2.1 A história do problema 

Dos três famosos problemas clássicos da matemática grega - a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo - extremamente importantes no desenvolvimento da geometria, a duplicação do cubo foi talvez o mais famoso, na Antiguidade. A duplicação do cubo é um problema de enunciado muito simples e talvez por esse motivo tenha despertado o interesse de matemáticos, e não só, ao longo dos tempos27. Mas a primeira questão que se coloca ao escrever sobre este problema é: como terá surgido o problema da duplicação do cubo ? Florian Cajori afirma:

"Os Pitagóricos mostraram que a diagonal de um quadrado é o lado de um outro quadrado com o dobro da área do primeiro. Isto provavelmente sugere o problema da duplicação do cubo, isto é, encontrar a aresta de um cubo com o dobro do volume dum cubo dado." ([C], p. 21).

Os geómetras da época tinham conhecimento que para duplicar 28 um quadrado bastava considerar para lado do quadrado procurado a diagonal do quadrado original. Isto é, se um quadrado tem lado 1 e procuramos um quadrado com o dobro da área deste, basta construir um quadrado de lado . Assim, para duplicar um quadrado de aresta a basta construir um quadrado de aresta . É então natural surgir a questão de transpor este problema para figuras sólidas, sendo de esperar que se comece por um cubo. ( [Du3], p. 86).

Eratóstenes de Cirene, bibliotecário na famosa biblioteca de Alexandria no séc. III a.C. e "(...) reconhecido pelos seus contemporâneos como um homem de grande distinção em todos os ramos do conhecimento (...)" ([H4], II, p. 104), atribui a este problema uma outra origem. Como escreve Wilbur Knorr:

"Nós possuímos relatos sobre os primeiros estádios do estudo da duplicação do cubo em duas fontes derivadas de Eratóstenes de Cirene (...). Uma delas é um fragmento de uma parte do seu diálogo Platonicus, que foi preservado por Teão de Esmirna e Plutarco, em escritos datados do século II a.C.. A outra assume a forma de uma carta dirigida por Eratóstenes ao seu real patrono Ptolomeu III Evergeta (...)." ([Kn1], p. 17).

Devemos a Eutócio de Áscalon, comentador do início do século VI d.C, os principais conhecimentos históricos que hoje possuímos sobre o problema da duplicação do cubo. Mais adiante ficará claro o contexto - comentário à proposição 29 1 do livro II do tratado Da Esfera e do Cilindro, de Arquimedes - em que este comentador faz alusão ao problema da duplicação do cubo. 

"A descrição de Eutócio consta de cinco longas páginas na edição standard de J. L. Heiberg." ([Kn1], p. 17). Wilbur Knorr, na página 17 da obra citada, apresenta um "breve sumário" do texto de Eutócio. E, como diz Fernando Vasconcelos ([V], p. 553):

"É nos comentários Sôbre a Esfera e o Cilindro que, depois de ter mencionado a carta de Eratóstenes a Ptolomeu, Eutócio indica os processos de Arquitas, Menecmo, Eratóstenes e Nicomedes, bem como os métodos usados por Platão, Apolónio, Diocles, Herão, Filão e Esporo, para a inserção de duas meias proporcionais entre duas rectas, (...)." 

Fernando de Vasconcelos não contabiliza a solução de Papo e ficamos na dúvida sobre o motivo desta omissão. Será pelo facto, que mais adiante analisaremos, das soluções de Esporo e Papo serem praticamente a mesma que a de Diocles? 

Eutócio reproduz a carta de Eratóstenes ao rei Ptolomeu III Evergeta do Egipto, a qual contém duas lendas sobre o aparecimento do problema da duplicação do cubo. Conta 30 assim:

"«Eratóstenes a Ptolomeu, saúde !

«Conta-se que um dos antigos poetas trágicos fêz aparecer Mino em scena, no acto de mandar construir um túmulo a Glauco; e que Mino, verificando que este tinha de cada lado cem pés de comprimento, disse: «pequeno espaço na verdade concedeste ao sepulcro de um rei; duplica-o, conservando-lhe sempre a forma cúbica, ficarão imediatamente duplicados todos os lados do sepulcro». Ora, é claro que êle se enganava. De facto duplicando-se os lados duma figura plana, esta fica quadruplicada, e uma figura sólida ficará octuplicada. 

«Então foi agitada entre geómetras a questão de saber como se podia duplicar uma dada figura sólida qualquer, conservando-lhe a forma. E êste problema foi chamado duplicação do cubo. Todos ficaram duvidosos, durante muito tempo, até que Hipócrates de Chios achou que, «se entre duas linhas rectas, das quais a maior seja dupla da menor, se inscreverem duas médias em proporção contínua, o cubo ficará duplicado»; transmudando-se, assim, uma dificuldade noutra não menor.

«Narra-se também que, mais tarde, os Délios31, levados pelo oráculo a dobrar um certo altar, caíram no mesmo embaraço. E alguns embaixadores vieram procurar os geómetras que conviviam com Platão na Academia, para os excitar a descobrir o que lhes era exigido. Êstes ocuparam-se do assunto com diligência, e diz-se que, tendo procurado inserir duas meias entre duas rectas, Arquitas Tarentino o resolveu com o semi-cilindro, e Eudóxio mediante certas linhas curvas. 

«A êstes geómetras seguiram-se outros, que conseguiram tornar mais perfeitas as demonstrações, mas não a construção e a sua exequibilidade prática, exceptuando talvez Menecmo, e com grande trabalho»."

A autenticidade desta carta é posta em causa por alguns historiadores. O intelectual alemão U. von Wilamowitz-Moellendorff (1848-1931) defendeu31a que a carta não pode ser genuína. Apesar de poder não ter sido escrita por Eratóstenes, o desconhecido autor deu um grande contributo para a história da matemática ao ter incluído um importante e verdadeiro documento histórico - um epigrama de Eratóstenes, constante de uma placa fixa no templo de Ptolomeu, em Alexandria. ([Wa1], p. 160-161).

Van der Waerden (1903-1996), na linha de pensamento de Thomas Heath (1861-1940), aponta que existem divergências entre os dois relatos quanto à história do aparecimento do problema da duplicação do cubo. Se de acordo com a primeira lenda o problema surgiu no tempo de Hipócrates, então não poderá ter surgido (como dá a entender a segunda lenda) no tempo de Platão. ([Wa1], p. 161; [H4], I, pp. 245-246):

"Notamos uma certa contradição entre as duas partes da narrativa; aparentemente duas versões da história são transmitidas, uma depois da outra. De acordo com a primeira versão, a duplicação do cubo é um velho problema, relacionado com uma lenda sobre Minos. Hipócrates de Quios, e outros antes dele, ocuparam-se deste problema. Na segunda versão, o problema surge de uma declaração feita aos habitantes de Delos por um oráculo no tempo de Platão, meio século depois de Hipócrates." ([Wa1], p. 161).

Mas a segunda lenda, na própria versão de Eratóstenes, é citada por Teão de Esmirna:

"Na sua obra intitulada Platonicus, Eratóstenes relata que quando o deus anunciou aos habitantes de Delos, através dum oráculo, que se queriam ver-se livres de uma praga deveriam construir um altar duplo daquele que existia, os artífices ficaram muito embaraçados por não serem capazes de descobrir como um sólido podia ser duplicado mantendo a sua forma. Foram perguntar a Platão como o haviam de fazer, tendo este respondido que o significado das palavras do oráculo não era que o deus queria duplicar o altar, mas que o seu desejo, ao dar-lhes esta tarefa, era envergonhar os gregos pela sua indiferença pela matemática e pela sua ignorância no que diz respeito à geometria." (citado em: [Wa1], p. 161).

Van der Waerden foi mais longe que Thomas Heath ao procurar a fonte, ou fontes, da carta de Eratóstenes ao rei Ptolomeu, e concluiu:

"É provável que o Platonicus seja um diálogo onde os habitantes de Delos, Platão, Arquitas, Eudoxo e Menecmo aparecem. Nesta história dramática, Eratóstenes condensou todo o desenvolvimento do problema num curto espaço de tempo. Sendo assim, ele não podia fazer referência a Hipócrates de Quios. De facto o problema é muito mais antigo, visto ter origem na tradução da equação cúbica babilónica na álgebra geométrica tridimensional. Assim, a contradição entre a primeira e segunda lenda na "carta" esclarece-se por si própria: a primeira fábula provém, possivelmente, de fontes históricas, a segunda do Platonicus." ([Wa1], p. 161).

A tradição deste problema não é muito clara mas, verdadeiras ou falsas as lendas e suposições sobre o seu aparecimento, um facto é certo: este problema foi estudado na Academia de Platão pois foram atribuídas soluções, que não se enquadram na geometria do primeiro livro de Euclides, a vários geómetras da época, como, por exemplo, Arquitas e Menecmo.

Seidenberg, num artigo intitulado "The Ritual Origin of Geometry" datado de 1962 e publicado na revista Archive for History of Exact Science, coloca a seguinte questão:

"Se o oráculo colocou o problema, uma questão que se levanta é: Como ocorreu ao oráculo que duplicar um altar é um meio de combater uma praga? E se o oráculo não colocou o problema, a questão continua a ser a mesma: Como é que a pessoa que inventou a história teve a ideia de que duplicando o altar iria combater a praga?" ([Se1], p. 494).

Seidenberg conclui, um pouco à laia de interrogação:

"Não será provável que ele [o oráculo ou o autor da história] tenha ido buscar [a ideia] a um ritual já existente, talvez guardado na forma de uma lenda?" 32 ( [Se1], p. 495).

É habitual todos aqueles que trabalham em matemática ilustrarem as suas ideias recorrendo a motivações do dia a dia: a rituais, a problemas da física, da geografia, da economia, etc.. Não poderá, assim, a lenda do oráculo de Delos ter sido usada como motivação externa para o problema matemático em questão?

Como já referimos, os conhecimentos sobre o problema da duplicação do cubo advêm, principalmente, do legado de Eutócio. Este comentador transmite-nos, respectivamente, as soluções de Platão, Herão, Filão, Apolónio, Diocles, Papo, Esporo, Menecmo, Arquitas, Eratóstenes e Nicomedes. O próprio Eutócio não faz grande referência sobre as suas fontes. Ele começa por afirmar, no seu comentário sobre a síntese da proposição I, do livro II de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro, que "(...) nós encontrámos este problema nos escritos que a isso se referem por vários homens famosos." ([E]; em [Ver2], II, p. 588).

