Trabalho 3   

Parte A 

Ficha de trabalho com a trissecção do ângulo(1)

 

    Considere-se um ângulo agudo com vértice B e, por um ponto A dum dos seus lados, tracem-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado; seja C o ponto de intersecção do segundo lado com a recta perpendicular. Insira-se um segmento de recta DE, de comprimento duplo do de AB, entre essas duas rectas, de tal modo que o ponto B esteja no prolongamento de DE. Seja H o ponto médio de DE.

 

 

 

 

   

a)      Enuncie o 5° postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides.

    Se uma linha recta incidir em duas linhas rectas e fizer os ângulos internos do mesmo lado menores que dois ângulos rectos, então as duas linhas rectas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos menores do que dois ângulos rectos.

  b)      Com base neste enunciado, mostre que os ângulos CBD e AED são iguais.

     Suponhamos que os ângulos CBD e AED são diferentes sendo

CBD  <  AED.

      Então a soma dos ângulos FEB e CBD é menor do que a soma dos ângulos FEB e AED, ou seja, a soma dos ângulos FEB e CBD é inferior a dois ângulos rectos. Pelo 5º postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides, como linha recta EB determina ângulos internos do mesmo lado CBD e FEB inferiores a dois ângulos rectos, então as linhas rectas AE e BC, se prolongadas indefinidamente,  intersectam-se, o que contraria o facto de AE ser paralela a BC, por construção.

c)      Enuncie o teorema que permite concluir que o segmento de recta HA é igual aos segmentos de recta HD, HE e AB. A que matemático da antiga Grécia é usualmente associada a descoberta deste resultado?

    O  Teorema que se enuncia a seguir está associado ao matemático Tales.

Teorema: Um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo recto e vice-versa.

    Visto que o ângulo DAE é recto (por construção), podemos inscrevê-lo num semicírculo de diâmetro DE. Assim, conclui-se que os segmentos de recta HA, HD, HE são raios do semicírculo e portanto são iguais. E como, por construção, o comprimento do segmento de recta  DE é o dobro do comprimento do segmento de recta  AB, então o comprimento de AB é igual ao raio.

d)      Enuncie o teorema que permite concluir que ABH = AHB e que HAE = HEA.

    O resultado que permite concluir que <ABH = <AHB e <HAE = <HEA é a proposição 5 do livro I de Euclides.

Elementos I.5 : Num triângulo a lados iguais opõem-se ângulos iguais.

    Uma vez que os segmentos de recta HE e HA são iguais, o triângulo AHE é isósceles e, portanto, por Elementos I.5. os ângulos HEA e HAE são iguais. Do mesmo modo, uma vez que AB e AH são iguais, o triângulo ABH é isósceles e, portanto, os ângulos  ABH e AHB são iguais.

e)      Conclua que DBC é a terça parte de ABC.

 Da alínea d) sabemos que os ângulos 

ABH = AHB 

e como o ângulo AHB é um ângulo externo do triângulo AHE então, por Elementos I.32., conclui-se que 

AHB = EAH  + AEH. 

Por outro lado, como  HAE =  HEA, tem-se

  AHB = 2 HEA  

e como 

ABH = AHB, 

conclui-se que

  ABH = 2HEA.

Uma vez que 

DBC = HEA, 

então, 

     DBC = 1/2 ABH .

    E portanto,  DBC é a terça parte de ABC.

 

Parte B

    Na minha opinião esta ficha (sem qualquer alteração) poderá ser utilizada como uma actividade do capítulo: semelhança de triângulos, do programa do 8ºano de escolaridade, desde que o professor oriente e acompanhe devidamente o aluno na sua resolução.  
     Na resolução da ficha o professor poderá encaminhar o aluno na construção de uma nova curva, a concóide, através da marcação de pontos que satisfaçam determinadas condições e tendo em atenção a definição de concóide. 

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