No texto 4 - Matemática na Grécia Antiga - o nosso formador escreveu: "O raciocínio matemático dos gregos baseava-se, quase unicamente, nas formas e figuras geométricas. Um segmento de recta representava também o seu próprio comprimento; o produto de dois segmentos de recta representava uma área rectangular; o produto de três segmentos de recta representava um volume paralelepipédico. Isto é, efectuavam as operações aritméticas através das construções geométricas, por exemplo, se x e y representavam dois segmentos, então xy era a área do rectângulo de lados x e y."  Assim, visto que os matemáticos na Grécia Antiga utilizavam figuras geométricas simples e as respectivas áreas, é  costume falar-se na Álgebra Geométrica dos Gregos."

No meu Trabalho 1 eu afirmei: "Devemos ter em mente que o significado grego para medir uma área ou um volume, não significava associar um número a algum comprimento ou superfície ou volume, mas apenas comparar figuras planas com outras figuras planas ou sólidos com sólidos, ou seja, comparar grandezas da mesma natureza, mostrar a igualdade delas ou achar a razão entre elas."

Tendo presentes as palavras de Iran Abreu Mendes (O Uso da História no Ensino da Matemática, Reflexões Teóricas e experiências – Belém: UDUEPA, 2001): "há a mais íntima  conexão entre a matemática e a sua história, o que serve para explicar o facto de serem ou terem sido os matemáticos profissionais os mais importantes historiadores da matemática – aqui citando Bicudo – esta relação vai conduzir-nos ao entendimento da relação entre a matemática e a história assim como da utilidade da história para a matemática, pois, como sabemos, a fonte de novas descobertas na matemática esteve pautada, muitas vezes, nos problemas e soluções apresentados no passado. Isto nos faz pensar acerca das diferentes formas de apresentação e demonstração de vários teoremas e postulados matemáticos fornecidos por fontes históricas e que podem levar-nos a novas elaborações."

Estamos a tentar  perceber como é que a história da matemática pode ser utilizada no ensino da matemática?

Segundo, ainda Iran Abreu Mendes – na mesma obra – "esta questão constitui-se no objecto principal do nosso estudo visto que a investigação histórica como (uma) alternativa metodológica para o ensino de matemática começa a despertar interesse nos educadores matemáticos preocupados com o processo de construção do conhecimento a partir da utilização da história como recurso para tal. É importante, entretanto, procurarmos estabelecer um paradigma que subsidie esse processo de utilização da história, de modo a que façamos uso do mesmo durante a elaboração e utilização de actividades de ensino de matemática apoiadas no seu conhecimento histórico."

Ora, é com o pressuposto que referi, que vou elaborar uma "tarefa" a ser utilizada na sala de aula que permita contextualizar o desenvolvimento do quadrado de uma soma:

 nos Elementos de Euclides e também no ambiente histórico que o rodeou.

Começando por referir que é a proposição 4 do Livro II dos Elementos de Euclides, é a que trata o quadrado do binómio a+b, e que traduzindo à letra será:

"Se uma linha recta é dividida ao acaso em duas partes, então o quadrado sobre a recta toda é igual à soma dos quadrados sobre as partes juntamente com o dobro do rectângulo contido pelas partes."

E que em linguagem corrente pode ser escrita como:

Se dividirmos, ao acaso, um segmento de recta [AB] em duas partes, ou seja, em dois segmentos de recta [AC] e [CB], então o quadrado da medida do comprimento do segmento de recta [AB] é igual à soma dos quadrados das medidas dos segmentos de recta [AC] e [CB] com o dobro do produto da medida do comprimento do segmento de recta [AC] pela medida do comprimento do segmento de recta [CB].

Mais simplesmente, se considerarmos que a medida do comprimento do segmento de recta [AB] é a+b e que a medida do comprimento dos segementos de recta [AC] e [CB] é respectivamente a e b, então o que a referida proposição diz é que:

Podemos observar este facto "brincando" com a aplicação que se segue, arrastando o ponto C ou dando animação. (Ficheiro em sketchpad versão 4.03).

Depois de um trabalho de introdução com a tradução para linguagem corrente da proposição 4 do Livro II dos Elementos de Euclides sugiro o trabalho com o geoplano na sala de aula. E porque, por um lado, cada turma é uma turma e cada professor é um professor e por outro, como escreve o Arsélio Martins, "os professores só podem transferir para as suas salas de aula, procedimentos e protocolos que possam entender e enfrentar com à vontade perante os estudantes", fica à consideração de cada um a construção de tarefas e o desenvolvimento de estratégias a levar para a sua sala de aula.

Como referi, o geoplano será uma boa ferramenta de trabalho, como podemos ver no exemplo que se segue:

O qual foi obtido, "brincando", com o geoplano electrónico disponibilizado graças à página dos Standards - NCTM.

Joaquim Pinto