Antes de nos debruçarmos sobre estas soluções (que vamos analisar pela ordem cronológica apontada por Thomas Heath na obra A History of Greek Mathematics ([H4], I, pp. 244-268)), comecemos por concentrar-nos no primeiro progresso efectivo e, é claro, no primeiro nome que aparece associado ao problema da duplicação do cubo - Hipócrates de Quios.

2.2 A REDUÇÃO DE HIPÓCRATES

Como já anteriormente nos apercebemos, a suposta carta de Eratóstenes ao rei Ptolomeu coloca na boca de Hipócrates de Quios, matemático da segunda metade do século V a.C., que "se entre duas linhas rectas, das quais a maior seja dupla da menor, se inscreverem duas médias em proporção contínua, o cubo ficará duplicado." (citado em: [V], p. 365).

Parece, assim, que foi Hipócrates quem deu os primeiros passos no sentido da tentativa de resolução do problema da duplicação do cubo, ou mais genericamente a ampliação do cubo numa dada razão. Este geómetra reduziu o problema a um outro - um problema de geometria plana - de dificuldade não propriamente menor, visto que continuou a não ser possível encontrar uma solução usando apenas régua não graduada e compasso, mas que possibilitou o desenvolvimento de novas técnicas geométricas.

O que Hipócrates afirma é que se, dado um cubo de aresta33 a, encontrarmos dois segmentos x e y tais que , isto é, encontrarmos dois meios proporcionais entre os segmentos a e b, então o cubo de aresta x tem o volume ampliado na razão b/a.

A duplicação do cubo é um caso particular, quando b = 2a, e procuramos assim x e y tais que . De facto, facilmente se deduz das proporcionalidades anteriores que , o que prova que o cubo de aresta x tem volume duplo do cubo de aresta a. Ou seja, a razão dos volumes dos cubos em causa (de arestas a e x respectivamente) é a razão de 1 para 2, pois . Sendo assim, é evidente a equivalência entre os dois problemas - a duplicação do cubo e a construção de dois meios proporcionais entre a aresta do cubo inicial e o seu dobro. 

É muito provável que a descoberta de Hipócrates tenha sido feita em analogia com o problema da duplicação do quadrado. François Lasserre (1919-1989) fez uma interessante conexão entre o caso «plano» e o caso «sólido»:

"Dados dois quadrados diferentes a2 e b2, a área que será o meio proporcional entres eles é a do rectângulo ab, designado de rectângulo medial, obtido pela multiplicação do lado do primeiro quadrado pelo lado do segundo, ou vice-versa: a2/ab = ab/b2. Mas se considerarmos dois cubos diferentes, a3 e b3 , multiplicando a base do primeiro pelo lado do segundo, e vice-versa, isto é, a base do segundo pelo lado do primeiro (por analogia com o precedente cálculo), resulta não em um, mas em dois meios volumes, tendo a forma de paralelepípedos rectangulares; a2b e ab2. Estes paralelepípedos são os meios proporcionais entre a3 e b3: a3/a2b=a2b/ab2=ab2/b3. Se substituirmos os quatro volumes representados por estas expressões pelas sucessivas grandezas a, x, y, e b, parece assim, que o problema da duplicação do cubo se reduz, em termos geométricos, à construção de duas grandezas x e y como meios proporcionais entre duas dadas grandezas a e b, de modo que b=2a." ([L], pp. 115-116) 34.

George Allman ([All], p. 84) defende que Hipócrates deve ter considerado o problema resolvido supondo que foi encontrado um cubo com o dobro do volume do cubo dado, depois terá procurado o terceiro proporcional entre as arestas destes dois cubos, seguidamente encontrado o quarto proporcional entre estas três linhas; o quarto proporcional tinha o dobro da aresta do cubo dado. Assim estava o problema resolvido: bastava procurar os dois meios proporcionais entre a aresta do cubo inicial e o seu dobro.

Consideremos então um cubo de aresta a. Suponhamos que a aresta do cubo de volume duplo é x. Assim

O terceiro proporcional de a, x será y tal que

O quarto proporcional de a, x, y será b tal que  .

Mas então, por um lado, e, por outro lado, . 

Logo, . 

Os Pitagóricos tinham resolvido o problema de encontrar o meio proporcional entre duas linhas dadas, é por isso muito provável que Hipócrates tenha colocado este novo problema de uma maneira análoga35.( [All], p. 84). 

No entanto, Thomas Heath aponta uma outra direcção: 

"Alternativamente ele [Hipócrates] pode ter ido buscar a ideia à teoria dos números." ([H4], I, p. 201). 

De facto existe uma proposição nos Elementos de Euclides, Elementos VIII, 12, que 36 refere que entre dois números cúbicos existem dois meios proporcionais e "(...) é bastante provável que Hipócrates tenha apenas dado uma interpretação geométrica deste facto." ([H4], I, p. 201).

Não se sabe qual foi o raciocínio de Hipócrates para ter reduzido o problema da duplicação do cubo ao problema de encontrar dois meios proporcionais. No entanto, é natural aceitar a analogia com o problema da duplicação do quadrado.

"(...) Hipócrates pode ter usado um argumento por analogia para obter o seu propósito. Ele queria tratar um problema em aberto, na geometria tridimensional, do mesmo modo que um problema em geometria plana tinha sido resolvido muito tempo antes. Ele pode ter começado com a ideia que 'quadrado' e 'cubo' são, de certo modo, figuras análogas." ([Sz], pp. 97-98).

"Embora não haja nenhum testemunho directo desse facto, os historiadores acreditam que Hipócrates começou por reflectir na questão da duplicação do quadrado e que, de seguida, a procurou generalizar." ([ESQSC], p. 310). 

De facto, se o problema da duplicação do quadrado pode ser reduzido ao problema de encontrar um meio proporcional entre a aresta e o seu dobro, não seria de «esperar» que o problema da duplicação do cubo pudesse ser reduzido ao problema de encontrar dois meios proporcionais entre a aresta e o seu dobro? Assim, tendo em conta esta analogia, vamos começar por dar alguma atenção ao problema da duplicação do quadrado. 

Seja dado um quadrado de lado a; juntando dois desses quadrados obtemos um rectângulo de área dupla da do quadrado inicial. A questão que agora se coloca é quadrar este rectângulo, isto é, construir um quadrado com a mesma área do rectângulo em causa.

Esta quadratura resolve-se 37 construindo o meio proporcional, x, entre os segmentos a e 2a. E construir um meio proporcional com régua não graduada e compasso não era difícil para os geómetras da época. 

Repare-se que da proporção deduzimos que , o que prova que o quadrado de lado x tem área dupla da do quadrado de lado a. 

Relativamente ao problema da duplicação do cubo, é possível que Hipócrates tenha efectuado um percurso análogo ao seguinte raciocínio 38: 

1- Consideremos um cubo de lado a; juntando dois desses cubos obtemos um paralelepípedo de arestas 2a, a, e a, cujo volume é duplo do volume do cubo inicial.

2- Suponhamos, agora, que pretendemos transformar o paralelepípedo noutro com o mesmo volume, a mesma altura a, mas com uma das arestas da base x . Tendo em atenção que o volume terá de se manter o mesmo, a outra aresta da base terá de se alterar, designemo-la por y. 

Como o volume e a altura dos sólidos das últimas duas figuras se mantiveram, vem que , donde

3- Finalmente vamos transformar o paralelepípedo da figura anterior num cubo, mantendo o volume, mas de aresta x. 

Assim, a face de arestas a e y transformou-se numa face quadrada de aresta x mas com a mesma área, donde, e assim vem que 

4- De (1) e (2) deduzimos então, como pretendíamos, que

Não temos registos de que Hipócrates tenha sido capaz de construir os dois meios proporcionais a que se refere na sua redução do problema da duplicação do cubo ao problema dos dois meios proporcionais; aliás, será que ele procurou tal construção?

"Mais tarde os geómetras reconheciam claramente que uma redução não é ela própria equivalente a uma solução do problema proposto. Mas será que Hipócrates já fazia esta distinção no seu tratamento do problema da duplicação do cubo? Uma passagem de Aristóteles sugere que sim." ([Kn1], p. 24). 

Efectivamente a passagem a que Knorr se refere encontra-se na obra de Aristóteles De Anima II quando este define "quadratura". (cf. em [H3], p. 191). 

Depois de Hipócrates ter descoberto que o problema da duplicação do cubo se podia reduzir ao problema de encontrar dois meios proporcionais entre a aresta do cubo dado e o dobro desta, parece que todo o esforço subsequente foi no sentido de encontrar uma construção para os dois meios proporcionais em causa. Estas buscas foram muito frutíferas no desenvolvimento da matemática, sendo um exemplo de tal facto a " (...) descoberta (ou, pelo menos, estudo atento) das secções cónicas." ([ESQSC], p. 311).

É amplamente aceite que Hipócrates reduziu o problema da duplicação do cubo ao problema de encontrar dois meios proporcionais entre duas linhas dadas. Aliás, George Allman ([All], p. 59) refere uma passagem de Proclo, onde Hipócrates é mencionado com tendo sido o primeiro inventor da redução geométrica39. No entanto, entre as muitas dúvidas que persistem, tem grande relevância aquela que diz respeito ao modo como ele terá justificado a sua redução. 

A questão continua a suscitar interesse entre os historiadores. Em 1995, Ken Saito publicou na revista Historia Mathematica, o artigo 40 "Doubling the Cube: A New Interpretation of its Significance for Early Greek Geometry."41

É provável que Hipócrates tenha efectivamente provado a sua redução; caso contrário, seria de estranhar o facto de Arquitas 42, como parece, ter partido logo para a procura dos dois meios proporcionais como tentativa de solução para o problema da duplicação do cubo, tomando como certa a equivalência entre os dois problemas. 

2.3 A SOLUÇÃO DE ARQUITAS

Arquitas de Tarento, geómetra do séc. IV a.C., é o autor da mais antiga solução43 para o problema da duplicação do cubo, da qual temos conhecimento através de uma passagem de Eudémio de Rodes reproduzida nos escritos de Eutócio. ([Ver2], II, p. 607).

Pensamos que a notoriedade desta solução, de extrema beleza e absolutamente rigorosa, não lhe advém só pelo facto de ser a primeira mas, principalmente, por ser uma construção engenhosa a três dimensões (e não no plano). Esta construção envolve a procura de um certo ponto, obtido pela intersecção de três superfícies de revolução - um cone recto, um cilindro e um toro. A intersecção do cilindro com o toro é uma curva e o ponto pretendido obtém-se pela intersecção desta curva com o cone. 

