Já tiveste oportunidade de no ponto anterior de estudares um pouco da história do Pitágoras, agora irás observar e efectuar várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Demonstração 1:

Presume-se que Pitágoras terá feito uma demonstração do tipo desta que irás demonstrar.

Considere-se um triângulo rectângulo cujos lados medem, numa dada unidade, a e b, e a hipotenusa mede c.

Primeiro constroem-se dois quadrados iguais de lados a + b:

Segundo, num dos quadrados constroem-se 4 triângulos da seguinte forma:

e no outro, dois quadrados e 4 triângulos, como podes observar na seguinte figura:

Ora, mas em cada figura, o quadrado inicial tem de lado a + b. Um dos quadrados foi dividido em 4 triângulos e um quadrado com medida de lado igual a c ( a medida da hipotenusa do triângulo considerado inicialmente).

O outro quadrado foi também dividido em 4 triângulos iguais aos do quadrado anterior.

Ora se temos dois quadrados iniciais geometricamente iguais e ambos contêm 4 triângulos geometricamente iguais ao triângulo rectângulo considerado inicialmente então o que resta num quadrado tem que ser igual ao que resta no outro.

Ora se compararmos as áreas dos quadrados que restam temos:

isto é,
                                                  

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Demonstração 2:

Desenha um triângulo rectângulo [ABC], qualquer, rectângulo em A.

Em seguida constrói os quadrados de lados [AB], [BC] e [AC], sobre os lados indicados, da seguinte forma:

Em seguida, desenha as diagonais do quadrado de lado [AC], para determinares o centro O do quadrado.

Por O traça dois segmentos de recta paralelos aos lados do quadrado de lado [BC].

O quadrado ficou dividido em 4 partes que se numeram de 1 a 4. O quadrado de lado [AB], numera-se com o número 5.

Recorta as 5 partes numeradas e com elas tenta obter o quadrado de lado [BC].

Solução

Depois de teres construído com as 5 partes numeradas o quadrado de lado [BC], investiga qual a relação existente entre as áreas dos quadrados de lados [AB], [BC] e [AC].

Solução

Acabaste de demonstrar o Teorema de Pitágoras!

 

Demonstrações interactivas :

Observa e manipula as duas demonstrações do Teorema de Pitágoras que acima estudaste utilizando dois "applets" com os seguintes endereços:

http://www.ies.co.jp/math/java/pythasvn/pythasvn.html

http://www.ies.co.jp/math/java/pythafor/pythafor.html