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Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática A

Ano Lectivo 2004/05         Conjunto IR - Operações com radicais, racionalização de denominadores e enquadramentos                                10.º Ano

 

NÚMEROS IRRACIONAIS

Números irracionais são números que não é possível representar na forma de fracção, isto é, que não podem ser escritos como razão de dois números inteiros.

As dízimas dos números irracionais são sempre infinitas não periódicas.

O conjunto dos números reais, IR, compreende os números racionais e irracionais.

 

As dízimas finitas e as dízimas infinitas periódicas representam sempre números racionais.

Por exemplo, determinemos a fracção correspondente ao número racional :

Designando  por , temos:

               (subtraindo ordenadamente)

Logo, .

Um irracional famoso


Potência de um radical

A potência de um radical é um radical ainda com o mesmo índice, cujo radicando é a potência do radicando.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos


Radical de um radical

O radical de um radical é outro radical cujo índice é o produto dos índices e o radicando é o mesmo número.

 

Para todo o número real positivo  e para ,

Exemplos

 

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Qual dos números,  e , é maior?

Determinar mentalmente um valor aproximado de  é relativamente fácil, pois sabemos que  é um valor aproximado de , às décimas. Mas, determinar mentalmente um valor aproximado de  já não é tarefa fácil.

Bem... quem diria que as fracções são equivalentes?!  Com efeito: .

O denominador da fracção  é um número irracional, enquanto o denominador de  é um número racional. Diz‑se que racionalizámos o denominador da primeira fracção. Esta é a transformação que, por norma, se aplica a todos os resultados em forma de fracção com denominador irracional.

Exemplos

 

ENQUADRAMENTOS

Há muitas situações em que se torna útil, e mesmo necessário, conhecer enquadramentos para os resultados de adições e multiplicações em que intervêm valores aproximados.


Enquadramento da soma

Calculemos um valor aproximado de .

Sabendo que  e que , utilizemos, por exemplo, valores aproximados a menos de uma centésima:

              (adicionando ordenadamente)

 é um valor aproximado da soma , por defeito;

 é um valor aproximado da soma , por excesso;

Qualquer número compreendido entre  e  é um valor aproximado de  com erro inferior a  (  ), ou seja, um valor aproximado da soma a menos de duas centésimas.

Diz‑se que  é um majorante do erro cometido naquela aproximação.


Enquadramento do produto

Calculemos um valor aproximado de .

Sabendo que  e que , utilizemos, por exemplo, valores aproximados a menos de uma décima:

                   (multiplicando ordenadamente)