"(...) curva de dupla curvatura, à qual Arquitas não deu denominação especial - provavelmente o primeiro exemplo duma curva dêste género concebida por um geómetra -, cuja construção mostra que a Escola Pitagórica empregava, já nesta época, o conceito de logar geométrico e fazia uso da geometria do espaço (...)." ([V], p. 182). 
       A solução proposta por Arquitas, além de ser uma solução de extrema beleza geométrica, revela uma excelente inovação por parte deste matemático, nomeadamente por utilizar movimentos mecânicos na solução de um problema geométrico44.

"A solução de Arquitas é a mais notável de todas, especialmente quando é considerada a sua data (primeira metade do século quarto a.C.), porque não é uma construção plana mas uma construção corajosa a três dimensões, determinando um certo ponto como a intersecção de três superfícies de revolução (...)." ([H4], I, pp. 246-247). 

Relativamente a esta solução, comecemos por atender ao texto histórico transmitido por Eutócio no seu comentário à obra de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro, transcrita aqui em conformidade com o que transcreve Paul Ver Eecke no seu livro Les Oeuvres Complétes d´Archimède ([Ver2], II, pp. 607-609): 

Sejam AD, G duas linhas rectas dadas; pretendemos encontrar os dois meios proporcionais entre AD e G.

Seja o círculo ABDZ descrito sobre a maior linha recta AD, e seja AB inserida igual a G e prolongado de modo a encontrar em P a tangente ao círculo em D. Seja a recta BEZ desenhada paralela à recta PDO; imagine-se um semicilindro recto sobre o semicírculo ABD, e em AD, um semicírculo recto situado no paralelogramo do semicilindro. Se, mantendo-se fixa a extremidade A do diâmetro, este semicírculo rodar a partir de D para B, irá cortar a superfície cilíndrica no seu movimento descrevendo nela uma certa curva. 

De novo, se AD se mantiver estacionário e o triângulo APD rodar com um movimento contrário em relação ao semicírculo, então a linha recta AP descreverá uma superfície cónica que na sua rotação irá intersectar a curva no cilindro num certo ponto; ao mesmo tempo o ponto B irá descrever um semicírculo na superfície do cone. Correspondendo ao ponto onde as curvas se encontram, seja o semicírculo em movimento a ocupar a posição DKA, e o triângulo movido na direcção oposta para a posição DLA, seja o ponto do sobredito encontro K. Seja BMZ o semicírculo descrito por B e seja BZ a secção comum deste com o círculo BDZA e tire-se a partir de K uma perpendicular ao plano do semicírculo BDA. Esta perpendicular cairá na circunferência do círculo, visto que o cilindro é recto. Que assim caia e designemo-la por KI. Seja a recta que junta o ponto I ao ponto A a intersectar BZ no ponto Q; seja AL a encontrar o semicírculo BMZ em M e sejam KD, MI, MQ ligadas. No entanto, tendo em atenção que cada um dos semicírculos DKA, BMZ está em ângulo recto com o plano que está por baixo, a sua secção comum MQ está também em ângulo recto com o plano do círculo, assim MQ está também em ângulo recto com BZ. Em consequência o rectângulo limitado por BQ, QZ, que é o mesmo que o rectângulo limitado por AQ, QI, é igual ao quadrado em MQ; donde, o triângulo AMI é semelhante a cada um dos triângulos MIQ e MAQ, sendo o ângulo formado pelas rectas IM, MA recto. O ângulo formado pelas rectas DK, KA é também recto, donde as rectas KD e MI são paralelas e devido à semelhança dos triângulos a seguinte proposição é válida:

                                  DA : AK = KA : AI = IA : AM. 

Então, as quatro linhas rectas DA, AK, AI, AM estão em proporção contínua. E a recta AM é igual a G, visto que é igual a AB, donde, para os dois segmentos de recta dados AK, AI, dois meios proporcionais AD e G foram encontrados." 

De facto, o que Arquitas afirma é que se AD e G (AD >G ) forem os dois segmentos entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais, devemos proceder do seguinte modo: num plano horizontal traça-se um círculo de diâmetro AD e constrói-se a corda AB=G; prolonga-se AB de modo a intersectar a recta tangente à circunferência no ponto D num ponto que vamos designar por P; constrói-se verticalmente a metade superior de um semicilindro circular recto, cuja base seja o semicírculo BDA; rodando o segmento de recta AP em torno do segmento de recta AD vamos gerar um cone circular recto; rodando, em torno da recta perpendicular ao plano ABD que passa por A, o semicírculo vertical recto de diâmetro DA vamos gerar um toro de raio interno nulo. Denotamos por K o ponto de intersecção destas três superfícies (o cilindro, o cone e toro) e, sendo I o pé no plano ABD da perpendicular a este plano e que passa por K, então AI é a aresta do cubo procurado (considerando o caso que nos interessa, isto é, AD = 2G ).

"Não é admirável? Arquitas deve ter tido uma verdadeira inspiração divina quando encontrou a sua construção. A figura que Arquitas imagina em sua mente e a qual pretende construir é, evidentemente, o triângulo rectângulo AKD com as duas perpendiculares KI e IM (...)." ([Wa1], p. 151).

Arquitas, discípulo da escola pitagórica, deve ter observado que a partir de um triângulo rectângulo era possível calcular os meios proporcionais em causa traçando a altura do triângulo e construindo o segmento perpendicular que se prolonga desde o pé da dita altura para um dos catetos. Tendo em linha de conta que os triângulos AKD, AKI e AMI são semelhantes, é válida a proporção 

Assim , se , temos que AI é a aresta procurada. Então, a questão era situar correctamente o ponto K de tal modo que AKD fosse um triângulo rectângulo, onde ao construir os segmentos IK e IM se obtivesse . E, como vimos, a solução proposta por Arquitas para encontrar o ponto K foi intersectar três superfícies, um cilindro, um cone e um toro45. 

Ao contrário de outras soluções transmitidas por Eutócio, as quais posteriormente iremos analisar, esta é uma solução extremamente abstracta e geométrica, pois os "movimentos" envolvidos na sua construção são muito complexos para permitir a utilização de um engenho mecânico. 

"A solução referida do problema de Delos, que Eutócio nos conservou em conformidade com o que expõe Eudémio, mostra-nos que Arquitas - que é designado como o ultimus Pithagoreorum - tinha vistas exactas sôbre a geração dos cones e dos cilindros, (...)." ([V] p. 183). 

Presentemente, à luz da geometria analítica e com a utilização de software adequado, é possível reproduzirmos imagens que ilustrem a solução de Arquitas mas, na sua época, em que processo ou processos se terá ele apoiado? Esta é uma questão que, possivelmente, continuará sem resposta e,

"(...) torna ainda mais extraordinária a solução de Arquitas, se imaginarmos a época em que foi feita e as condições de trabalho - instrumentos e materiais para a escrita e desenho, por exemplo - que então existiam." ([Ve], p. 47). 

Debrucemo-nos, agora, sobre a solução de Arquitas, mas à luz da actual geometria analítica. Se AD for considerado para eixo dos x, a perpendicular a AD em A no plano do círculo ABD, como eixo dos y e a perpendicular a estas rectas como eixo dos z, temos assim um sistema de eixos cartesianos adequado à figura imaginada por Arquitas. 

Seja agora e (sem esquecer que o caso que nos vai interessar é , isto é, , considerando que o cubo a duplicar tem aresta a). O ponto K é obtido pela intersecção das três seguintes superfícies:

          (1) o cilindro ;

          (2) o toro46 ; 

          (3) o cone .

De facto, tendo em atenção que (2) é equivalente a , temos

Tendo em atenção que (3) é equivalente a e considerando (1) vem que

, donde,

, logo .

E, assim: 

Estamos a considerar um sistema de eixos coordenados em que a origem é o ponto A. Vamos considerar o ponto que procuramos, K, com coordenadas , e assim . Tendo em atenção que o ponto I é a projecção de K sobre o plano XOY, vem que I tem coordenadas , donde .

Assim, de (4) obtemos 

.

E, tendo em atenção que e ( ) vem que . Isto é, para os dois segmentos de recta dados e G, os dois meios proporcionais AK e AI foram encontrados. Repare-se que da relação anterior obtém-se

; isto é, .

Fica assim provado que o cubo de aresta AI está para o cubo de aresta G como AD está para G. O caso particular da duplicação do cubo, isto é, da construção de dois meios proporcionais entre a aresta do cubo dado e o seu dobro, corresponde a ser , donde vem , ou seja, ; assim o cubo de aresta AI tem volume duplo do cubo de aresta G, como pretendíamos. 

Por muito rigorosa que seja a contribuição de Arquitas, tal não invalidou que a procura de uma solução continuasse em aberto, visto que a solução que Arquitas apresentou para o problema da duplicação do cubo é uma solução no campo da geometria tridimensional e não no campo da geometria plana, como era pretendido. 

2.4 A SOLUÇÃO DE EUDOXO

Através do legado de Eutócio temos conhecimento do epigrama de Eratóstenes, onde as palavras, "(...) por alguma espécie de linhas curvas como é descrito pelo divino Eudoxo" (citado em [E]; em [Th5], p. 297), permitem-nos deduzir que Eudoxo de Cnido, eminente cientista e estudioso do século IV a.C., apresentou uma solução para o problema da duplicação do cubo.

Eutócio dá a entender que teve acesso a documentos que podiam ser uma transcrição da solução de Eudoxo para o referido problema. No entanto, Eutócio omite a prova, talvez pelo facto de nela ter encontrado erros. Levanta-se aqui uma questão: sendo Eudoxo um excelente matemático, apresentaria uma prova com erros? Não será mais provável que o(s) erro(s) provenha(m) de alguém que transcreveu, sem entender correctamente, o original de Eudoxo? Sendo assim, talvez Eutócio não tenha tido acesso ao original de Eudoxo, mas a um extracto ou compilação do original. ([H4], I, p. 249).

Além da referência feita por Eutócio, não se conhece nenhuma outra que nos permita reconstruir com segurança a solução de Eudoxo. Segundo Wilbur Knorr, algumas propostas têm sido apresentadas para reconstruir a solução perdida de Eudoxo:

"Uma faz uso da curva (...) relacionada com a análise que conduz à solução de Arquitas (...). Uma segunda sugestão, defendida por Tannery, também advém da figura de Arquitas." ([Kn1], p. 53).

