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Há pelo menos dois aspectos em que o problema da trissecção do ângulo (dividir um ângulo arbitrário, apenas com régua não graduada e compasso, em três partes iguais) difere dos outros dois clássicos problemas da geometria grega - a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Em primeiro lugar não existe nenhuma lenda que lhe esteja associada; em segundo lugar, enquanto que não é possível duplicar um cubo ou quadrar um círculo, com régua não graduada e compasso, por mais especiais que sejam os valores da aresta do cubo ou do raio do círculo é, no entanto, possível trissectar ângulos de determinadas amplitudes. Por exemplo, Papo indica, no Livro IV da sua Colecção Matemática (cf. [P]; em [Ver3], I, p. 213), um método muito simples para trissectar um ângulo recto:
Não é conhecida a origem do problema da trissecção do ângulo, mas é muito provável que tenha surgido no seguimento da construção de polígonos regulares. Por exemplo, para construir um polígono regular de nove lados é necessário trissectar um ângulo de 120º.
Além disso, podemos encontrar no Livro IV dos Elementos de Euclides construções para inscrever numa circunferência polígonos regulares de três, quatro, cinco e seis lados. Os menores números para os quais os geómetras gregos não conheciam uma construção exacta eram os polígonos regulares de sete e de nove lados. Estes factos levam-nos a supor que a construção de polígonos regulares foi um assunto que ocupou os matemáticos na Antiga Grécia, talvez incentivados pela descoberta da construção do pentágono regular, pelos Pitagóricos. "É provável que o terceiro problema célebre - a trissecção do ângulo - tenha também ocupado a atenção dos geómetras neste período [o período do problema da duplicação do cubo]. Não há dúvida que os Egípcios conheciam como dividir um ângulo ou o arco de um círculo, em duas partes iguais; assim eles também deviam saber como dividir um ângulo recto em três iguais. Nós já vimos, além do mais, que a construção do pentágono regular era conhecida de Pitágoras e podemos inferir que ele podia dividir um ângulo recto em cinco partes. Deste modo, nessa altura, o problema da trissecção de um qualquer ângulo - ou o mais geral de dividir um ângulo num qualquer número de partes iguais - podia surgir naturalmente." ([All], p. 88). No entanto, não será de excluir a hipótese deste problema ter nascido como uma extensão natural da bissecção de um ângulo (Elementos I, 9), tarefa extremamente fácil e possível de executar com régua não graduada e compasso. A divisão de um segmento de recta em várias partes iguais, com os instrumentos euclidianos, é simples e poderá, também, ter levado ao problema da trissecção do ângulo, num esforço de transpor para ângulos o que era possível efectuar em segmentos de recta. ([H4], I, p. 235; [Ev], p. 137). Tendo em atenção o simples enunciado deste clássico problema, dividir um ângulo em três partes iguais parecia ser uma tarefa trivial e, talvez por esse facto, tenha sido difícil de aceitar, desde a Grécia clássica até ao nosso século, que não era possível encontrar uma solução de acordo com os requisitos euclidianos. No entanto, não é um problema de tão simples resolução com poderia parecer à primeira vista. Howard Eves ([Ev], p. 136) escreve: "Dos três famosos problemas da Antiguidade, o da trissecção do ângulo é destacadamente o mais popular entre os não iniciados em matemática dos Estados Unidos hoje em dia. Todos os anos os jornais de matemática e os membros da classe dos professores de matemática do país recebem muitas comunicações dos "trisseccionadores de ângulos" e não é raro ler-se em jornais que alguém finalmente resolveu o evasivo problema." É admirável que um problema já conhecido dos geómetras gregos e cuja impossibilidade de resolução (nas condições em que foi colocado), foi demonstrada no séc. XIX faça, ainda, correr tanta tinta5. Embora as palavras de Howard Eves tenham sido escritas no ano de 1953; em Abril de 1999 John Conway, actualmente professor no Departamento de Matemática da Universidade de Princeton, respondia a uma questão colocada na Internet6 sobre uma possível solução para o problema da trissecção do ângulo. Aliás, o próprio John Conway afirmou-nos 7: "(...) durante a minha actividade recebi e respondi a cerca de 50 pessoas que efectuaram tentativas da trissecção do ângulo (...)." Em Janeiro de 2000, John Conway responde a uma questão, no grupo de discussão da Internet Geometry.college, colocada por um céptico anónimo que não acredita que os matemáticos tenham provado a impossibilidade da trissecção do ângulo, uma vez que considera que a matemática e as tecnologias é que ainda não evoluíram ao ponto de ser possível tal trissecção. Em 1987 surgiu uma obra 8, inspirada em A Budget of Paradoxes de De Morgan, onde um dos seus objectivos era desencorajar o aparecimento de trissecções. No entanto, tal intenção foi infrutífera, em 1993, nos Estados Unidos, é patenteado um instrumento para a trissecção. Na segunda edição dessa obra ([Du4], xvi), sob o novo título The Trisectors, o autor escreve desesperadamente:
Obviamente que o autor se refere à impossibilidade de trissecção unicamente com os instrumentos euclidianos - régua não graduada e compasso. Papo de Alexandria, no Livro IV da sua Colecção Matemática, afirma que os geómetras gregos foram incapazes de resolver o problema da trissecção do ângulo usando apenas métodos planos, isto é, utilizando unicamente linhas rectas e circunferências (no fundo, régua não graduada e compasso), pelo facto do problema não ser 'plano' mas sim 'sólido'. Acrescenta ainda que, como os primeiros geómetras não estavam familiarizados com as secções cónicas, o problema ficou na incerteza. Apesar disso, mais tarde, executaram a trissecção do ângulo com a preciosa ajuda de o terem reduzido a um outro tipo de problema. ([P]; em [Ver3], pp. 209-210). As tentativas para resolver o problema da trissecção do ângulo foram muito frutíferas ao contribuírem para o desenvolvimento da geometria. No período grego9 apareceram várias soluções para este clássico problema que, obviamente, não estavam de acordo com os requisitos de unicamente utilizar régua não graduada e compasso. É sobre estas construções, que presentemente conhecemos, que ao longo deste capítulo nos vamos debruçar, apresentando-as por uma possível ordem cronológica. Mas antes, comecemos por analisar a redução do problema da trissecção do ângulo a um outro problema, redução esta de extrema importância, tendo em atenção que permitiu o aparecimento de novas técnicas geométricas.