 é h`%+H9S!AFjܩECm WM2#9rFT^ě.hhδf{@QGHrpm?{CΒU2(f<*&@DZ#8b%1NjY>t])>x4*?S1'tm{PBBt`2_?SV}dB/=a5|x2M/A']8mPEy+Ц\=S}7ufH?N>9śA~rxnbZM& `)g~1PLے|*:ht>~ELNIHvD]RO8զYV+'k)$ru3՝[6V_n#'V$3YRHXѶ[ihv6ZUܠc}? Bה8Tn9b&C7MdodnN|m)m 9 ʈXKuJE)2r.?Tg,82! s%ˀwW=;)#R󔌒.L ΋Kp ё zoF6 |1 me ǘ =OW'"2L1NҒ RAX8 `4FJfHex_!NjdD-:w4c hp*lO YLixT?A*m/ 3[:K@Kj컵'`69E ٍņ{u!(YLS.xZ$9F#Xe)%Aiլt$xD~j@rE_{e=@D$ O_55ǟPxw§y,[?-?)aX88 !܈>ǿL۠uR]1>D\KNKZ|PO:HM8Guo 1MtdX53(˃Ymͯ4c_Ӕ fn;ν@ul註+rHoMؒei4S2XܵX/蓥LPQᣨnhEkZHB6]l=@41?z[ˆw_P7ARR{D0J)x0R6MڼSG7}>ӢJ LoHgn+AZnéuOiS$QX5dxﳡq&3E]B5BBx 1Y&\ODrO+eI<5*K㷃tRsv޿,7rϛ|_8Ij"q09Jg: HY6=o>J{$iiihB_RI@vś pAܴ3h~[y!\ev(I4D*0ߏ2}A9\ ?} B֞#WWmDrZsf\bt9bfP ifxǡT3d>eFMG!/($k5)4g"5*ίNJ S Дg sÐߦ3`)9ukZno? \$N7 &!.9c4 N!=6"#O4aݿ+h2?9tL*Q/lW 8ǣKf!b򋜕i *|.uO,y@h|<k%@!jiRXPG~9MȂ+ kM ڝἔ>f͸+>'EYR0IcM,2Nff= VחgUxojS+远lʁ/0jD%#1 7EiduB'4zC[đ+UzkamM=Íc٩ȭZ{=o@LiX-M1 gg#lՄ?e喺eJ5a2{]n~2&t$d>I]ɚTEDo<8++%n\7ص(A{^U#ViѪV Q5Z,J]Ujզ;7{8>A|}?u,fB+%O*[t(-%hUBC/ý,:Sd}Y5IrR*Qm-HCrO !buǧZ:ӪVaԫ=knm2T# .@kwv?)A.Z6riWݢn; ߧ+&Jlv"GcD@CF‰z(!?hDTjǐ/cϓg%DF..6V=ָ$5 ZYlb1!$L~WSk\M'S qhYyR37*'zWg EҪ-dƪ4ChOXWWϔJb,1aHq,[xm z@Ԉ˹pv]d_?P[~H 'v:v:i:Fbt!REk`Dm%BMa %@B׬U#+,Lx4r*GzG $nR7bE:^@ 'jTml:9<&:{VfBuuNꋙvF#@I@u`r3 /sZ&&u5i |VtoP42E Wq 5S0Wjb:p Q*9#p" Z K,3>g̓A6<͍=G#v#n[ V#vq#(]%0!955(MiK@J8:t")\,|ӫkPTF .Ē+KɹD-TwɞvI"uCmqACrlh0wf<ťIl~iBzf&L(@(M:GaP6eU[!C9ƶΐˆtR:|E3Xj $ou>NL&aNe^*p{zaŲ)$ N0@nUN4]^0lyW쉝%DgBĴ%YDb699.<7v1U7(}[u[:'FpCCyOB^2<Tnr BbW8v1.q?~$Pm-z\ގM<%W T9'޺Lx|g!@ѻ 垵zË1wpWqю;JhO, K3tgoE_^SÒF^&>pcc7-B!3{f.=!#X5O#5s^phk6SxWIgjzo{I<`/}V~9~02/[e *蹀MmR_)w`D~&} >8XJ̃fjDhygZ橆oH|;~cDbk͝UmڜdW}zopl~VGB1p2WXQgEGY*8㷭xb0DKocv0{ )f&6 x)E lf0^}l9\a)YZiKܦ?b/N;z 9A hK6Y[c^yoWK&:4l?,V쯶ZklPKsnaT{Ü[$]c=x"\ry_}5sxo9:64YS--vEɣ3Af`\KG+]JaIܤldmZRo|.}sWez kEwD(9}`>2vr IO4䈘p}[u(#QS_E3GƀQy.,O(ݾITv|ޜ>~[,iqL;lYJKl|c*&jл fB#[ߥy{bsFݗ ݏVT 2ߟ$AăNߏ('l.7.ma %f-uVg&F PRb_h$48`#.`OTAȦ/~-n&_nzWh=ٺۣź 6՟Xs~x"dY\IA8cp꯽P( Lhn2էB!0zz`~Y@.f+XPvCHVCeLyHr4+?dY/1d\Q} ƝC(GzӉrp*[MF,{CV,iܱGY{ ɩaSqjOƲ##5IL漟e3n&<`*zFj h0JnȯEexne}L+i`Dٮ$hb̘28U?$bJ6 6[ e݅|%iΓ v{#P|YyVAĄAZײ+ql?'|5x(^<ƭU?Gݺ렪%#:? .ʃuY'>PBf,4mbOQb/ .* ZUyVê!0|5A \,D6'GJ"7:<"xto)ڼKCSLEbҢ-^ 3eSSvQvr~\_.GI*}ymU}xF(@0`D^eq|?$[O>^od[y?AR'VS芡'sX$*U3lC'p䴈]%FI}1e&s3wn}@c c$lt7"[3-*ڭ=wRqy-BYߌ_ݵvIB(AVywmh{Řq>X1<sǖqRU`l6< AkK b}ކi,3靐sQD]T=_Ln˨ r1 R}jѺ:.Md F! l#)?bAj5،˂򈞎љӠ4U-xJ&uCmxԮ>I pD1; )⮏rv>fO8r8#\ъ9Rspƭ!78u\E$pUe*J!\hphƒ*s؇tբ_wz|֧Uez;wH[:HD99CYZ-4Nrr,G)Nl#F[h"nQ )*W=Q| }ۆJV2n d䮪ſޏd1 l@zL/yp}ȏ퇭qЅϪ!12;}yҧM"WA\%7' !1,:An,h_Mdxj}mHwŊon/߼ ]?ؔ9j>1Bo?\nQC2 SN)D-[dWh2 6ur>Pq~WeseMӺ]],iJSh2,ESM ԞYZef!Ld! 4M}t$&"cQQhױG\IԞsLpXu1^p+pL|D}mPq6bߴᵬ9SJ&UpgX ӝ\n% #ȥ ۲۰!wZ`v6Lܵ)w{ j}Z~G5~,egSiRG SF&"DÆ.Od4dG/6%f ] axUcC:rY]2jpm1䓙@AC1祃dT|5OFԹQy3Ԅz"9XoExQOvpʏA󕽯<f:Ű)$3eUo`(> |C) Q֏G-%Srx@y8C's,YQQ4m=ZqZ6kO= r :|9rnuқexR% @kqmbX*Mh=|BvQG˭0YZRT,Tj,ȵ&EYQ$WB޷t\; +;"ϝ9*5sGn-aCq΋A6sm`X6:`t103!mv a ByZ܊چ \2l[fY[\4YpI`GiF"#Z$叵G}%&tk\*nЦ6H5+$oRlٷLveD֙S(UĶv;d>enkw!n`3}CyQ֐oZ?-d[X[!jEb8B3{VE{u7]_KV/, jsWM5 ^;ʸZ1f(?SϯW["b޹ 3lzɵQcr"O)QTsfa,`hT4-Epֽbr!Bj?(|&8ipD$yL.Pusioǽ;7ي,N Χ!E$YV8rh MZTJ^z.^N)Y* lK*jMDI{}-y9؟23؃%AY~^l4vTx)&Ϛ. 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b)    Sabendo que , entre que valores varia o lado maior do rectângulo?