Paul Tannery (1843-1904), no seu artigo "Sur les Solutions du Probléme de Délos par Archytas et par Eudoxe - Divination d´une Solution Perdue", defende que a verdadeira solução de Eudoxo terá sido adaptada da solução de Arquitas, não sendo mais do que uma versão a duas dimensões desta última, isto é, a projecção da solução de Arquitas num plano ([T2], pp. 53-61). No entanto, Thomas Heath contrapõe afirmando:

"É de admitir que a sugestão de Tannery para o método de Eudoxo é atraente; mas obviamente que é apenas uma conjectura. Na minha opinião, a objecção encontrada é ser uma solução muito próxima de uma adaptação das ideias de Arquitas. Eudoxo foi, é verdade, um aluno de Arquitas e, existe uma grande semelhança de estilo entre a construção de Arquitas para a curva de dupla curvatura e a construção de Eudoxo para a lemiscata esférica, usando a revolução de esferas concêntricas; mas Eudoxo era, penso eu, muito original como matemático para se contentar ele próprio com uma mera adaptação da solução de Arquitas." ([H4], I, p. 251).

Mas Paul Tannery não foi o único a relacionar Eudoxo com Arquitas. Riddell, no artigo "Eudoxan Mathematics and the Eudoxan Spheres", estabelece uma relação entre o trabalho de Eudoxo no campo da astronomia com a configuração dos triângulos semelhantes, que estão subjacentes à construção de Arquitas. ([R]).

Provavelmente nunca teremos a certeza sobre qual seria a solução atribuída a Eudoxo e não é difícil concordar com as palavras de Thomas Heath acima transcritas, embora seja de considerar que a solução de Arquitas, pela sua beleza matemática, poderá ter «agitado» os matemáticos da época ao ponto de motivar novas soluções (ou versões).

2.5 A SOLUÇÃO DE MENECMO

A fama de Menecmo, matemático do século IV a.C., está relacionada com as curvas que hoje conhecemos pelo nome de cónicas - elipse, parábola e hipérbole; nomeadamente com a descoberta de que estas curvas se podem obter por intersecção dum cone recto de base circular, com um plano perpendicular a uma geratriz.

"Demócrito 47 especulou nas secções planas de um cone, paralelas à base e muito próximas umas das outras, e outros geómetras devem ter cortado o cone (e o cilindro) por secções não paralelas à base; mas Menecmo foi o primeiro que é conhecido por ter identificado as secções resultantes como curvas com certas propriedades." ([Th1], p. 1683).

As descobertas de Menecmo advieram da sua procura de uma solução para o problema da duplicação do cubo, mais propriamente, da procura de curvas que possuíssem as propriedades adequadas à resolução do problema de encontrar os dois meios proporcionais da redução de Hipócrates. As soluções de Menecmo, preservadas por Eutócio, têm por base a construção de um certo ponto como a intersecção de duas cónicas, num dos casos uma parábola e uma hipérbole equilátera, no outro caso duas parábolas.

A prova que chegou até nós não reproduz as palavras de Menecmo e é possível que tenha sido «remodelada» por Eutócio na sua própria linguagem ou por algum seu antecessor, tendo em conta que utiliza termos que só mais tarde foram introduzidos por Apolónio (séc. III a.C.) ou por Aristeu (séc. IV a.C. ). ([Th1], p. 1684).

Tendo em atenção a redução feita por Hipócrates, o problema que então se coloca é determinar dois meios proporcionais entre dois segmentos a e 2a (sendo a a aresta do cubo a duplicar), ou seja, a determinação de x e y tais que

Na linguagem da actual geometria analítica é fácil reconhecer que para se verificar a relação anterior basta que se verifiquem duas das três equações seguintes:

 Para tornar-se mais elucidativo, de (2) podemos ainda deduzir 

e de (4) deduzir

Portanto, podemos obter x de dois modos:

. como abcissa do ponto de intersecção da parábola com a hipérbole equilátera - a primeira solução de Menecmo;

. como abcissa do ponto de intersecção da parábola com a parábola - a segunda solução de Menecmo.

Note-se que, em ambos os casos, se conclui que , ou seja, x é a aresta do cubo cujo volume é duplo do volume do cubo dado, de aresta a. À luz dos nossos conhecimentos (e notações) actuais estas soluções parecem simples, mas para Menecmo que não podia recorrer à geometria analítica - um legado de Descartes no séc. XVII - são muito elaboradas, e não é de admirar que tenham exigido de Menecmo uma atenção especial às propriedades das curvas em causa. 

De modo a reforçar a actual simplicidade da(s) solução(s) atribuída(s) a Menecmo, vamos exemplificar a duplicação do cubo recorrendo ao uso de duas parábolas e, obviamente, com a ajuda da geometria analítica.

Seja, por exemplo, um cubo de aresta , o qual pretendemos duplicar. Procuramos a solução da equação , ou seja, pretendemos construir um segmento x cujo comprimento seja . 

Para tal, vamos desenhar as parábolas e ; o seu ponto de intersecção (diferente da origem) tem por abcissa a medida procurada. O segmento x, aresta do cubo procurado, está representado a vermelho na figura.

É importante não esquecer que, embora esteja encontrada a aresta do cubo procurado, esta solução não se restringe ao uso exclusivo da régua não graduada e do compasso, visto que não é possível desenhar todos os pontos de uma parábola (ou de uma hipérbole) com tais instrumentos; além disso a definição de uma cónica através de secções do cone envolve geometria tridimensional. Note-se, ainda, que a atribuição da autoria da segunda solução (duas-parábolas) a Menecmo é posta em causa por G. J. Toomer, que publicou, em 1976, a tradução para inglês da versão arábica da obra de Diocles Dos Espelhos Cáusticos 48.

"Tem sido até agora assumido por todos os historiadores que esta segunda prova é também atribuída a Menecmo, mas G. J. Toomer descobriu, como proposição 10 da versão arábica da obra de Diocles Dos Espelhos Cáusticos, uma solução para o problema dos dois meios proporcionais pela intersecção de duas parábolas (...), que se assemelha muito à segunda solução. E segue-se, como proposição 11, uma outra solução que é idêntica nos conteúdos matemáticos àquela que é atribuída a Diocles, por Eutócio. Toomer acredita que a segunda solução deve assim ser atribuída a Diocles e não a Menecmo." ([Th1], p. 1685). 

No entanto, Knorr ([Kn1], p. 240) discorda, por considerar que o intuito de Diocles, ao apresentar o método das duas-parábolas, não era oferecer uma nova solução para o problema da duplicação do cubo:

"Na proposição 10 Diocles volta-se para a duplicação do cubo, mostrando como pode ser resolvida através da intersecção de duas parábolas. Pelo facto deste ser precisamente o método das duas-parábolas, que Eutócio apresenta como uma construção alternativa, seguidamente ao método da parábola-hipérbole atribuído a Menecmo, não podemos inferir que a inclusão de Diocles do método das duas-parábolas contrarie a sua origem em Menecmo. É concebível, embora improvável, que Diocles não tivesse conhecimento dos esforços de Menecmo. 

(...) 

Parece-nos, assim, que aqui a intenção de Diocles não é oferecer uma nova solução para o problema, mas antes apresentar um outro exemplo do seu método de desenhar parábolas."

Aliás, como mais à frente veremos, Diocles apresenta uma solução original (através de uma nova curva) para o problema dos dois meios proporcionais. Uma questão que tem intrigado os historiadores é saber qual terá sido a 'inspiração' de Menecmo, aluno de Eudoxo, para obter as curvas cónicas como a intersecção dum cone recto de base circular, com um plano perpendicular a uma geratriz, e nomeadamente saber se Menecmo terá construído algum aparelho para desenhar tais curvas. George Allman ([All], pp. 160-174) analisa algumas das investigações sobre o assunto, as quais não vamos aqui referir por estarem fora do âmbito desta dissertação.

2.6 A SOLUÇÃO ATRIBUÍDA A PLATÃO

Eutócio atribui a Platão, influente filósofo e matemático da segunda metade do séc. V a.C. e primeira metade do séc. IV a.C. e "(...) principal promotor do desenvolvimento intelectual do seu tempo (...)" ([V], p. 202), uma solução de cariz mecânico para o problema da duplicação do cubo, ou melhor, e uma vez mais, para o problema da inserção de dois meios proporcionais entre dois segmentos de recta. 

No entanto, é amplamente aceite que esta solução foi incorrectamente atribuída a Platão. "Platão reprovou as soluções mecânicas por estas destruírem a virtuosidade da geometria." ([H4], I, p. 255). E, portanto, seria de estranhar que ele próprio apresentasse uma solução dentro dos parâmetros que reprovava 49. 

"A proveniência Platónica deste método deixa em aberto sérias dúvidas. Primeiro, Eratóstenes não lhe faz referência ao longo das suas considerações sobre os primordiais esforços na duplicação do cubo. Tal facto é ainda mais notório tendo em atenção que o seu interesse pela filosofia platónica é muito evidente ao longo da sua obra Platonicus, onde relata a história do envolvimento de Platão com o oráculo de Delos. Certamente, se fosse o caso, Eratóstenes teria um interesse particular em indicar uma efectiva solução de Platão, se a conhecesse. Além disso, este método depende da concepção de um engenho 50 mecânico." ([Kn1], p. 57). 

Existem duas teorias relativas à autoria da solução mecânica atribuída a Platão para resolver o problema da duplicação do cubo. Uma que defende que Platão inventou esta solução mecânica para ilustrar como é fácil descobrir tais soluções; a outra, talvez a mais aceite, que defende que esta solução mecânica foi inventada pelos seus discípulos na Academia. ([H4], I, p. 255). 

Sendo assim, uma dúvida persiste: a quem atribuir a autoria deste método? Sem responder directamente a esta questão, Thomas Heath ([H4], I, pp. 256-258) indica alguns pontos comuns entre o método aqui em causa (na sua vertente mais teórica e menos mecânica) e a segunda solução de Menecmo; enquanto que Knorr ([Kn1], pp. 57-62) acrescenta a procura de uma relação com a solução perdida de Eudoxo.

Vejamos então em que consiste a solução mecânica atribuída a Platão. Considerem-se duas linhas rectas BC e AB perpendiculares entre si, entre as quais pretendemos encontrar os dois meios proporcionais. Tendo em atenção que o problema é a duplicação de um cubo de aresta a, vamos aqui considerar o caso particular em que AB é o dobro de BC, isto é, AB=2a e BC=a. 

Sejam os triângulos EDC e AED, rectos em D e E, respectivamente, e de modo a que ED seja comum. Consideremos ainda que as hipotenusas AD e EC se intersectam perpendicularmente em B, como ilustrado na figura. 

Deste modo, são semelhantes entre si os triângulos BDC, AEB e BED, visto que, tendo em atenção as condições de construção da figura, os ângulos BDC e BAE são iguais bem como os ângulos BAE e BED, sendo ainda recto o ângulo em B. 