1.2 A trissecção do ângulo reduzida a outro problema
Consideremos um qualquer ângulo ABC, que pretendemos trissectar. Basta-nos pensar num ângulo agudo, pois no caso de um ângulo recto é possível trissectá-lo com régua não graduada e compasso, recorrendo a um triângulo equilátero (cf. p. 13); quanto a um ângulo obtuso, podemos decompô-lo na soma de um ângulo recto com um ângulo agudo. Papo indica estes dois casos como corolários da proposição 32 do Livro IV da sua Colecção Matemática (cf. [P]; em [Ver3], I, pp. 213-214). Voltemos então ao caso do ângulo agudo. Sejam, de acordo com a figura seguinte, BA e BC os lados que determinam o ângulo que pretendemos trissectar.
Pelo ponto A dum dos lados, tiram-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado. O segmento DE é inserido entre estas duas rectas de modo a que o seu comprimento seja duplo do comprimento do segmento AB e, ainda, de tal modo que o ponto B, vértice do ângulo a trissectar, esteja no seu prolongamento. Então, o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC. Justifiquemos, agora, que o ângulo ABC é trissectado pelo recta BD. Marquemos H, o ponto médio do segmento DE, e unamos os pontos A e H. Tendo em atenção que a recta DE intersecta as rectas paralelas AE e BC, com base em Elementos I, 29, podemos afirmar que os ângulos alternos internos HEA e DBC são geometricamente iguais. Por outro lado, o ângulo EAD, visto que é recto, pode ser inscrito numa semicircunferência de diâmetro DE e centro no ponto H - a tracejado na figura seguinte. Assim, visto que por construção os segmentos HE e HA são iguais, o triângulo AHE é isósceles e, portanto (Elementos I, 5) os ângulos EAH e HEA são iguais. Tendo em atenção que, DE tem o dobro do comprimento de BA, H é o ponto médio de DE e que AB é igual a AH, chegamos à conclusão que o triângulo ABH é isósceles, portanto (Elementos I, 5) os ângulos ABH e BHA são iguais.
Como o ângulo BHA é um ângulo externo ao triângulo AHE, por Elementos I, 32, podemos afirmar que o ângulo BHA é igual à soma dos ângulos internos opostos, EAH e HEA. Mais, o ângulo BHA é o dobro do ângulo HEA (ou do ângulo EAH) e como o ângulo ABD é igual ao ângulo BHA temos que o ângulo DBC é metade do ângulo ABD e, finalmente, que o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC. Pelo que acima foi exposto, o problema da trissecção dum ângulo agudo fica resolvido se soubermos inserir o segmento DE (duplo de BA) entre as rectas FA e AE e apontado para o ponto B. Assim, ao depararmo-nos com o problema da trissecção do ângulo, reduzimo-lo a um outro problema, que os geómetras gregos designaram por problema de construção por nêusis10 - a inserção dum segmento de recta de comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou nesse segmento ou no seu prolongamento. "Julga-se que este modo [pela construção por nêusis] de trissectar um ângulo [descrito por Papo na proposição Colecção Matemática IV, 32] seja muitos séculos mais antigo do que Papo pois, já no século V a.C., Hipócrates de Quios fizera uso duma construção por nêusis, num argumento bem mais complexo do que o da trissecção do ângulo." ( [ESQSC], p. 281). Uma questão que agora se coloca é saber como efectuar esta construção por nêusis, a qual não pode ser efectuada apenas com régua não graduada e compasso. Aliás Thomas Heath ([H4], I, pp. 237-238) mostra que a solução desta construção por nêusis é equivalente à solução de uma equação cúbica 11. No entanto, existem construções por nêusis que podem ser resolvidas apenas com régua não graduada e compasso, como afirma Carlos Sá ([S], p. 4): "A primeira ocorrência histórica conhecida duma construção por nêusis data do século V a.C (a construção da terceira lúnula de Hipócrates de Quios) e pode na verdade ser levada a cabo apenas com régua e compasso (...). Em geral, contudo, as construções por nêusis não são redutíveis a construções com régua e compasso. " Então, como efectuar esta construção por nêusis? A primeira ideia que nos surge é utilizar uma régua graduada e ajustá-la do modo pretendido. Mas, obviamente, os desenvolvimentos dos matemáticos não se ficaram por esta resposta. "Descobriram-se várias curvas planas superiores que resolvem o problema de nêusis ao qual o problema da trissecção pode ser reduzido. Uma das mais antigas é a concóide inventada por Nicomedes (c. 240 a.C.). (...) . Pode-se trisseccionar um ângulo genérico com a ajuda de uma cónica. Os gregos antigos não tinham suficiente familiaridade com as cónicas para levar isso a efeito, e a mais antiga demonstração nesses moldes foi dada por Papo (c. 300 d.C.) usando a propriedade foco-directriz das cónicas. (...). Há curvas transcendentes (não algébricas) que não só trisseccionam um ângulo dado como, mais geralmente, multisseccionam-no num número qualquer de partes. De entre essas curvas estão a quadratiz, inventada por Hípias (c. 425 a.C.) e a espiral de Arquimedes." ( [Ev], pp. 137-138). A Colecção Matemática de Papo é uma fonte riquíssima de informação sobre os desenvolvimentos das soluções para o problema da trissecção do ângulo na Antiga Grécia. A primeira solução apresentada por Papo faz uso de uma construção por nêusis cuja solução envolve o uso de uma hipérbole, como mais tarde veremos. A redução do problema da trissecção do ângulo a um problema de inclinação, isto é, a um problema de nêusis, deve ter sido de extrema importância para os geómetras gregos. De facto, embora não seja possível encontrar uma solução com régua não graduada e compasso, é extremamente fácil de executar a construção com outros instrumentos mecânicos, como por exemplo uma régua graduada onde se marca a medida pretendida. Assim, estava encontrado um novo caminho de investigação, embora não o único, pois como veremos é possível encontrar soluções sem recorrer a construções por nêusis. Em termos práticos pouco mais havia a fazer, tendo em atenção que era possível mecanicamente encontrar soluções para a trissecção do ângulo. Mas de um ponto de vista puramente matemático os gregos não estavam, em geral, satisfeitos com as soluções mecânicas. É de ter presente as críticas de Platão às soluções que desvirtuassem o carácter ideal da geometria e, por consequência, a sua pureza e a sua beleza.