c)    Determine o perímetro exacto do rectângulo.

10. A figura representa um paralelepípedo rectângulo seccionado pelo plano ABC que o separou em dois sólidos diferentes.

 cm

O volume do sólido menor resultante da divisão é  cm3.

a)    Determine .

b)    Determine o volume do sólido maior obtido no corte.

11. Considere um prisma quadrangular regular em que a altura é o dobro da aresta da base.

a)    Representando por a a aresta da base, obtenha as medidas de todas as diagonais do prisma.

b)    Determine a medida da aresta da base para que o volume seja  cm3.

12. Desenhe um quadrado e um círculo inscrito.
Calcule o perímetro e a área do círculo inscrito num quadrado de lado 1.
Indique o valor exacto e um valor aproximado.

13. Desenhe um quadrado e um círculo circunscrito.
Calcule o perímetro e a área do círculo circunscrito a um quadrado de lado 1.
Indique o valor exacto e um valor aproximado.

14. Considere o cubo da figura.
I é o ponto médio de [EF].

a)    Desenhe a secção resultante da intersecção do cubo pelo plano CIH. Explique o seu raciocínio.

b)    Classifique, justificando, o quadrilátero obtido.

c)    Calcule o valor exacto do perímetro da secção, sabendo que o comprimento da aresta é  cm.

15. Duas formigas vão de O a Q pelas paredes de um cubo, à mesma velocidade (R e Q são os pontos médios das arestas). A formiga A segue o trajecto ORQ e a formiga B o OPQ.

a)    Qual das formigas chega primeiro?

b)    Sabendo que a aresta do cubo é  dm, determine a diferença dos comprimentos dos trajectos, com aproximação à décima de milímetro.

 

 

 

SOLUÇÕES

1.    ;   ;   ;   .

2.    3;   ;   .

3.    ;   1;   .

4.    2;   ;   .

5.    ;   ;   .

6.    ;   ,   .

7.    ;   ;