Donde, , isto é,

Logo, BD e BE são os dois meios proporcionais entre a e 2a, sendo BD a aresta do cubo cujo volume é duplo do volume do cubo de aresta a. Assim, o problema em causa fica solucionado desde que se construa uma figura nas condições anteriormente descritas. 

Vamos então construir essa figura utilizando o esquadro de Platão. Comece-se por traçar duas rectas perpendiculares m e n intersectando-se num ponto B e marquem-se dois pontos A e C sobre m e n, respectivamente, de modo a que AB = 2BC (note-se que estamos a considerar o caso em que BC=a é a resta do cubo a duplicar). 

De seguida, manipule-se o esquadro de Platão ajustando-o à figura de modo a que as duas réguas paralelas passem por A e C e os pontos em que estas encontram a outra régua, X e Y, estejam sobre as rectas m e n, respectivamente, como ilustra a figura.

Assim, os segmentos BX e BY são os dois meios proporcionais procurados, como anteriormente provámos; sendo BX a aresta do cubo procurado. Uma vez mais estamos em presença de uma solução que não está de acordo com as regras previamente estabelecidas, pois a solução em causa envolve um instrumento mecânico (o esquadro de Platão) muito diferente da régua não graduada e compasso.

2.7 A SOLUÇÃO DE ERATÓSTENES

O nome de Eratóstenes de Cirene não está apenas associado ao problema da duplicação do cubo devido ao relato das lendas sobre a história deste problema, nomeadamente na sua obra Platonicus e na suposta carta ao Rei Ptolomeu. Está também associado a uma solução do problema dos dois meios proporcionais, através de um instrumento mecânico. Esse instrumento, conhecido pelo nome de mesolabo, é descrito 51 por Papo no livro III da Colecção Matemática e por Eutócio no comentário ao livro II do tratado Da Esfera e do Cilindro. 

Seguidamente, apresentamos a imagem de um mesolabo, obtida no site do Museu Universitário de História Natural e da Instrumentação Científica da Universidade de Modena e Reggio Emilia, Itália. 

A suposta carta de Eratóstenes ao rei Ptolomeu é mais uma vez uma importante fonte de informação histórica e, embora seja amplamente aceite que a carta é forjada, 

"(...) não há motivos para duvidar da história aí relatada, a qual é, de facto, amplamente confirmada. E deve agradecer-se ao autor por ter incluído na sua carta a prova e o epigrama, retirados dum monumento votivo, que são trabalhos genuínos de Eratóstenes." ([Th5], I, pp. 256-257).

Eratóstenes colocou uma réplica do seu mecanismo, segundo parece em bronze, numa coluna dedicada ao rei Ptolomeu, erguida em Alexandria. Da coluna também constava uma breve demonstração e um epigrama onde se lia: 

"Se, bom amigo, de qualquer cubo pequeno queres obter um cubo duas vezes maior, e rapidamente transformar um qualquer sólido noutro, aqui está a tua possibilidade (...). Não procures conseguir coisas difíceis de executar por meio dos cilindros de Arquitas, nem cortar o cone pela tríade52 de Menecmo, nem descrevê-las por alguma espécie de linhas curvas de divino Eudoxo. De facto, por meio destas placas, facilmente construirás milhares de médias a partir de uma base pequena.

Afortunado Ptolomeu, porque és um pai que goza a juventude com o seu filho e lhe deste tu próprio tudo o que é preciso para as Musas e Reis; possa ele no futuro, Zeus Celestial, receber o ceptro das tuas mãos. Que assim aconteça, e que cada um que veja esta oferta votiva diga: 'esta é uma oferta de Eratóstenes de Cirene'." (citado em: [H4], I, p. 260).

Vamos basear-nos no mesolabo descrito por Eratóstenes para construir os dois meios proporcionais da redução de Hipócrates, de modo a duplicar um cubo de aresta a. 

Comecemos por construir uma estrutura rectangular ABCD de bases paralelas AB e DC. Em cada uma das bases está uma calha tripla de modo que em cada ranhura possa deslizar um triângulo, como ilustra a figura seguinte. Os três triângulos em causa são congruentes e podem deslizar (tendo em atenção o modo como foram colocadas as calhas) paralelos a si mesmos, podendo ocorrer sobreposições (parciais ou totais). 

Tendo em atenção que o cubo a duplicar tem aresta a, o mesolabo deverá ser construído de modo a que .

Seja M o ponto médio do lado KJ, do triângulo LJK, e consideremos fixo o triângulo DEF. Deslocam-se os outros dois triângulos de tal modo que o ponto N, de intersecção de HG com LJ, e o ponto O, de intersecção de FE com IG, sejam colineares com os pontos D e M, de modo a que a recta que os une encontre AB num ponto que designaremos por P. 

Assim, tem-se,

	, tendo em atenção que nos triângulos equiângulos, OEP e DAP, os lados adjacentes a ângulos iguais são proporcionais (Elementos VI, 4);
	, tendo em atenção que nos triângulos equiângulos, OGP e DEP, os lados adjacentes a ângulos iguais são proporcionais (Elementos VI, 4);
	, tendo em atenção que nos triângulos equiângulos, OGP e DEP, os lados adjacentes a ângulos iguais são proporcionais (Elementos VI, 4);
	, tendo em atenção que nos triângulos equiângulos, NGP e OEP, os lados adjacentes a ângulos iguais são proporcionais (Elementos VI, 4);

Donde,   . 

De forma análoga justificaríamos que    .

Logo, 

          ou, ainda, atendendo às condições iniciais,

                                                                               .

Concluímos, assim, que NG e OE são os dois meios proporcionais entre a e 2a e portanto NG é a aresta do cubo cujo volume é duplo do cubo de aresta a. 

Note-se que pode ser necessário prolongar as «calhas» DC e AB de modo a encontrar-se o ponto P, da intersecção da recta DM com o lado AB. Repare-se, ainda, que se pretendermos encontrar os dois meios proporcionais entre c e d ( d > c ), isto é, não sendo o caso particular de um deles ser o duplo do outro, bastaria construir um mesolabo nas condições análogas, mas em que e . É interessante a visão de Eratóstenes ao afirmar que:

" (...), por meio destas placas, facilmente construirás milhares de médias a partir de uma base pequena." (citado em: [H4], I, p. 260).

De facto, se pretendermos encontrar três meios proporcionais entre c e d, bastará considerar mais um triângulo (numa nova calha) e, de modo análogo, encontraremos x, y, e z tais que ; e assim sucessivamente. 

Do mesmo modo que no caso da solução pelo uso do esquadro de Platão, a solução de Eratóstenes não está de acordo com as regras previamente estabelecidas, pois a solução em causa envolve um instrumento mecânico (o mesolabo) muito diferente da régua não graduada e compasso. 

2.8 A SOLUÇÃO DE NICOMEDES

Pouco se sabe sobre a vida de Nicomedes, mas é possível, cronologicamente, situá-lo entre Eratóstenes e Apolónio, isto é, no séc. III a.C., visto que ele critica Eratóstenes pela construção mecânica dos dois meios proporcionais que este apresentou, enquanto que Apolónio faz referência, a certa altura, à «concóide de Nicomedes». ([To3], p. 1864).

A solução de Nicomedes 53 para a construção dos dois meios proporcionais teve por base a redução do problema a uma construção por nêusis, que resolveu por meio de uma curva - a concóide - também usada para resolver o problema da trissecção do ângulo (cf. pp. 33-36).

Nicomedes ficou muito orgulhoso pela sua construção, usando a curva que tinha descoberto, ao ponto de reclamar que esta solução para o problema da duplicação do cubo era muito superior ao método de Eratóstenes, que considerou estar fora do espírito da geometria:

"Nicomedes também descreve, no seu livro Sobre as Linhas Concóides, a construção de um instrumento cumprindo o mesmo propósito, e do qual parecia estar excessivamente orgulhoso ao ponto de ridicularizar grandemente as descobertas de Eratóstenes como impraticáveis e privadas de sentido geométrico." ([E]; em [Th5], pp. 297-298).

Agora, construamos a concóide 55 que tem F como polo, CH como régua e a «distância» igual a FC (ou AD). Esta concóide (um dos seus ramos) encontra o prolongamento do segmento de recta EC num ponto que vamos designar por K. 

Assim, a determinação de K foi reduzida a uma construção por nêusis: a inserção, entre as rectas CH e EC, de um segmento de comprimento igual ao comprimento de AD e «apontado» para o ponto F (o segmento HK). 

De seguida, unamos FK e, pelas propriedades da curva concóide, HK é igual à «distância». Assim, . 

Finalmente, trace-se KL e prolongue-se até encontrar a recta BA num ponto que vamos designar por M. Deste modo, CK e MA são os meios proporcionais procurados, isto é, . 

Provemos agora tal facto. Efectivamente, por BC ser bissectado em E e prolongado até K, temos (tendo em atenção Elementos II, 6) que , adicionando a ambos os membros, vem . 

Assim, (Elementos I, 47 ) temos .                                              (1)

Tendo em atenção que, no triângulo MBK, AL é paralela à base BK, temos (Elementos VI, 2) que .

 Analogamente, tendo em atenção que LC é paralelo a MB, tem-se . Donde . Mas, e (visto que , tendo em atenção que os triângulos ADL e DGB são geometricamente iguais), logo 

Seja agora o triângulo GFK, onde GF e CH são paralelas, pelo modo como foi construída a figura. Assim (Elementos VI, 2), tem-se 

De (2) e (3) obtém-se que . Tendo em atenção Elementos V, 18 vem que , donde e pela hipótese de construção temos que (visto que ), e consequentemente , donde . 

Temos ainda que (Elementos II, 6). E, de (1), obtém-se .

Mas , donde e portanto . 

Atendamos agora aos triângulos MBK e LCK, os quais são semelhantes. Temos que (Elementos VI, 4), e assim vem que .

Analogamente, e, consequentemente, , ou seja (porque e ), 

Isto é, CK e MA são os meios proporcionais entre AB e BC. 

Se pretendermos construir um cubo com o dobro do volume de um cubo dado de aresta AB, basta considerar BC=2AB e assim CK será a aresta do cubo procurado. Temos assim uma vez mais uma solução que não está de acordo com as construções que se restringem ao uso apenas da régua não graduada e compasso, pois como já afirmámos no capítulo anterior, não podemos construir todos os pontos da concóide de Nicomedes utilizando apenas estes instrumentos. 

No entanto, citando van der Waerden, pelo exposto podemos "(...) admirar o talento de Nicomedes, que descobriu não só a prova mas a construção em si." ([Wa1], p. 237).

