1º) Razões trigonométricas (Outubro 2003)

É dada a figura seguinte em que e .

a) Calcula a área a sombreado a menos de 0,1.

b) Determina o valor de a no sistema sexagesimal em graus, minutos e segundos.

2º) Rectas e Planos no espaço (Dezembro 2003)

Exercício 63 das folhas de geometria

3º) Função racional (Janeiro 2004)

1) Considera a função definida por

Num relatório:

»» Justifica as translacções necessárias para chegar ao gráfico de f a partir do gráfico de .

»» Calcula o zero da função (analiticamente).

»» Determina as equações das assimptotas do gráfico de f, justificando.

»» Esboça o gráfico de f.

»» Indica o domínio, contradomínio e a tabela do sinal e da monotonia.

2) De uma função racional g sabe-se que o seu gráfico admite a assimptota y = 1 e que . Indica uma possível expressão para g.

4º) Modelo matemático (Março 2004)

Carlos Altis, um atleta que está a começar a sua carreira no salto em altura, arranjou um treinador. Este, depois de alguns exames e experiências, declarou que a altura a que Carlos conseguiria saltar se seguisse cuidadosamente o seu novo método de treino, evoluiria de acordo com a seguinte função:

sendo A a altura em metros e t o tempo em semanas.

a) Que altura saltará o Carlos após 2 semanas de treinos? Indica o resultado a menos de 0,01.

b) Calcula e interpreta a t.m.v. em [0,11] (nos cálculos intermédios, utiliza duas casas decimais).

c) Considera a seguinte afirmação:

“Seguindo este modelo, é possível ao Carlos saltar 1,98 metros dentro de 1 ano.”

Concordas com esta afirmação? Usa a calculadora gráfica para justificar a resposta numa breve composição (junta à justificação um ou mais gráficos).

5º) Função Irracional (Março 2004)

Considera as funções definidas por e . A função L representa o lucro da empresa A (em milhares de euros) originado pela venda de x centenas de peças de um certo produto (x > 0) e a função M representa o lucro da empresa B, concorrente da A (também em milhares de euros por cada x centenas de peças vendidas).

1. Qual é o lucro da empresa A quando vendem 1250 peças? Apresenta o resultado até aos cêntimos de euro.

2. Determina, analiticamente, o(s) zero(s) da função L. Tendo em conta a solução (ou as soluções), o que podes dizer sobre o número de peças que a empresa A tem de vender para não ter prejuízo?

3. Recorrendo à calculadora, resolve a inequação . Interpreta a solução no contexto do problema. Explica como procedeste (na tua explicação, deves incluir o gráfico, ou gráficos, que consideraste para resolver esta questão).

6º) Progressões (Maio 2004)

1. No concurso “Quem quer ser rico”, um concorrente respondeu a todas as 15 questões propostas e tem agora de escolher a melhor opção para ganhar o dinheiro em jogo.

Na opção A, a primeira questão correctamente respondida vale € 10 000, a segunda questão vale € 11 500, a terceira € 13 000 e assim sucessivamente.

Na opção B, a primeira questão certa vale € 10, a segunda questão vale € 20, a terceira € 40 e assim sucessivamente.

Num pequeno relatório com todos os cálculos efectuados, indica qual a melhor opção para este concorrente.

2. Supõe que te dava na cabeça guardar € 1 no banco, a uma taxa anual de 4% (juros compostos, isto é, juros sobre juros), para ser levantado (quantia acumulada) pelos teus descendentes daqui a 500 anos. Se nessa altura um apartamento custar € 10 000 000, será possível que os teus descendentes consigam comprar um com a quantia acumulada? Justifica.

3. Considera a seguinte sucessão: 2004; 1997; 1990; 1983; ... . O número 0 pertence a esta sucessão? Justifica.