Texto 7  

 

Construções com Régua e Compasso

  

    

 
 

      "Os jogos antigos são os melhores jogos. Um dos mais antigos são as construções geométricas. Como Platão especificou, o jogo é executado com uma régua e um compasso, onde a régua é apenas usada para desenhar a recta que passa por dois pontos dados e o compasso é usado unicamente para desenhar um círculo de centro dado e que passa por um determinado ponto."
[1] 

      

       Ao falarmos em construções com régua não graduada e compasso estamos a referir-nos aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides. Estes postulados são a base destas construções, muitas vezes designadas por construções euclidianas. Nos Elementos de Euclides não se menciona o compasso ou quaisquer outros instrumentos, Euclides simplesmente assume que linhas rectas podem ser construídas dados dois pontos, e que uma circunferência pode ser construída dado o seu centro e passando por um outro ponto. A régua não tem propriedades métricas e o compasso é de pontas "caídas" (contrariamente ao nosso "compasso moderno" que é de pontas fixas[2]) e assim a possibilidade de transposição de comprimentos é, obrigatoriamente, assegurada por Elementos I, 2.
      Para os geómetras gregos, um problema resolúvel com régua não graduada e compasso era um problema cuja solução passava por construir os elementos desconhecidos, utilizando apenas a régua não graduada e o compasso, a partir dos elementos geométricos conhecidos. O que significa, executar construções que se possam fundamentar nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides.
      Nesta obra de Euclides podemos encontrar vários problemas de construções geométricas, cujas soluções podem ser obtidas com o uso exclusivo da régua não graduada e do compasso e a maioria dessas construções geométricas, embora não sejam da matemática elementar, fazem apelo a métodos geométricos simples. Efectivamente, muitas das proposições têm a forma de um enunciado de um problema de construção geométrica.
     Parece que os geómetras gregos davam grande atenção ao processo pelo qual era possível encontrar uma solução para um problema geométrico. Papo de Alexandria, matemático e comentador da primeira metade do séc. IV d.C., na sua Colecção Matemática classificou os problemas geométricos em três tipos, atendendo aos meios pelos quais é possível construir uma sua solução[3].


          Seguidamente podemos encontrar alguns exemplos de construções com régua não graduada e compasso. Estamos assim perante um jogo - o jogo euclidiano das construções geométricas - em que previamente (como em qualquer jogo) foram estabelecidas as regras. Neste caso, temos como regra: os instrumentos permitidos para jogar são a régua não graduada e o compasso euclidiano.

      Vejamos como efectuar, com a utilização, apenas, da régua não graduada e do compasso as quatro operações fundamentais mais a extracção da raiz quadrada.

    Sejam dois segmentos de recta que têm como medida de comprimento respectivamente os números a e b, dada uma unidade de comprimento previamente escolhida. Se conseguirmos construir um segmento que (nessa mesma unidade) tenha como medida de comprimento a soma, a diferença, o produto e o quociente desses dois números a e b, e um segmento que tenha como medida de comprimento a raiz quadrada da medida de comprimento do segmento escolhido, então fundamentamos o nosso propósito. 

      Consideremos a seguinte unidade de comprimento e os segmentos e .

     Construir os segmentos de medidas de comprimento AB+CD, AB-CD, , AB/CD e é um processo simples e de justificação directa, no campo da geometria elementar, como se ilustra a seguir: 

i) AB+CD

    Tracemos uma linha recta e nela construamos - por Elementos I, 2 - um segmento congruente com AB. Pretendemos construir, sobre a mesma recta, um segmento congruente com o segmento CD e de modo a que B coincida com C. Construamos uma circunferência com centro em B e raio CD, que vai intersectar a recta nos pontos D e E. Um destes dois pontos, digamos D, é tal que B está entre A e D. Portanto, está construído, apenas com régua não graduada e compasso, o segmento AD, ou seja, AB+CD. 

 

ii) AB-CD

    A construção do segmento AB-CD é análoga à anterior, com certo cuidado na escolha dos segmentos AB e CD. Tente elaborar essa construção.

 

iii)

    Sobre uma linha recta marquemos o segmento de comprimento AB. A partir de A construamos uma semi-recta onde marcamos a unidade e, seguidamente, o segmento de comprimento CD. Unamos o ponto C com o ponto B (segmento verde na figura seguinte). Construamos uma paralela a este segmento passando por D (a azul na figura); assim construímos o segmento de comprimento . A justificação deste facto deve-se à aplicação directa de Elementos VI, 2 ao triângulo cujos vértices são os pontos assinalados a vermelho[4] .

 

 


iv) AB/CD

Construamos o segmento AB/CD, de modo análogo ao caso anterior, como ilustra a figura: 

 

  


v)

Quanto à construção de um segmento cuja medida de comprimento seja , basta ter em atenção o esquema exemplificado na figura seguinte[5].

 

     

 

[1] Martin, G. – Geometric Constructions, Springer-Verlag, New York, 1998, p. 9.

[2] À primeira vista podia supor-se que o "compasso moderno" fosse mais poderoso que o "compasso euclidiano", mas é curioso que este dois instrumentos sejam equivalentes, como refere Howard Eves (Eves, H.  – Introdução à História da Matemática, Editora da Unicamp, São Paulo, 1997, p. 134.
    Refira-se, a titulo de curiosidade, que o matemático italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800) provou que as construções com compasso são tão poderosas como as construções com régua e compasso (cf. em Mascheroni, L. – Geometrie du Compas, Albert Blanchard, Paris, 1980). A primeira questão que coloca é como traçar rectas com o compasso? Nas construções feitas com o compasso aceita-se que um recta é "conhecida" quando forem "conhecidos" dois dos seus pontos. Por outro lado, o matemático suíço Jacob Steiner (1796-1863) mostrou que as construções com régua (mas exigindo que no plano de desenho exista um círculo com centro e raio fixos) são tão eficazes como as construções com régua e compasso.

[3]Os que podem ser resolvidos apenas por meio de linhas rectas e circunferências são designados por planos, visto que as curvas referidas têm a sua origem num plano; os que envolvem na sua resolução superfícies cónicas, são chamados problemas sólidos, porque fazem uso de superfícies de figuras sólidas; os que envolvem, na sua construção, curvas que se obtêm de superfícies menos regulares e de movimentos mais complexos são os lineares.

[4] Repare-se que a construção do segmento, não é mais do que a construção do quarto proporcional dos segmentos de recta: unidade, AB e CD - Elementos VI,12.

[5] Trata-se da construção do meio proporcional entre os segmentos de recta: unidade e AB - Elementos VI, 13.

 
 

José Miguel Sousa
Data da última actualização: 13-10-2005