2.9 AS SOLUÇÕES DE HERÃO, APOLÓNIO E FILÃO DE BIZÂNCIO

Seguindo o exemplo de Gomes Teixeira e Thomas Heath, optamos por apresentar as soluções destes três geómetras em simultâneo, uma vez que elas são muito parecidas. Pois "(...) sabemos por Eutócio que a solução de Herão é praticamente a mesma que a de Filão" ([H4], II, p. 300). No entanto, o método de Herão "(...) não aparece apenas na narrativa de Eutócio, mas também nos legados de Herão, Mecânica e Belopoeica, e Papo toma conhecimento deste método através de Herão. Mas outro comentador, João Filópono56, atribui-o a Apolónio." ([Kn1], p. 188). Além disso:

"Papo, nas Colecções Matemáticas (...), atribui a Apolónio dois métodos, um mecânico e outro geométrico, para resolver o problema de Delos, sem no entanto os expor. Nas obras de Apolónio, que chegaram até nós, não encontramos coisa alguma sobre este problema [duplicação do cubo], mas no Comentário [à obra de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro] de Eutócio encontramos o método mecânico de Apolónio, o qual não difere no essencial daquele que foi dado por Herão. A relação estreita entre a construção mecânica e a construção mediante uma hipérbole, exposta atrás57, levou alguns autores a considerar como provável que o método geométrico de Apolónio seja idêntico a esta última construção, ou pelo menos não defira dela no essencial; e que as três soluções mecânicas de Herão, Filão Bizantino e Apolónio foram deduzidas da solução geométrica de Apolónio, como aplicações práticas." ([Te1], p. 295). 

Temos assim razões 58 que sobejamente nos levam a agrupar estas três soluções do problema da duplicação do cubo. E, como seguidamente veremos, os «três métodos» em causa têm, em termos de construção, o mesmo objectivo: a determinação de dois pontos (G e F, na nossa exposição), com características especiais. Pontos estes que não serão possíveis de encontrar com o uso exclusivo da régua não graduada e compasso mas, como veremos, tal já será possível se a régua empregada tiver um bordo com marcas.

2.9.1 HERÃO

A solução de Herão de Alexandria, matemático que possivelmente59 terá vivido no séc. I d.C., aparece nas suas obras Mecânica e Belopoeica60 e é também umas das onze61 soluções transmitidas 62 por Eutócio no seu comentário à obra de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro. Vejamos em que consiste essa solução. 

Justifiquemos agora estes factos. Seja K o ponto médio de AB (= CD), então (tendo em atenção Elementos II, 6) , adicionando a ambos os membros obtemos , donde (tendo em atenção Elementos I, 47) 

Seja agora K´ o ponto médio de AC, então (tendo em atenção Elementos II, 6) , adicionando a ambos os membros obtemos , donde (tendo em atenção Elementos I, 47)

Visto que e , de (1) e (2) obtém-se que , ou seja, 

Consideremos agora os triângulos GCD, GAF e DBF, os quais são semelhantes entre si (pois têm os três ângulos iguais, cada um a cada um); tendo em atenção Elementos VI, 4, tem-se que . 

Assim, considerando (3) tem-se que , isto é, CG e BF são os meios proporcionais entre os segmentos dados, CD e DB, como pretendíamos provar. 

Portanto, se o cubo dado tiver de aresta DB, basta considerar CD=2DB e o cubo procurado (como o dobro do volume) terá de aresta FB.

2.9.2 APOLÓNIO

Apolónio de Perga, matemático da segunda metade do séc. III a.C. e princípio do séc. II a.C., é reconhecido como um geómetra de mérito excepcional, principalmente pelo seu famoso tratado Cónicas. Esta obra passou a ser o tratado por excelência sobre as sessões cónicas e substituiu os escritos anteriores de Menecmo, Aristeu e Euclides, pois Apolónio estudou tão profundamente e exaustivamente as propriedades das cónicas que tornou as obras anteriores obsoletas. Embora se trate de uma obra extensa e de leitura difícil, para quem está familiarizado com os métodos modernos, este tratado está a par do que de mais brilhante conhecemos da geometria antiga. ([V], pp. 368-369). No entanto, Apolónio também se dedicou ao problema da duplicação do cubo:

"São do mesmo sábio geómetra outros trabalhos, como: Sôbre o problema de Delos, com uma solução - diz Eutócio - que teria sugerido outra inserta nas Mecânicas de Herão (...)." ([V], p. 383).

Atendamos à versão transmitida por Eutócio. Sejam AB e CA os dois segmentos entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais. A primeira parte da solução de Apolónio resume-se à construção de um rectângulo com os dois segmentos dados como lados. Coloquemo-los de modo a fazer um ângulo recto entre si, como indicado na figura.

Com centro no ponto C e raio igual a AB construímos a circunferência C1, e com centro no ponto B e raio igual ao segmento CA construímos a circunferência C2 . Seja D o ponto de intersecção destas duas circunferências. Temos assim construído o rectângulo CABD. 

A partir daqui, a solução de Apolónio é uma variação da de Herão. Seja E o ponto de intersecção das diagonais do rectângulo CABD. Com centro no ponto E construamos uma circunferência intersectando os prolongamentos de AB e AC em F e G, respectivamente, e de modo a que F, D e G sejam colineares. 

Assim, os segmentos CG e BF são os dois meios proporcionais procurados, isto é, . 

Justifiquemos agora tal facto. Analogamente à construção de Herão, anteriormente descrita, obtivemos os mesmos pontos G e F, embora no caso de Herão através da manipulação de uma régua no ponto D e, no presente caso, utilizando uma circunferência.

Visto que as condições da figura que usamos no caso da solução de Herão são ainda válidas no presente caso (repare-se que os segmentos GE e EF são raios da circunferência em causa, logo iguais), é portanto óbvio que a mesma prova é válida neste caso.

2.9.3 FILÃO DE BIZÂNCIO

Pouco sabemos sobre a vida deste matemático que, segundo parece, viveu no séc. III a.C.. No entanto, Eutócio menciona um seu trabalho sobre o problema da duplicação do cubo:

"É no livro I, actualmente perdido, do Tratado de Mecânica de Filão de Bizâncio que esta solução empírica do problema dos dois meios proporcionais é retirada por Eutócio." ([Ver2], II, p. 592). 

Filão, nos seus empreendimentos de inventor, deparou-se com o problema de criar uma catapulta que teria como objectivo lançar um projéctil com o dobro do peso de um outro lançado por outra catapulta. Assim, encontrou o problema de ter de duplicar o cubo, tendo em atenção que os pesos dos dois projécteis em causa estavam em proporção com os cubos dos seus diâmetros. A resolução do seu problema não pode ser obtida por uma construção euclidiana com apenas régua não graduada e compasso, a solução passa por encontrar dois meios proporcionais e, assim, Filão descreveu como encontrar esses meios proporcionais. ([Dr], p. 587). 

Sejam CD e DB os dois segmentos entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais. Coloquemo-los de modo a que façam um ângulo recto em D. Unamos agora os pontos C e B e construamos a semicircunferência CDB, de diâmetro CB. De seguida, construamos a recta BF perpendicular a DB e a recta CG perpendicular a CD. 

Considere-se uma régua com a aresta colocada no ponto D e encontrando o prolongamento de AB no ponto F, o prolongamento de AC no ponto G e o semicírculo no ponto H. Manipule-se esta régua de modo a que esta assuma uma posição em que .

Assim, os segmentos CG e BF são os dois meios proporcionais entre CD e DB, isto é, , como provaremos a seguir. 

Suponhamos que as rectas FB e GC são prolongadas, intersectando-se no ponto A. É obvio que as rectas DB e GA são paralelas, o ângulo de vértice em A é recto e se completarmos a semicircunferência, a circunferência obtida passa pelo ponto A. O rectângulo CABD, onde E é o ponto de intersecção das diagonais, é o mesmo que o da construção de Herão (cf. p. 79). 

Consideremos a perpendicular a GF passando por E (a vermelho na figura). Tendo em atenção que HD é uma corda da circunferência de centro E, por Elementos III, 3, tem-se que essa perpendicular bissecta HD. Atendendo à hipótese de construção da figura temos que , então M é o ponto médio de GF. Assim, os triângulos MEF e GEM são congruentes64 (Elementos I, 4 ), donde . 

Atendendo que as condições da figura que usamos no caso da solução de Herão são ainda válidas no presente caso, é obvio que a mesma prova é também válida, razão pela qual se omite aqui. 

Assim, para duplicar (em volume) um cubo de aresta DB, basta considerar CD=2DB e o cubo procurado terá de aresta BF.

2.10 A SOLUÇÃO DE DIOCLES

Durante longo período de tempo tudo o que se conhecia sobre a obra e vida de Diocles, matemático do início do séc. II a.C., era através de dois fragmentos da sua obra Dos Espelhos Cáusticos, preservados por Eutócio no comentário ao já referido texto de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro. Um desses fragmentos é a contribuição de Diocles para o famoso problema de Delos. 

Só recentemente é que uma tradução65 árabe Dos Espelhos Cáusticos foi descoberta66 numa Biblioteca em Mashhad, Irão. 

Assim, é de referir que nenhuma obra (completa) de Diocles era conhecida de Thomas Heath quando este escreveu, em 1921, A History of Greek Mathematics, tendo Toomer, em 1976, traduzido para inglês e publicado a versão árabe do perdido tratado de Diocles.

"Na terceira parte Diocles apresenta dois métodos para a duplicação do cubo: o primeiro reproduz simplesmente uma forma alternativa ao método das duas parábolas de Menecmo (Prop. 10), enquanto que o segundo utiliza uma curva especial, conhecida nos tempos modernos com o nome de cissóide (Props. 11-16)." ([Kn1], p. 234) .

Como inferimos, deve-se a Diocles a solução do problema da duplicação do cubo por meio de uma nova curva - a cissóide. Segundo parece não foi Diocles quem lhe atribuiu este nome, pois nos seus escritos ele utiliza o termo 'linha'67 para se referir a tal curva e além disso "o nome cissóide ('forma de hera') é mencionado [pela primeira vez] por Gémino no séc. I a.C., isto é, cerca de um século depois da morte do inventor Diocles." ([Lo], p. 132). 

Mais tarde, o método usado para gerar a curva atribuída a Diocles foi generalizado e todas as curvas geradas por um processo análogo ao da cissóide de Diocles são designadas por cissóides68. 

Comecemos por definir a curva cissóide no seu caso geral. Sejam S e S´ duas quaisquer curvas e A um ponto fixo. Desenhemos uma linha recta passando por A e intersectando S e S´ em Q e R, respectivamente, e considere-se o ponto P, encontrado nesta linha, de modo que . Então, o lugar geométrico do ponto P descreve a cissóide de S e S´ relativamente ao ponto A. ([Lo], p. 131). 