1.3 A solução atribuída a Hípias O nome de Hípias de Elis, geómetra do séc. V a.C., ficou marcado na história das matemáticas principalmente pela sua contribuição com uma solução para o problema da trissecção do ângulo. Papo de Alexandria no livro IV da sua Colecção Matemática descreve uma das mais antigas curvas da matemática, talvez a primeira depois da recta e da circunferência. A descrição dada por Papo sobre a principal propriedade desta curva torna bastante admissível que esta tenha sido inventada durante as tentativas de trissecção do ângulo. Esta curva foi posteriormente usada por Dinóstrato para a quadratura do círculo e como tal é chamada umas vezes trissectriz, outras vezes quadratiz. "(...) a quadratriz foi inventada, provavelmente por Hípias de Elis, com o objectivo de trissectar o ângulo e foi originalmente empregada neste propósito; posteriormente Dinóstrato usou a curva para a quadratura do círculo e é daí que deriva o seu nome." ([All], p. 191). Tendo em atenção que a curva aparece na história da matemática pela primeira vez como uma curva que permite trissectar o ângulo, isto é, uma curva trissectriz, e associada ao nome do matemático Hípias de Elis, vamos optar pelo nome de trissectriz de Hípias. Papo descreve o processo de construção desta curva que, ao que parece, foi a primeira a ser definida por via cinemática, tendo-se imaginado, desde essa época, instrumentos mecânicos para a traçar. ([V], pp. 194-195). Seguidamente apresentamos a imagem de um mecanismo para desenhar a trissectriz de Hípias, obtida no site do Museu Universitário de História Natural e da Instrumentação Científica da Universidade de Modena e Reggio Emilia, Itália.
"Uma linha que toma o nome da sua própria propriedade foi adoptada por Dinóstrato, Nicomedes e certos outros autores recentes para efectuar a quadratura do círculo; chamaram-lhe quadratriz e eis o modo como é gerada." Papo exprime, de uma maneira um pouco confusa, os movimentos que vão gerar a curva. O processo de construção da curva é cinemático, pois a curva é obtida pelos pontos que são a intersecção de dois segmentos de recta em movimento uniforme. Podemos descrever a sua construção do seguinte modo:
Ambos os movimentos acima descritos começam e terminam simultaneamente e têm velocidades constantes. Enquanto se deslocam, as duas rectas intersectam-se num determinado ponto, A, ponto esse que descreve a trissectriz de Hípias. Do modo como foram considerados os movimentos
anteriores podemos afirmar que a distância percorrida pelo lado
B´C´ é proporcional ao tempo gasto no seu percurso.
Do mesmo modo, a amplitude do arco determinado na circunferência
de centro B e raio BB´ é proporcional ao tempo percorrido
no percurso circular deste raio. Assim, existe proporcionalidade entre
a distância rectilínea percorrida pelo lado B´C´
e a amplitude angular percorrida pelo lado BB´. Ou seja, em todas
as posições do ponto A, a condição Ora, como afirma Carlos Sá ( [ESQSC], p. 285): "(...) é justamente devido a esta propriedade que a curva de Hípias permite reduzir todas as questões de proporcionalidade entre ângulos a questões análogas entre segmentos de recta e, em particular, permite reduzir a trissecção dum dado ângulo à trissecção dum segmento de recta." Como a trissecção de um segmento de recta, com régua não graduada e compasso, era conhecida dos geómetras gregos, está assim justificada a importância da curva de Hípias para o problema da trissecção do ângulo. É de salientar que a curva aqui exposta permite dividir um ângulo num qualquer número de partes, desde que a razão em causa possa ser expressa em termos de segmentos de recta. Com já referimos, esta curva é também utilizada na quadratura do círculo. No entanto, Esporo de Nicea (séc. III d.C.) criticou a utilização da quadratiz como um método prático para a quadratura do círculo, nomeadamente em duas vertentes: por um lado, afirma que a curva só se consegue construir quando sabemos sincronizar as velocidades, isto é, quando conhecemos a relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro (se assim fosse tínhamos o problema da quadratura do círculo resolvido 12); por outro lado, o ponto que procuramos para a quadratura do círculo, quando as duas rectas se intersectam no último momento, não existe (não se define). ([T4], pp. 10-11; [P] em [Ver3], I, pp. 193-197; [All], p. 184). Enquanto que a segunda crítica apresentada por Esporo não se aplica ao nosso caso - a trissecção do ângulo - já quanto à primeira não podemos dizer o mesmo.
