Formanda: Maria Joaquina Rodrigues

Trabalho Final

Introdução

Durante cerca de dois mil anos, desde a antiga Grécia, três problemas foram desafiando o “engenho” de matemáticos de todos os pontos do mundo:

• o problema da trissecção de um ângulo qualquer (dividir um ângulo em três partes iguais)
• o problema da duplicação do cubo ( construir um cubo cujo volume seja duplo do de um cubo dado)
• o problema da quadratura do círculo ( construir um quadrado com área igual a um círculo dado).

A dificuldade de resolução destes problemas reside nas regras do “jogo” das construções – só se pode usar a régua não graduada e o compasso.

Sem essas regras, várias soluções foram encontradas e, nessa procura novos campos da matemática foram surgindo e desenvolvendo.

Sobre a impossibilidade de resolução

Só em 1837, por Wantzel, foi provado que, segundo as regras euclideanas, era impossível encontrar solução para o problema da trissecção e da quadratura do círculo. A impossibilidade do problema da duplicação do cubo provou-se em 1882 por Lindemann. Apesar disso, ainda hoje, muita gente pensa que descobríu a solução,pois esquece-se das condições de partida, os instrumentos permitidos.

A impossibilidade traduz-se no seguinte facto:

- as quantidades que se podem obter com régua e compasso são também as que se obtêm usando a adição, subtracção, multiplicação, divisão e extracção de raiz quadrada, estes são os números euclideanos, podem imaginar-se como números obtidos quando se resolve uma equação do 1º. ou 2º. graus.Mas a resolução destes problemas requer raízes cúbicas e o pi.

Ou seja, temos uma equação, achamos a raíz, se ela não for construível não é um número euclideano, nem a raíz cúbica nem o pi o são. ( A raíz de uma equação é construível com régua não graduada e compasso se for possível construir com esses instrumentos um segmento com comprimento igual a essa raíz.).

Ora, este quadro de raciocínio não era acessível aos gregos, pois havia uma separação irremediável entre geometria e aritmética ,só o desenvolvimento da geometia analítica e da álgebra geométrica com Descartes veio abrir espaço para estas conclusões.

Trissecção do ângulo

A trissecção do ângulo com régua não graduada e compasso é equivalente à resolução de uma equação cúbica do tipo x3-3x-2b=0 em que para certos valores de b, a raíz não é construível, não é um número euclideano, concluindo: se há valores para os quais isso acontece,há ângulos para os quais a trissecção não é possível, então não é possível trissectar, dentro das premissas definidas.( Papo teria já previsto esta impossibilidade ao referir que os geómetras procuravam resolver problemas sólidos por meios planos.).

Claro que não respeitando as regras foi possível encontrar soluções para o problema, e neste percurso apareceram curvas desconhecidas que podiam ser usadas para trissectar qualquer ângulo, nomeadamente:

§ A concóide de Nicomedes – na redução ao problema de construção de nêusis

§ A espiral deArquimedes

§ A trissectriz de Hippias

§ A s cónicas e hipérbole de Papo

Proposta de Actividade: Trissectar um ângulo com uma régua marcada

(Arquimedes)

É impossível trissectar um ângulo com uma régua não graduada e compasso, mas vais ver como é fácil com uma pequena alteração – apenas fazendo duas marcas numa régua!

1. Constrói um ângulo ABC

2. Constrói uma paralela a BC no ponto A

3. Com o compasso constrói o círculo de centro A e raio AB

4. Marca na régua a distância entre o ponto A e o ponto B,com dois traços.

5.Fixa uma extremidade da régua no ponto B e traça uma recta tal que:

- seja D o seu ponto de intersecção com a linha que traçaste em (2)

- seja E o seu ponto de intersecção com o círculo traçado em (3)

- move a régua até que BD satisfaça a condição AB=ED, ajustando para tal a régua

até que o ponto E e o ponto D coincidam com as marcas que fizeste na régua

6. O ângulo ABC está trissectado e a sua terça parte é o ângulo DBC.

Vamos agora mostrar que é verdade:

Chamemos, para simplificar ao ângulo DBC ângulo a

1. Como AD // BC, o ADB = a porque________________________________

2. Como AE = DE porque_________________________________________________

então o EAD = a porque________________________________________

3.O AEB = 2 a porque _____________________________________________

4.Como AB = AE porque_________________________________________________

então o ABE = 2 a porque_________________________________________

5. Conclusão:

se o + =

e o

e o

então é a terça parte do como queriamos demonstrar.

Observações

Optei por esta actividade simples,por um lado, porque me pareceu possível de desenvolver ao nível das competências do ensino básico no qual estou inserida, e por outro, também mais de acordo com as minhas disponibilidades neste momento quer de conhecimentos quer de instrumentos necessários.

A actividade proposta foi adaptada de um texto em http://www.geom.umn.edu/docs/forum/angtri do Geometry Forum Articles.

Para o restante trabalho usei o material fornecido pelo formador e consultei

- História das matemáticas na antiguidade, de Fernando Vasconcelos,ed Aillaud e

Bertrand,1925

- História da matemática, de Maria Fernanda Estrada e outors,Univ. Aberta,2000