Na cissóide de Diocles as duas curvas envolvidas são uma circunferência e uma linha recta que lhe é tangente, sendo o ponto fixo o ponto da circunferência diametralmente oposto ao ponto de tangência, como pode ser observado na figura seguinte. 

Vejamos como Diocles construiu a sua cissóide 69. Considere-se uma circunferência de centro O onde AB e DC são diâmetros perpendiculares entre si. Sejam E e F pontos da circunferência nos quadrantes BD e BC, respectivamente, e colocados de modo a que os arcos EB e BF sejam iguais. 

Desenhemos GE e HF perpendiculares a DC, tracemos EC e seja P o ponto de intersecção de EC com HF. Suponhamos, agora, que E e F ocupam novas posições nos quadrantes DB e BC, respectivamente, mas sempre a igual distância de B. A cissóide de Diocles é a curva traçada pelo ponto P nas várias posições que este ocupa. 

Assim o ponto P, encontrado como acima foi descrito, permite provar que HF e HC são os dois meios proporcionais entre os segmentos DH e HP, isto é:

 

.

De facto, tendo em atenção Elementos VI, 13, tem-se que HF é o meio proporcional entre os segmentos DH e HC, isto é, . 

Pelas condições de construção da figura anterior é imediato que , pois , bem como . 

Por outro lado, , tendo em atenção que em triângulos equiângulos, GEC e HPC, os lados adjacentes aos ângulos iguais são proporcionais (Elementos VI, 4). 

Ficou então provado o que pretendíamos, isto é,

.

.

Vemos assim, que HF e HC são os dois meios proporcionais entre DH e HP. 

E se se pretender construir os dois meios proporcionais entre dois segmentos a e b, como fazer? 

Construímos uma circunferência, de centro O,  onde AB e DC são diâmetros perpendiculares. Seguidamente, construímos a cissóide de Diocles, como anteriormente descrito 70, e tomamos um ponto K em OB de modo a que

(a>b).                                                                                                                             (1) 

Ligamos o ponto D ao ponto K e prolongamos o segmento DK de modo a intersectar a curva cissóide num ponto que vamos designar por Q. Passando por Q construímos o segmento ML paralelo a AB. 

Pelo que foi anteriormente exposto, ML e MC são os dois meios proporcionais entre DM e MQ, isto é,

 

.

(2)

Por outro lado, aplicando Elementos VI, 4 aos triângulos DMQ e DOK, obtemos .        (3)

De (1) e (3) tem-se que .                                                                                                   (4) 

Recorde-se que entre DM e MQ já inserimos dois meios proporcionais: ML e MC. Vamos agora procurar dois meios proporcionais entre a e b (que são dados), procurando x e y tais que, . 

Tais x e y encontram-se através de duas construções do quarto proporcional (Elementos VI, 12): 

 

	- seja x tal que ;                                                                                                (5)
	- seja y tal que .                                                                                       (6)

Efectivamente, tendo em atenção Elementos V, 16, de (5) sai que

 

,

(7)

e, analogamente, de (6) vem que .                                                                                        (8)

Por outro lado, tendo em atenção (4), tem-se que: 

 

, isto é,

 

.

(9)

Finalmente, de (7), (8) e (9) e porque , temos , isto é, x e y são os dois meios proporcionais entre a e b. 

Alternativamente, segundo van der Waerden, para obter os dois meios proporcionais entre os segmentos dados a e b, basta multiplicar os quatro termos da proporção por um factor de proporcionalidade adequado. ([Wa1], p. 268). 

Assim, se b=2a o cubo de aresta x tem volume duplo do cubo dado de aresta a. Obtivemos mais uma solução que obviamente não pode ser efectuada apenas com régua não graduada e compasso, pois não é possível construir todos os pontos da curva com estes instrumentos.

2.11 AS SOLUÇÕES DE ESPORO E PAPO

Pouco se sabe sobre a vida de Esporo, matemático e comentador que segundo parece nasceu na segunda metade do séc. III d.C.. No entanto, e acreditando em algumas fontes, podemos concluir que ele se dedicou intensamente a dois problemas matemáticos: a quadratura do círculo e a duplicação do cubo. A sua contribuição para o estudo destes problemas parece ficar a dever-se, principalmente, à sua crítica construtiva das soluções até então existentes. ([Sza], p. 2311). E é novamente apenas devido a Eutócio que temos conhecimento da solução atribuída a Esporo.

Quanto a Papo de Alexandria, matemático e comentador da primeira metade do séc. IV d.C., deixou-nos a sua Colecção Matemática, uma importante fonte - muitas vezes a principal ou a única - para os nossos conhecimentos sobre os desenvolvimentos da matemática que o precederam. Assim, relativamente ao problema da duplicação do cubo, além da versão transmitida por Eutócio podemos ter acesso à versão de Papo, nas suas próprias palavras 71, no Livro III da sua Colecção Matemática. (cf. em [P]; em [Ver3], I, pp. 47-50).

As soluções de Esporo e Papo são essencialmente a mesma que a de Diocles; a principal diferença consiste no facto de que, em vez de usarem a cissóide, usam uma régua que roda em torno de um certo ponto até que certa intersecção leve a que dois pares de linhas sejam iguais. Papo tem conhecimento da obra de Esporo e é provável que Esporo fosse seu professor ou colega. ([H4], I, p. 266).

Na sucessão das soluções transmitidas por Eutócio, no seu comentário à obra de Arquimedes, as soluções de Papo e Esporo seguem-se à solução de Diocles e efectivamente é provável que esta sequência seja propositada, tendo em atenção as similaridades entre as três soluções. Após concluir a exposição da solução de Esporo, o próprio Eutócio refere que essa solução é a mesma que a de Papo e de Diocles (cf. em [E]; em [Ver2], II, p. 603).

Knorr vai um pouco mais longe e afirma que tanto Esporo como Papo edificam o procedimento como uma nêusis e que por uma observação atenta podemos detectar que Esporo trabalhou directamente a partir de Diocles, enquanto que Papo parece ter elaborado uma reformulação independente do método pseudo-Platónico. ([Kn1], pp. 240-242).

Assim temos, uma vez mais 72, razões que nos levam a agrupar soluções do problema de Delos. Vamos agrupar as soluções de Papo e Esporo, sem no entanto esquecer as relações destas com a solução anterior - a solução de Diocles por meio da curva cissóide.

De modo a melhor ilustrar a relação entre a versão de Diocles e as versões de Esporo e Papo, vamos trabalhar tendo por base a figura utilizada anteriormente, aquando da versão de Diocles.

Esporo considera DO e OK os segmentos dados73 e entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais. Papo, por seu lado, considera DO e OK dois segmentos na mesma proporção que os segmentos dados e entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais. Isto é, se se pretender construir os dois meios proporcionais entre dois segmentos a e b tomamos DO e OK de modo a que, ( a>b ).

Estes segmentos são colocados perpendicularmente e de modo a que DO seja o raio de uma circunferência de centro em O. O segmento DK é prolongado de modo a intersectar a circunferência74 num ponto que vamos designar por I.

Agora, temos então a grande diferença: consideramos uma régua com a aresta colocada em C e manipulada em torno deste ponto de modo a que assuma uma posição em que intersectando DI no ponto Q, OB no ponto T e a circunferência no ponto R, origine .

Efectivamente o ponto Q está 75 na cissóide de Diocles. Assim, estamos em condições de encontrar, com um raciocínio análogo ao método anteriormente exposto (na solução de Diocles), os dois meios proporcionais entre DO e OK .

Esporo prova que OT é o primeiro meio proporcional dos dois meios proporcionais entre DO e OK, sendo válida a relação . (cf. em [E]; em [Ver2], II, p. 602). Papo prova que o cubo construído sobre DO está para o cubo construído sobre OT, como DO está para OK, isto é, . (cf. em [P]; em [Ver3], I, p. 48; II, p. 844).

Omitimos aqui as demonstrações de Esporo e Papo (que podem ser encontradas nas obras acima citadas), já que anteriormente apresentámos a prova da solução de Diocles. Segundo Thomas Heath, a prova apresentada por Papo é menos confusa do que a prova apresentada por Esporo. ([H4], I, p. 267).

Será que Papo ao atribuir esta solução a si próprio, expondo-a de uma maneira mais acessível que a solução de Esporo (a acreditar na versão transmitida por Eutócio) apenas está a chamar para si os créditos de uma solução que efectivamente será originalmente de Esporo? ([H4], I, p. 266). Mais uma pergunta que, presentemente, está sem resposta.

E, sem solução continua o problema da duplicação do cubo visto que as soluções de Esporo e Papo também não respeitam as regras da geometria plana.

Como foi inteligível ao longo de todo este capítulo, além desta solução que Papo atribui a si próprio, podemos encontrar na Colecção Matemática algumas das soluções que são transmitidas por Eutócio no seu comentário à obra de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro. No entanto, no início do Livro III da Colecção Matemática, Papo discute (e critica) um método para a resolução do problema de Delos que não é propriamente uma solução exacta para o problema em causa, mas sim um processo, através de métodos planos, para obter aproximações cada vez melhores para uma solução exacta. Papo não diz quem é o autor deste método, mas também não atribui a si próprio a autoria; refere apenas que é da autoria de um grande geómetra. (cf. em [P]; em [Ver3], I, pp. 21-32).

27 Mesmo até nos nossos dias, pois basta consultar o reconhecido site da Internet The Math Forum ([Www7]) para encontrar, reportada a Agosto de 1998, troca de correspondência sobre o problema da duplicação do cubo.
28 O termo duplicar é aqui utilizado no sentido de área.

29 Onde Arquimedes assume ter encontrado duas linhas que são meios proporcionais entre duas linhas dadas.
30 É  aqui transcrita a tradução de Fernando Vasconcelos, na sua obra História das Matemáticas na Antiguidade, ([V], p. 365).
31 É devido a esta referência que o problema da duplicação do cubo é frequentemente mencionado como Problema Deliano.

31a Tanto Thomas Heath ([H4], I, pp. 244-245) como van der Waerden ([Wa1], p. 160) referem que Wilamowitz instituiu a não autenticidade da carta.

32 No artigo citado, o autor, com base em antigas obras indianas sobre construções de altares, aponta interessantes relações entre altares e pragas. O título do artigo é deveras sugestivo - A Origem Ritual da Geometria. Até que ponto a tradição dos geómetras gregos para o uso exclusivo da régua não graduada e compasso nas construções geométricas, não terá tido origem religiosa?