Vamos então agora trissectar um ângulo agudo ABC utilizando a trissectriz de Hípias. Comece-se por construir um quadrado BB´C´C, a partir do lado BC do ângulo ABC. Construa-se a curva trissectriz de Hípias e designemos por A (sem perda de generalidade) o ponto de intersecção de um dos lados do ângulo ABC com a curva. Por A, trace-se uma paralela a B´C´ e designe-se por P o ponto de intersecção dessa paralela com o segmento BB´ . Trissecte-se o segmento BP (a trissecção de um segmento é possível com régua não graduada e compasso), sendo BR a sua terça parte. Por R trace-se uma outra paralela a B´C´ e designe-se por L o ponto de intersecção dessa paralela com a trissectriz de Hípias. Assim, o ângulo LBC é a terça parte ângulo ABC.
Provemos, agora, tal facto. Comecemos, de acordo com a figura anterior, por designar por E e N os pontos de intersecção do arco B´C com as rectas BA e BL e por T e S os pontos de intersecção do lado CC´ (do quadrado) com as rectas PA e RL, respectivamente. Note-se que PT e BE se intersectam num ponto da trissectriz, A, e que RS e BN se intersectam num outro ponto da trissectriz, L. Pelas propriedades da curva trissectriz
de Hípias, é válida a seguinte relação
Mas, como o segmento de recta BR é a terça parte do segmento de recta BP, também o ângulo LBC é a terça parte do ângulo ABC. Mais ainda, tendo em atenção que se reduziu uma questão de proporcionalidade entre ângulos a uma questão de proporcionalidade entre segmentos de recta, a curva trissectriz de Hípias permite reduzir a multissecção de um ângulo agudo à multissecção de um segmento de recta. Observe-se que, embora seja possível construir, com régua não graduada e compasso, alguns pontos da curva trissectriz de Hípias, não é possível desenhar a curva na sua totalidade, com o uso apenas dos instrumentos euclidianos. Continuamos, assim, sem uma solução para o problema de acordo com as regras de resolução inicialmente impostas.
1.4 A CONTRIBUIÇÃO DE ARQUIMEDES Arquimedes de Siracusa foi um célebre geómetra do século III a.C., e um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Embora não se conheçam construções directamente a ele atribuídas para a solução do problema da trissecção do ângulo, pelo menos dois dos seus trabalhos indicam soluções para o referido problema: a proposição 8 do Livro dos Lemas e a curva espiral definida na obra Acerca das Espirais. Wilbur Knorr afirma que a proposição 8 do Livro dos Lemas não é uma solução directa do problema da trissecção do ângulo, mas antes um lema apropriado à sua síntese, sendo este problema de nêusis do mesmo tipo daqueles que encontramos em várias proposições da obra Acerca das Espirais. Tendo em atenção a proposição em causa, a solução da trissecção do ângulo reduz-se à inserção de um comprimento dado, o raio do círculo, entre o círculo e uma determinada recta - a extensão do seu diâmetro. As descobertas que foram feitas relativamente ao heptágono e às espirais tornam claro que Arquimedes deve ter planeado uma construção desta configuração. ([Kn1], p. 185). Infelizmente muitos dos trabalhos de Arquimedes não chegaram até nós; refira-se, como exemplo, O Método que esteve perdido desde os primeiros séculos da nossa era até a sua redescoberta em 1906. "Arquimedes, como os seus predecessores, foi atraído pelos três famosos problemas de geometria, e a bem conhecida espiral de Arquimedes forneceu soluções para dois deles (não, é claro, só com régua não graduada e compasso)." ([Boy], p. 93). Embora nada tenha chegado até nós sobre o interesse directo de Arquimedes pelo problema da trissecção do ângulo, sendo este um problema tão famoso na época é de estranhar que Arquimedes não lhe tenha dado uma especial atenção. Sobretudo, porque utilizou construções por nêusis em várias proposições na sua obra Acerca das Espirais e, provavelmente, nessa época já era conhecida a redução do problema da trissecção do ângulo a uma construção por nêusis. De facto, em várias proposições da obra Acerca das Espirais, Arquimedes refere construções por nêusis, as quais assume como possíveis sem qualquer explicação, o que nos leva a pensar que as construções por nêusis eram muito familiares aos matemáticos da época. Em termos de teoria matemática a maior parte das construções por nêusis dos gregos requerem o uso de cónicas ou curvas de grau superior a dois. ([Cl2], p. 91). A influência da contribuição de Arquimedes não se restringiu à sua época. Ainda segundo Knorr, certas modificações no diagrama de Arquimedes para a trissecção do ângulo por meio de uma construção por nêusis levam a construções alternativas importantes nos escritos de geómetras posteriores. Uma dessas variantes é um dos três métodos, de autor(es) desconhecido(s), transmitidos por Papo na sua Colecção Matemática. ([Kn1], pp. 186-187). "O livro dos Lemas não se preservou no original grego mas em tradução árabe, que depois foi por sua vez traduzida para o latim. Por isso frequentemente é designado pelo seu título em latim Liber assumptorum. Na verdade, a obra que chegou em latim até nós não pode ser genuinamente a de Arquimedes, pois o seu nome é várias vezes citado no texto. No entanto, mesmo que não seja senão uma miscelânea de teoremas que os árabes atribuíram a Arquimedes, a obra provavelmente é, em substância, autêntica." ([Boy], p.98). Embora existam dúvidas se o Livro dos Lemas foi efectivamente composto por Arquimedes, Heiberg e Thomas Heath consideram razoável que a proposição 8 seja devida a Arquimedes, visto que a nêusis aí envolvida é muito parecida com as nêusis assumidas como possíveis nas proposições VI e VII em Acerca das Espirais. ([Cl1], I, p. 67). Segundo parece,13 a tradução feita pelos Árabes originou várias soluções para o problema da trissecção do ângulo, apresentadas por matemáticos Árabes. Vejamos então o que diz a proposição 8, do Livro dos Lemas, donde podemos deduzir uma construção para a solução do problema da trissecção do ângulo, reduzindo-o a um problema de nêusis:
