPQ.

a)    Qual das formigas chega primeiro?

b)   Sabendo que a aresta do cubo é  dm, determine a diferença dos comprimentos dos trajectos, com aproximação à décima de milímetro.

 

SOLUÇÕES

1.    ;   ;   ;   .

2.    3;   ;   .

3.    ;   1;   .

4.    2;   ;   .

5.    ;   ;   .

6.    ;   ,   .

7.    ;   ;   ;   5;   ;   ;   ;   ;   ;   .

8.    ;   ;   ;   .

9.     dm;   Varia entre 1,618 dm e 1,619 dm;   (  ) dm.

10.  cm;   245 cm3.

11. ;   ;   ;    cm.

12. ;   3,14.   ;   0,79.

13. ;   4,44.   ;   1,57.

14. (  ) cm.

15. Trajecto ORQ: ; Trajecto OPQ:  (designando a a medida da aresta).  17,8 milímetros.

 

 

 

O Professor

Actualizada em
 27-06-2011