Erros procuram-se

Demonstração em como  2 = 1

X = Y

X² = XY  (multiplica-se por X em ambos os membros)

X² – Y² = XY – Y²  (subtrai-se Y² em ambos os membros)

(X+Y)(X-Y) = Y(X-Y)  (factoriza-se em ambos os membros)

(X+Y) = Y   (divide-se por (X-Y) em ambos os membros)

Y+Y = Y   (substitui-se X por Y)

2Y = Y

2 = 1   (divide-se por Y em ambos os membros)

ONDE ESTÁ O ERRO?

DEmonstração em como  2 = 3

-6 = -6

4 – 10 + 25/4 = 9 – 15 + 25/4  (soma-se 25/4 em cada membro)

(2 – 5/2)² = (3 – 5/2)²  (temos em cada membro um caso notável)

2 – 5/2 = 3 – 5/2   (tiram-se os quadrados)

2 = 3 

ONDE ESTÁ O ERRO?

FALTA DINHEIRO?
Três amigos foram almoçar e receberam a conta total: 14 euros cada. Depois de receber os 42 euros, o dono do restaurante diz ao empregado para fazer um desconto e cobrar só 37 euros. Quando este se prepara para ir entregar os 5 euros de troco aos clientes, repara que eles não são divisíveis por 3. Assim, o empregado mete ao bolso 2 euros e devolve a cada cliente 1 euro.

Resumindo, cada cliente pagou 13 euros (o que dá um total de 39 euros) e o empregado ficou com 2 euros, isto é, 39+2=41 euros. Falta 1 euro. Quem o tem?

LENDA DO INVENTOR DO XADREZ (outra versão)
Como é sabido, a lenda diz que o inventor pediu ao Rei Shirham  1+ 2 + 4 + ... + 2⁶² + 2⁶³ grãos de trigo pela a sua invenção (nºde grãos de cada casa do tabuleiro de xadrez). Também é sabido que, feitas as contas, não havia em toda a Terra esta quantidade de trigo para dar ao inventor. Daí que um conselheiro do Rei Shiram, matemático, tenha dito ao Rei que este podia dar ainda mais grãos de trigo ao inventor, isto é, 1+ 2 + 4 + ... + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + 2⁶⁵ ... (tantos grãos que correspondem a um tabuleiro infinito). Afinal, quantos grãos recebeu o inventor?

Seja X  igual a 1+ 2 + 4 + ... + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + 2⁶⁵ .... Então,

X = 1+ 2 (1 + 2 + 4 + ... + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴ + 2⁶⁵ ...) (põe-se o 2 em evidência)

X = 1 + 2X  (substitui-se o X)

X = -1 ???? (diz o Rei Shiram para o inventor: dá-me o grão de trigo que me deves!)

O QUE É ISTO, UMA SOMA INFINITA DE TERMOS POSITIVOS SER IGUAL A UM Nº NEGATIVO??

A AVENTURA DOS 35 CAMELOS

Poucas horas havia que viajávamos no meu camelo, sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registo na qual o meu companheiro Beremiz “O Homem que calculava”  pôs em prática, com grande talento, as suas habilidades de exímio algebrista. Encontrámos, perto de um antigo caravançarai meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:

- Não pode ser!

- Isto é um roubo!

- Não aceito!

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos os irmãos Namir – esclareceu o mais velho – e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa do meu pai, devo receber a metade, o  meu irmão Hamed uma terça parte e Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir os 35 camelos visto que dividindo ou por 2 ou por 3 ou por 9 as divisões não são exactas. Como é que havemos de fazer a partilha?

- É muito simples – respondeu Beremiz – permitam-me que junte aos vossos 35 camelos da herança este belo animal que em boa hora aqui nos trouxe.

- Não posso consentir semelhante loucura – repliquei – Como poderemos concluir a viagem se ficarmos sem o camelo?

- Não te preocupes com o resultado, ó bagdali – sossegou-me, em voz baixa, Beremiz – Sei muito bem o que estou a fazer. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo Jamal, que foi imediatamente reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos entre os três herdeiros.

- Vou, meus amigos – disse-lhes Beremiz – fazer a divisão justa e exacta dos camelos que são, agora, em número de 36.

E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste a ganhar com esta divisão!

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e tal. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar pois tu também saíste com visível lucro na transacção.

E disse, por fim, ao mais moço:

- E tu, jovem Harim, segundo a vontade do teu pai deverias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!

E concluiu Beremiz com a maior segurança e serenidade:

- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir, partilha em que todos saíram a lucrar, couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos (18+12+4). Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao bagdali, meu amigo e companheiro; outro toca por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó estrangeiro! – exclamou o mais velho dos três irmãos – Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e equidade.

E o astucioso Beremiz, “O Homem que calculava”, tomou logo posse de um dos mais belos “jamales” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:

- Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro especial para mim!

E continuámos a nossa jornada para Bagdá.

ÁREAS ERRADAS

Na figura seguinte, tem-se:

Área do triângulo – Área do rectângulo = 6 diferente de 7 = soma das área dos 2 triângulos menores

Onde está o erro?