Como facilmente nos apercebemos, esta proposição, pelo facto de relacionar arcos e ângulos, fornece-nos um método para reduzir a trissecção de um qualquer arco (e, deste modo, de um qualquer ângulo), a um problema de construção por nêusis. Assim, para trissectar o arco AE, e considerando EOD o diâmetro da circunferência de centro O, a partir de A traçamos a corda AB e prolongamo-la de modo a encontrar o prolongamento de EOD em C, com o cuidado de BC ser igual ao raio da circunferência. Então, o arco BD é a terça parte do arco AE. Na obra Acerca das Espirais, Arquimedes precede a proposição 12 de sete definições relacionadas com a espiral - define alguns dos elementos da referida curva, como sejam a origem da espiral, a recta inicial, etc. Define a curva espiral do seguinte modo: "Se uma linha recta for desenhada num plano e se, permanecendo fixa uma das suas extremidades, ela girar com uma velocidade uniforme um número qualquer de vezes até retornar à posição de que partiu e se, além disso, durante esta rotação da linha recta, um ponto se mover sobre a recta com uma velocidade uniforme a partir da extremidade fixa, o ponto descreverá uma espiral no plano." ([Ar2]; em [Ver2], I, p. 261). Arquimedes trocou alguma correspondência com Conon 14 sobre vários assuntos em aberto. De uma carta enviada por Arquimedes a Dositeu, a qual serve de prefácio à obra Acerca das Espirais (cf. [Ar2]; em [Ver2], I, p. 239), podemos inferir que Arquimedes enviou os enunciados de alguns teoremas a Conon, mas este não chegou a demonstrá-los antes da sua morte. Foi Arquimedes quem, em primeiro lugar, fez um estudo aprofundado das propriedades da curva espiral, e assim se entende o facto desta espiral ser conhecida pelo nome de Espiral de Arquimedes. ([V], p. 353; [Ar2] em [Ver2], I, p. 239). "O estudo que Arquimedes fez da espiral, curva que ele atribuiu ao seu amigo Conon (...), era parte da busca de soluções dos três problemas famosos. A curva presta-se tão bem a subdivisões de ângulos que pode bem ter sido inventada por Conon para esse fim. Como no caso da quadratiz, porém, ela também serve para quadrar o círculo, como Arquimedes demonstrou." ([Boy], p. 94). Na proposição 14, Arquimedes apresenta um resultado que contribui para a construção de uma solução para o problema da trissecção do ângulo, pelo uso da espiral:
Seja ABG DEQ a primeira volta da espiral, seja A a origem da espiral, seja QA a recta inicial, seja QKH o primeiro círculo, e a partir do ponto A tracem-se AE, AD até encontrarem a espiral e prolonguem-se até encontrarem a circunferência do círculo em Z, H. Quer provar-se que AE está para AD assim como ao arco QKZ está para o arco QKH. Quando a recta AQ gira, é claro que o ponto Q se move uniformemente em torno da circunferência QKH do círculo, enquanto que o ponto A, que se move ao longo da linha recta, percorre a linha AQ. O ponto Q, que se move em torno da circunferência do círculo, percorre o arco QKZ enquanto A percorre a linha recta AE; além disso, o ponto A percorre a linha recta AD ao mesmo tempo que Q percorre o arco QKH, movendo-se cada um deles uniformemente; portanto, é claro que AE está para AD assim como o arco QKZ está para o arco QKH." ([Ar2]; em [Ver2], I, pp. 263-264). Nesta proposição Arquimedes afirma que se D e E são dois pontos da espiral de origem A, então AE está para AD assim como o arco Q KZ está para o arco QKH, propriedade esta que, como veremos, será fundamental para construir uma solução para o problema da trissecção do ângulo.
1.4.1 A SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE NÊUSIS
Considere-se o ângulo agudo ABC o qual pretendemos trissectar. Construa-se uma circunferência de centro B e raio r (arbitrário), intersectando os lados do ângulo nos pontos A e C. O segmento de recta FD, de comprimento igual ao raio r, é inserido entre a recta CB e a circunferência, de tal modo que o ponto A esteja no seu prolongamento. Tracemos uma recta paralela a AF, que passe pelo ponto B, intersectando a circunferência num ponto que vamos designar por G. Assim, o ângulo GBC é a terça parte do ângulo ABC.
Provemos, agora, tal facto, provando que o ângulo ABG é o dobro do ângulo GBC. Pelo paralelismo das rectas BG e FA e pela proposição Elementos I, 29, podemos tirar duas conclusões. Por um lado, os ângulos GBC e DFB são iguais, por serem ângulos correspondentes no sistema das rectas paralelas cortadas pela transversal FB. Por outro, os ângulos BAF e ABG são iguais, por serem ângulos alternos internos no sistema das mesmas paralelas cortadas pela transversal AB.
Tendo em atenção que FD, DB e AB são iguais, os triângulos BAD e FBD são isósceles, assim (Elementos I, 5), vem que os ângulos DFB e EBD são iguais, e de igual modo são iguais os ângulos BAD e ADB. Note-se que ADB é um ângulo externo ao triângulo FBD e, por Elementos I, 32, podemos concluir que o ângulo ADB é igual à soma dos ângulos internos opostos, FBD e DFB. Mas, tendo em atenção que o ângulo FBD é igual ao ângulo DFB, podemos afirmar que o ângulo BAD (que é igual ao ângulo ADB) é o dobro do ângulo DFB, ou seja, o ângulo ABG é o dobro do ângulo GBC. Tínhamos visto atrás que o ângulo DFB era igual ao ângulo GBC, logo provámos o que pretendíamos, isto é, que o ângulo ABG é o dobro do ângulo GBC. Embora se possa afirmar que temos uma solução para o problema da trissecção do ângulo, o segmento de recta em causa não pode ser inserido apenas com régua não graduada e compasso. Segundo parece, Arquimedes não apresentou um processo para inserir o segmento FD; no entanto, podemos mover adequadamente uma régua com duas marcas (cuja distância seja o comprimento do segmento FD) de modo a inserir tal segmento. Mas, obviamente, esse não é o único caminho, pois foram inventados instrumentos mecânicos que permitem resolver esta nêusis. Um possível mecanismo consiste em duas barras iguais DB e DF´, articuladas em D. A extremidade, B, da primeira barra é fixa num ponto de uma terceira barra FC, de modo a que . A extremidade F´ desliza numa ranhura da barra FC. A fotografia seguinte representa um mecanismo, construído em madeira e metal, propositadamente para esta dissertação, e com o qual é possível trissectar um qualquer ângulo, de acordo com o 'método de Arquimedes'.
