Os Elementos de Euclides
    

            Esta obra não é a única atribuída a Euclides, mas a sua fama está, sem margem para dúvidas, associada a ela, a qual durante séculos foi a base do ensino da geometria em muitas línguas. Como refere Fernando de Vasconcelos[1]:

    “Mas a sua reputação [de Euclides] é devida principalmente aos seus Elementos que, durante durante vinte séculos, constituíram a base do ensino da geometria, e foram traduzidos e comentados em todas as línguas conhecidas, merecendo de Antigos e Modernos admiração e respeito, pela sua notável forma de construção lógica, em que o autor, partindo dum reduzido número de simples proposições, quase evidentes, chega gradualmente, por demonstrações sempre rigorosas e métodos muitas vezes elegantes e fáceis – mesmos para principiantes – a fazer uma exposição sistemática das principais verdades da geometria elementar (com excepção das secções cónicas) e da teoria dos números”.

 George Allman[2] afirma que através de Proclo sabemos que Euclides, ao compilar os Elementos, organizou muitas das proposições de Eudoxo, completou muito do que fez Teeteto e fez demonstrações irrefutáveis daquilo que os seus antecessores tinham mostrado de uma forma descuidada.
         Os Elementos constam de 13 livros num total de 465 proposições e estão organizados numa dedução lógica dos teoremas, isto é, de um conjunto de princípios iniciais, definições, axiomas e postulados de que derivam todas as outras proposições. Sendo assim, é de admirar o rigor lógico que foi possível atingir naquela época. No entanto, algumas dessas demonstrações não satisfazem as exigências lógicas actuais. Por exemplo, na primeira definição do Livro I podemos ler:
           Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
O termo parte não está definido, bem como grandeza. Na construção do triângulo rectângulo ( cf. Elementos I.1) não temos nenhum postulado de Euclides que permita justificar que as duas circunferências se intersectam de facto no ponto C. Talvez se possa afirmar que Euclides se baseia no figura desenhada para justificar a construção, mas será a existência deste ponto C um facto trivial?

            É necessário ainda esclarecer o que aqui se entende por “Livro”. A escrita na antiga Grécia era feita à mão e em pergaminho donde os Livros correspondem, sensivelmente, aos nossos actuais capítulos. Grosso modo, podemos sintetizar assim o conteúdo dos treze Livros:

Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de paralelogramos, triângulos e quadrados. A proposição quarenta e sete (penúltima) é o conhecidíssimo Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos.

Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou geometria das áreas. Num total de 14 proposições.

Livro III: Consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e tangentes.

Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua inscrição e circunscrição num círculo.

Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo.

Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana.

Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números.

Livro X: Versa sobre as grandezas irracionais. É o Livro mais extenso deste conjunto de treze Livros.

Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional.

Vejamos a estrutura do Livro I:

- Lista de 23 Definições sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, recta, círculo, triângulo, ângulo, etc;

- 5 Proposições geométricas específicas designadas de postulados;

- 5 Noções comuns ou axiomas que são proposições supostamente de conhecimento geral e universalmente aceites;

- Lista de 48 proposições com demonstração.

            O manuscrito original da obra de Euclides não chegou até à nossa era, o mesmo acontecendo com a generalidade dos textos gregos deste período (anterior ao séc. III a.C.). Quer isto dizer que as versões que chegaram até nós são edições traduzidas nas quais podem surgir alterações, pois muitas vezes são cópias de cópias de cópias, … .

            “No século XIX, analisando e comparando entre si diferentes edições, foi possível ao historiador e filósofo dinamarquês J. L. Heiberg apresentar uma reconstituição credível do original grego do tratado de Euclides.”[3]

            Entre nós é muito conhecida a versão (comentada) inglesa de Sir Thomas L. Heath[4] que utilizou para o seu trabalho o texto de Heiberg. Uma versão[5] da Dover Books pode ser presentemente adquirida em “algumas” livrarias em Portugal ou na Amazon (www.amazom.com). 

         Uma especial referência à tradução portuguesa de alguns dos livros (dos seis primeiros, décimo primeiro e décimo segundo) da responsabilidade da Real Imprensa da Universidade de Coimbra (1768). Podemos aceder a uma versão digital do Livro I em:
                             http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html.
    
       No entanto, a versão on-line mais visitada (em Inglês) será, devido ao facto de permitir interactividade, a de David Joyce, que podemos aceder a partir do endereço:
                             http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html .    

José Miguel Sousa
26-02-2004

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