33 A letra tanto indica o segmento de recta como a sua medida de comprimento, de modo a estarmos de acordo com o pensamento dos geómetras da época que tratavam os segmentos de recta sem fazer referência específica à sua medida de comprimento.

34 François (Gustave) Lasserre (14.09.1919-22.12.1989), foi professor de grego na universidade de Lausanne desde 1959 até 1985 e director do Departamento de Estudos Clássicos da mesma universidade de 1973 a 1983. Também foi docente privado de Literatura Grega na Universidade de Genebra de 1948 a 1958 e novamente de 1962 a 1974. Duas vezes Honoris Causa, Athena em 1982 e Urbino em 1988; (dados obtidos por e-mail, Weboffice@unil.ch, junto do WebOffice da Universidade de Lausanne).
35 George Allman considera, ainda, que o problema da duplicação do cubo tem um significado mais profundo, remontando ao tempo dos Pitagóricos ([All], pp. 84-88). Não iremos aprofundar este assunto por considerar estar fora do âmbito desta dissertação.
36 Segundo Thomas Heath ( [H4], I, p. 201) esta proposição é Pitagórica. Refira-se, ainda, que a proposição Elementos VIII, 11 diz respeito a números quadrados e ao meio proporcional.
37 Um outro processo mencionado no diálogo Menon, de Platão, escrito no séc. IV a.C., refere que o lado procurado é a diagonal do quadrado inicial.

38 Os passos seguintes são adaptados da obra The Historical Roots of Elementary Mathematics, ([BJB], pp. 97-100).

39 Segundo George Allman (cf. [All], p. 41) os Pitagóricos já conheciam uma versão "ingénua" do método da redução, embora o aparecimento de uma versão "sistematizada" de tal método seja, usualmente, associada ao nome de Hipócrates de Quios. Aliás, embora não existam certezas entre uma ligação Pitagóricos-Hipócrates, não seria muito especulativo que essa ligação existisse (cf. [All], p. 99).
40 Na primeira página do artigo, em modo de resumo, podemos ler: "É amplamente conhecido que Hipócrates de Quios reduziu o problema da duplicação do cubo ao problema de encontrar dois meios proporcionais entre duas linhas dadas. No entanto, nada é conhecido sobre o modo como ele justificou a sua redução. Para responder a esta questão, proposições e padrões de argumentos nos Livros VI, XI e XII dos Elementos são examinados. Uma reconstrução de acordo com a que Arquimedes utilizou na prova da Proposição II-1 da sua obra Da Esfera e do Cilindro é proposta, sendo discutido se tal é plausível." ([Sa], p. 119).
41 A análise detalhada deste artigo de Saito excede o âmbito desta dissertação.
42 Cronologicamente parece que foi Arquitas o primeiro matemático a procurar uma solução para o problema dos dois meios proporcionais.
43 Obviamente, quando escrevemos "solução", estamos a considerar uma solução para o problema que não está em conformidade com os requisitos das construções com régua não graduada e compasso.
44 Segundo George Allman (cf. [All], p. 110) podemos inferir que Arquitas foi o primeiro a utilizar movimentos mecânicos na solução de um problema geométrico.
45 Uma justificação mais detalhada do possível raciocínio de Arquitas pode ser encontrada em ([Wa1], p.152), que aqui não apresentamos por ultrapassar o âmbito desta dissertação.
46 A superfície gerada pelo movimento do semicírculo recto A ( em torno de A - um toro de diâmetro interno nulo).
47 Supõe-se que Demócrito tenha nascido no séc. V a.C..
48 Uma maior referência a esta obra será feita quando analisarmos a solução de Diocles.
49 Ao reprovar as soluções existentes pressupomos que Platão também reprovou a solução de Menecmo. Mas, tendo em atenção que a solução de Menecmo é puramente teórica, não envolvendo instrumentos de qualquer tipo, em que se terá baseado Platão para reprovar tal solução? Van der Waerden ([Wa1], pp. 162-164), com base na análise do diálogo Platonicus, tenta responder a esta questão. No entanto, não será de considerarmos que para Platão todas as soluções que não fossem soluções possíveis de executar apenas com régua não graduada e compasso seriam soluções mecânicas?

50 De referir que Eutócio, no seu texto, traça com muita minúcia o engenho mecânico em causa, indo ao pormenor de descrever o tipo de ranhuras, encaixes, etc..

51 A descrição feita por Papo de Alexandria tem uma pequena variação em relação à descrição de Eutócio. Enquanto que este último fala em paralelogramos, Papo fala em triângulos. No entanto, este facto é indiferente no contexto em causa. ([Th5], I, p. 291).
52 A frase " (...) pela tríade de Menecmo (. ..)" pode fazer parecer que se trata das três formas de secções cónicas, parábola, hipérbole e elipse. No entanto, Knorr é de opinião que, tendo em atenção o contexto, esta tríade é a hipérbole e as duas parábolas, as curvas cónicas especificamente associadas ao problema da duplicação do cubo. ([Kn1], p. 62)

53 Segundo Tomas Heath, as explicações que Eutócio e Papo dão do procedimento de Nicomedes apenas diferem ligeiramente ([H4], I, p. 260). Refira-se que apenas conhecemos a obra de Nicomedes Sobre as Linhas Concóides de fontes indirectas.
54 O caso que nos interessa é AB = 2BC, que é um caso particular daquele aqui descrito.
55 A curva concóide foi descrita com maior pormenor no capítulo sobre a trissecção do ângulo (cf. p. 34).

56 Filósofo da primeira metade do séc. VI d.C..

57 Gomes Teixeira ([Te1], pp. 293-295) explica como encontrar geometricamente uma determinada recta mediante certa hipérbole, enquanto que, e ainda segundo ele, Eutócio supõe que se procede por tentativas para determinar tal recta (a recta GF na figura da página seguinte).
58 Knorr considera que existem três versões (muito próximas umas das outras) da solução do problema da duplicação do cubo que aparecem associadas ao nome de Apolónio, existindo ainda a menção, por Papo, a uma quarta - esta pelo uso de secções cónicas. Aquela que é reproduzida por Eutócio é equivalente ao método apresentado por Herão e, relativamente às duas versões dados por João Filópono, uma é precisamente o método de Herão, enquanto que a outra coincide com aquela que é reproduzida por Eutócio associada ao nome de Filão ([Kn1], p. 305). Podemos encontrar em Knorr ([Kn1], pp. 305-308) uma descrição aprofundada das interligações entre os métodos de Apolónio, Herão e Filão.
59 As incertezas sobre a data em que viveu Herão são muitas. Por um lado Michael Mahoney, autor da biografia de Diocles no Biographical Dictionary of Mathematicians, aponta a data de 62 d.C.; por outro lado Thomas Heath ([H4], II, pp. 300-306) investiga sobre a data em que viveu Herão, concluindo assim como provável o séc. III d.C. No entanto, todos os autores são unânimes em considerar como certo que Herão viveu entre o ano 150 a.C. e o ano 250 d.C..
60 No fim dessa obra, consagrada à fabricação de armas de arremesso, encontra-se um método instrumental pelo qual Herão determina dois meios proporcionais para um problema de certo modo análogo ao problema de Delos. ([Ver2], II, p. 590).
61 Não estamos a contabilizar a "solução de Eudoxo".
62 Como sabemos, o que caracteriza as fontes dos textos gregos, mesmo os nossos textos mais antigos, é que geralmente são cópias de cópias, que por sua vez já eram cópias ou fragmentos de originais. Este facto leva alguns historiadores a ter preferência por determinada fonte em detrimento de outra ou outras. Por exemplo, Ivor Thomas ([Th5], p. 267) tem preferência pela versão transmitida por Papo na Colecção Matemática em detrimento da versão transmitida por Eutócio, por considerar que a versão de Papo conserva com maior autenticidade as palavras de Herão, enquanto que Eutócio faz alguns aditamentos.
63 Mais uma vez o caso que nos interessa é um deles o dobro do outro, isto é, CD=2DB.
64 Caso de congruência de triângulos lado-ângulo-lado.
65 De modo a melhor abrangermos a importância desta descoberta podemos atender às palavras pelas quais G. J. Toomer inicia a sua tradução da referida obra de Diocles: "Nada sabemos sobre Diocles excepto o que pode ser inferido da presente obra. Até à descoberta do texto árabe, mesmo a sua data constituía uma incerteza." ([To1], p. 1).
66 Informação obtida em http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Diocles.html , site da responsabilidade de Edmund Robertson e John O'Connor, docentes do Departamento de Matemática da Universidade de St. Andrews, Escócia.
67 Segundo Elementos I, def. 2 "Linha é o que tem comprimento sem largura" e é no comentário a esta definição que Thomas Heath, analisando o conceito/relação entre linha e curva, refere que, segundo Eutócio, a cissóide é supostamente a curva através da qual Diocles resolve o problema da duplicação do cubo. (cf. [H2], I, p. 164).
68 A cissóide despertou o interesse de várias gerações de matemáticos. "Os matemáticos do séc. XVII colocaram à prova a sua perícia através da cissóide. Fermat e Roberval construíram a tangente (1634); Huygens e Wallis encontraram a área (1658); enquanto Newton dá-a como exemplo, na sua Arithmetica Universalis, das antigas tentativas na resolução de problemas cúbicos (...)." ([Lo], p. 133). Ainda recentemente, matemáticos portugueses colocaram em discussão na Internet, em http://www.fc.up.pt/mp/machaves/diocles.html , uma proposta de construção (utilizando o moderno software de geometria dinâmica The Geometer´s Sketchpad) da cissóide de Diocles, como lugar geométrico do vértice de uma parábola móvel rolando sem escorregamento sobre uma parábola fixa.
69 Diocles define a sua curva apenas em relação a um dos quadrantes da circunferência de referência.

70 Atendendo à definição de cissóide, dada na página anterior, as curvas aqui em causa são a circunferência de diâmetro DC e uma recta (a tangente à circunferência no ponto D), sendo C o ponto fixo.

71 No livro VII da Colecção Matemática, Papo expõe novamente a construção dos dois meios proporcionais, embora de uma forma mais abreviada. Parece que foi esta a fonte da versão que Eutócio nos transmite. (cf. em [P]; em [Ver3], II, pp. 843-845).

72 Como aconteceu com as soluções de Herão, Filão e Apolónio.

73 Contrariamente a Diocles e a Papo, que consideram que DO e OK estão na mesma proporção que os segmentos entre os quais pretendemos construir os dois meios proporcionais.

74 Estamos em presença da mesma circunferência e do mesmo ponto K da solução de Diocles.

75 A justificação pode ser elaborada tendo em atenção ([H4], I, p. 267).