Utilizando este mecanismo podemos trissectar o ângulo agudo como ilustra o seguinte esquema16, onde o ângulo a é a terça parte do ângulo b:
Presentemente, com o software dinâmico The Geometer`s Skechpad, é possível resolver esta nêusis do seguinte modo: se ABC for o ângulo que pretendemos trissectar, construímos uma circunferência de centro B e raio r (arbitrário) e intersectando os lados do ângulo nos pontos A e C. Desenhamos uma semi-recta, arbitrária, partindo de A e intersectando a circunferência em D. Com centro em D e raio BD construímos uma nova circunferência (a azul tracejado na figura). A semi-recta AD vai intersectar esta nova circunferência num ponto que vamos designar por F. Arrastemos o ponto D ao longo da circunferência inicial de modo a que o ponto F intersecte a recta CB. Assim, o ângulo DFB é a terça parte do ângulo ABC.17
1.4.2 O USO DA ESPIRAL DE ARQUIMEDES
Como já referimos, este método para trissectar um ângulo é uma consequência imediata da proposição 14 de Acerca das Espirais. O que Arquimedes afirma nesta proposição é que se D e A são dois pontos da espiral (no primeiro círculo20) então BD está para BA como o arco FD está para o arco FE.
De facto, dado o ângulo agudo ABC, que pretendemos trissectar,
construa-se a espiral de Arquimedes cuja origem é o vértice do ângulo
em causa, isto é, o ponto B, fazendo coincidir um dos lados do ângulo,
digamos o lado BC, com a recta inicial e intersectando a espiral o outro
lado do ângulo, o lado BA, no ponto A. Como o nosso objectivo é trissectar
o ângulo, vamos então trissectar o segmento AB, operação esta que é
possível executar com recta não graduada e compasso (consequência de
Elementos VI, 2). Designemos por E o ponto de BA tal que
Provemos agora que o ângulo DBF
é efectivamente a terça parte do ângulo dado ABC. Ora, o fundamental
da espiral é relacionar o cumprimento do segmento de recta, que vamos
designar por r
, com o ângulo gerado pelo segmento de recta a partir da sua
posição inicial, o qual vamos designar por q,
ou seja, em coordenadas polares
Como A e D são dois pontos da espiral vem que
Repare-se que, se pretendermos uma outra divisão do ângulo ABC, o processo é análogo. Por exemplo, se pretendermos sete quintos do ângulo ABC, basta considerar, analogamente, sete quintos do segmento BA. No entanto, não é possível construir a espiral de Arquimedes com régua não graduada e compasso.
1.5 A CONCÓIDE DE NICOMEDES A RESOLVER UMA CONSTRUÇÃO POR NÊUSIS Segundo parece, Nicomedes inventou a concóide (curva em forma de concha), para resolver quer o problema da trissecção do ângulo quer o problema da duplicação do cubo. "Vários comentadores antigos relacionam Nicomedes (séculos II-III d.C.) com a invenção da concóide. Os mais importantes são Papo de Alexandria (séculos III-IV d.C.), Proclo de Lícia (século V d.C.) e Eutócio de Áscalon (século VI d.C.)." ([S], p. 4). Ao acreditar nas afirmações de Proclo, ao comentar a proposição de Euclides relativa à bissecção do ângulo (Elementos I, 9) na sua obra Comentário ao Primeiro Livro dos Elementos de Euclides, (cf. [Pr]; em [Ver1], p. 233), o problema da trissecção do ângulo deu origem à invenção de mais uma nova curva - a concóide. No livro IV da Colecção Matemática, Papo dá a definição de concóide e enuncia algumas das suas propriedades estabelecidas por Nicomedes e na proposição 23 explica como se pode utilizar a concóide para efectuar certa construção por nêusis, apresentando de seguida a solução de Nicomedes para o problema da duplicação do cubo. Papo afirma21 (cf. [P]; em [Ver3], I, p. 187) que a concóide se pode descrever com toda a facilidade mecanicamente por um aparelho simples que Nicomedes imaginou. É ilustrativa a seguinte imagem, de um mecanismo para desenhar a concóide de uma recta, obtida no site do Museu Universitário de História Natural e da Instrumentação Científica da Universidade de Modena e Reggio Emilia, Itália.
Comecemos por definir a concóide de uma curva:
considere-se um curva qualquer, um ponto fixo O, exterior à curva,
e uma dada distância k. Trace-se uma recta passando por O e encontrando
a curva no ponto P. Se Q1 e Q2 forem pontos sobre
a recta OP tais que Um caso particular, e aquele que presentemente nos interessa, é a concóide de uma recta. Descrevamos uma sua construção, que nos parece muito simples: considere-se uma recta l, um ponto O exterior à recta e uma circunferência C cujo raio seja igual à distância k (previamente definida) e com o seu centro sobre a recta l , como ilustra a seguinte figura.
Consideremos a circunferência a mover-se ao longo da recta l (designada por Nicomedes como régua), isto é, sempre com o centro sobre a recta. Seja, ainda a recta que une o ponto O (designado por Nicomedes por polo) ao ponto P. Os pontos Q1 e Q2, de intersecção desta recta com a circunferência, quando esta se move, desenham os dois ramos da concóide. A curva concóide tem dois ramos e, consoante a
relação entre a distância predefinida k e a distância
d, entre o ponto O e a régua, (
Vejamos, agora, como podemos utilizar a concóide de Nicomedes para efectuar a trissecção do ângulo, ou mais propriamente, resolver o respectivo problema de nêusis, colocado na secção 1.2. O que pretendemos é inserir um segmento de recta, de comprimento predefinido, entre duas rectas, de modo que um certo ponto se encontre no prolongamento desse segmento. Dado um ângulo agudo ABC, a trissectar, podemos construir a concóide pretendida do seguinte modo: Por um ponto G dum dos lados do ângulo, tiram-se uma paralela e uma perpendicular ao lado BC, designando por F a intersecção da perpendicular com o lado BC. Traça-se a concóide de Nicomedes definida pela régua GF, pelo polo B e por uma circunferência de raio 2BG e centro sobre a régua.
Seja E a intersecção do ramo da concóide, no lado oposto do polo, com a recta, paralela a BC, que passa por G. Assim, utilizando a concóide de Nicomedes, inserimos o segmento DE, duplo do segmento BG, entre as rectas GF e GE e apontado para o ponto B. Está assim encontrado o ponto E e podemos concluir (tendo em atenção o que foi anteriormente provado, pp. 17 e 18) que o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC. É de realçar que, contrariamente ao que se passa com outras curvas (como por exemplo, a espiral de Arquimedes), em que a mesma curva permite trissectar qualquer ângulo, com uma dada curva concóide só podemos trissectar um determinado ângulo. Isto é, para cada ângulo a trissectar necessitamos de uma concóide adequada pois a construção da concóide depende do polo e da distância previamente definida. Quer isto dizer que, se tivermos uma concóide, é possível ajustar o ângulo a trissectar a um dos dois parâmetros da curva, a distância 2BG ou a posição do polo B (mais propriamente a distância do polo à régua), mas não a ambos simultaneamente. Embora a concóide de Nicomedes permita obter uma solução para o problema da trissecção do ângulo, o nosso problema base continua sem solução, visto que não é possível desenhar a concóide de Nicomedes com apenas régua não graduada e compasso.
1.6 PAPO E AS SOLUÇÕES PELO USO DAS CÓNICAS Papo de Alexandria, matemático e comentador da primeira metade do séc. IV d.C., na sua Colecção Matemática, uma vez mais contribuiu para o nosso conhecimento sobre as actividades dos geómetras gregos, nomeadamente sobre o problema da trissecção do ângulo. Como já vimos, o Livro IV da Colecção Matemática contém propriedades de curvas, como a espiral de Arquimedes e a trissectriz de Hípias, utilizadas na trissecção do ângulo mas, não se fica por aqui. Os gregos, segundo Papo, concebiam curvas de três formas diferentes: como curvas planas descritas como lugar geométrico satisfazendo relações envolvendo rectas e círculos; como intersecções de superfícies no espaço - como as cónicas; e ainda através de descrições cinemáticas ou produzidas por instrumentos mecânicos, como as espirais e a concóide de Nicomedes. Ao apresentar, no livro IV da sua Colecção Matemática, vários métodos (não euclidianos) para trissectar um ângulo, Papo de Alexandria, começa por um prefácio22 sobre os três tipos de problemas geométricos: "Quando os antigos geómetras procuraram dividir um dado ângulo rectilíneo em três ângulos iguais ficaram embaraçados com a tarefa. Nós dizemos que há três classes de problemas em geometria, aqueles que designamos por planos, sólidos e lineares. Como o nome indica, os que podem ser resolvidos apenas por meio de linhas rectas e da circunferência do círculo são chamados planos, porque as linhas pelas quais tais problemas são resolvidos têm a sua origem num plano. E os problemas que assumem na sua solução uma ou mais secções do cone são chamados problemas sólidos, porque fazem uso de superfícies de figuras sólidas na sua construção, particularmente de superfícies cónicas. Resta finalmente a terceira classe de problemas a que chamamos lineares, porque envolvem na sua construção outras linhas além daquelas que acabei de descrever, tendo origens diversas e mais envolventes, derivando de superfícies menos regulares e de movimentos mais complexos. (...). Outras linhas deste tipo são as espirais, as quadratrizes, as concóides e as cissóides. (...). Uma vez que os problemas diferem nesta maneira, os geómetras mais antigos foram incapazes de resolver o problema atrás mencionado relativo ao ângulo, porque ele é de natureza sólida, e procuraram fazê-lo por meios planos, visto que não estavam ainda familiarizados com as secções do cone, e por essa razão ficaram na incerteza. Mais tarde, entretanto, trissectaram o ângulo por meio de cónicas, usando na solução a construção por nêusis descrita abaixo."23 ([P]; em [Ver3], I, pp. 206-210). A primeira solução apresentada por Papo faz uso de uma construção por nêusis, cuja efectivação envolve a intersecção de uma hipérbole com um círculo - proposição24 31 (cf. [P]; em [Ver3], I, pp. 210-212). Na proposição 34, ele resolve o problema directamente, pelo uso de uma hipérbole, de dois modos diferentes. Papo inicia a proposição 35 afirmando que: "Decompor um ângulo ou um arco dado em três partes iguais é um problema sólido, como foi demonstrado anteriormente, enquanto que decompor um ângulo ou um arco dado em uma certa razão é um problema linear, e isto foi demonstrado pelos mais recentes geómetras, e será exposto aqui por nós de duas maneiras." ([P]; em [Ver3], I, p. 222). É nesta proposição (proposição 35) que Papo reproduz os métodos pelo uso da quadratriz de Hípias e pela espiral de Arquimedes. Não sabemos quais são as fontes e os autores dos métodos apresentados por Papo, segundo Wilbur Knorr ([Kn2], pp. 214-215) tal fica a dever-se ao facto de Papo generalizar os conceitos básicos dos métodos que apresenta, embora nenhum desses métodos seja de sua autoria. Knorr ainda aponta algumas luzes sobre a proveniência de tais métodos, nomeadamente tendo em atenção o modo como são utilizadas as construções por nêusis e algumas das propriedades da hipérbole.
Como já referimos, a primeira solução apresentada por Papo faz uso de uma construção por nêusis cuja determinação envolve a intersecção de uma hipérbole com uma circunferência, construção esta exposta na proposição 31 do Livro IV da sua Colecção Matemática. Vamos retomar o assunto da secção 1.2. Recorde-se que provámos que o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC, isto é, que a semi-recta BD trissecta o ângulo ABC.
A questão que posteriormente se colocou era saber como inserir o segmento de recta DE, duplo do segmento BA, entre as rectas FA e AE e apontado para o ponto B. Ou seja, tudo se resume à procura do ponto E. Na construção de Papo, que agora analisamos, este ponto é encontrado pela intersecção de uma hipérbole equilátera com uma circunferência. De facto, segundo Papo, para trissectarmos o ângulo ABC basta proceder do seguinte modo:
Assim, foi encontrado o ponto E, como pretendido. Falta, agora, provar que DE é igual a FP, (e, portanto, a 2AB) o que vamos fazer provando que DEPF é um paralelogramo. Comecemos por analisar o que sabemos pelo facto de P e F serem dois pontos da hipérbole de assímptotas BB´ e B´E.
Tendo em atenção que o ponto P pertence à hipérbole de assímptotas BB´ e B´E, vem que é constante e, do mesmo modo, por o ponto F também pertencer à mesma hipérbole vem que é também a mesma constante 25.
Por outro lado, considerando a chamada decomposição
na
diagonal (Elementos I, 43) do rectângulo BB´EN vem que
1.6.2 AS SOLUÇÕES DIRECTAS PELO USO DA HIPÉRBOLE
Enquanto que no caso anterior a hipérbole era utilizada, não para construir uma solução directa para o problema da trissecção do ângulo, mas sim para a solução de uma construção por nêusis, no presente caso (e de acordo com a proposição 34 da Colecção Matemática) Papo utiliza uma hipérbole, diferente da do caso anterior, para directamente, isto é, sem nenhuma preliminar redução do problema a uma nêusis, resolver o problema da trissecção do ângulo. Ele utiliza a hipérbole de dois modos diferentes26: num usa a propriedade diâmetro-ordenada (como em Apolónio), no outro ele usa a propriedade foco-directriz. ([Th3], p. 1903). Como já referimos, não sabemos a proveniência destes métodos transmitidos por Papo, mas a grande semelhança entre a propriedade usada nesta solução e as usadas por Apolónio faz-nos pensar que, provavelmente, esta solução é devida a este geómetra. Aliás, alguns autores referem esse facto: "No início do século II a.C., Apolónio de Perga propôs outra solução, desta vez usando cónicas. De facto, este problema é um daqueles a que Papo se propôs chamar "problemas sólidos" tendo em atenção que na construção é necessário usar curvas que apenas podem ser definidas num sólido, nomeadamente secções cónicas." [BD], p.93). Vejamos então a primeira solução apresentada por Papo.
De facto, segundo Papo, para trissectarmos o ângulo ABC basta proceder do seguinte modo:
Então, o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC. Antes de provarmos que efectivamente o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC, vamos começar por provar um resultado que será útil no nosso propósito - o ângulo PCA é o dobro do ângulo PAC. Considere-se a hipérbole de eixo transverso AH e eixo
não transverso
Portanto, Logo,
Note-se que
Analogamente temos que
Tendo em atenção (3), (4) e (5) vem que:
Logo,
Na segunda construção, ainda na proposição 34, Papo usa a propriedade foco-directriz da hipérbole. De facto, segundo Papo, para trissectarmos o ângulo ABC basta proceder do seguinte modo:
Então, o ângulo PBC é a terça parte do ângulo ABC. Provemos agora tal facto. Para tal, vamos provar que o arco de circunferência PC é a terça parte do arco de circunferência APC, ou seja, que o arco PC é metade do arco AP. Pelo facto do ponto P estar sobre a hipérbole, sabemos que PC é o dobro de PS (propriedade foco-directriz). Mas agora há que provar que o arco CP é a terça parte do arco AC. Para tal vamos duplicar a figura, por simetria, para o outro lado da recta m, como ilustrado na figura seguinte.
De facto, como PS é perpendicular
à recta m, o prolongamento de PS intersecta a circunferência
num ponto, W, tal que Portanto, Além disso, por simetria, também
Assim, provamos que as duas partes em que o ponto P divide o arco AC são tais que o arco PC é metade do arco AP. Papo contribuiu, assim, directamente para a solução do problema da trissecção do ângulo. No entanto, o problema inicial continuou por resolver tendo em atenção que se procurava uma solução de acordo com a axiomática do primeiro livro dos Elementos de Euclides, e não é possível construir uma hipérbole com régua não graduada e compasso. A Colecção Matemática de Papo de Alexandria foi de grande importância na história das matemáticas, tendo possivelmente sido escrita com o objectivo de expor aos geómetras do seu tempo toda a matemática dos antigos gregos, cobrindo praticamente todos os resultados até aí existentes. Como afirma Fernando Vasconcelos ([V], p. 500): "Papo é o último grande geómetra da antiguidade, dando-se, depois dele, a queda irremediável e sendo necessário que decorressem perto de treze séculos, para que, ao calor vivificante da Renascença, Descartes, descobrindo uma nova via, recuasse os limites da antiga geometria."
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a amplitude do ângulo ABC e 
a
amplitude do
ângulo DBC. Mas, pelo modo como foi construído o ponto E, temos que 
donde 
, logo
, isto é, o ângulo BDC é a terça parte do ângulo ABC. 
.
.
. Ora, 
.
.
.
.
