Trabalho 3 

 No trabalho 2 foi proposto que os participantes construíssem uma actividade a partir de um conteúdo programático especifico. No  presente trabalho, a actividade já está elaborada⁽¹⁾ e pretende-se discutir a sua resolução e pertinência.

A) Resolva a ficha - Ficha de trabalho com a trissecção do ângulo.

B) A curva concóide de Nicomedes não faz parte dos actuais programas de matemática do ensino básico, secundário ou superior (na generalidade dos cursos?). No entanto, supondo que a curva em causa seria integrada num futuro programa de matemática, pronuncie-se sobre os seguintes aspectos:
 - A ficha poderá ser uma actividade com alunos em sala de aula?
 - A ficha poderá servir de motivação para o estudo da concóide?
 - Para que níveis de ensino? Que alterações faria na ficha? etc.
 - ...

     Deverá publicar, na zona de trabalhos, tanto a parte A como a parte B deste trabalho.

Ficha de trabalho com a trissecção do ângulo⁽¹⁾

Considere-se um ângulo agudo com vértice B e, por um ponto A dum dos seus lados, tracem-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado; seja C o ponto de intersecção do segundo lado com a recta perpendicular. Insira-se um segmento de recta DE, de comprimento duplo do de AB, entre essas duas rectas, de tal modo que o ponto B esteja no prolongamento de DE. Seja H o ponto médio de DE.

a) Enuncie o 5° postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides.

Se uma linha recta incidir em duas linhas rectas e fizer os ângulos internos do mesmo lado com soma inferior a dois ângulos rectos, então as duas linhas rectas, se prolongadas indefenidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos menores que dois rectos.

b) Com base neste enunciado, mostre que os ângulos CBD e AED são iguais.

Como as rectas AE e BC são paralelas e AC é perpendicular a ambas ( por construção) então o CBD é igual ao AED porque são ângulos alternos internos de acordo com I.29 :

c) Enuncie o teorema que permite concluir que o segmento de recta HA é igual aos segmentos de recta HD, HE e AB. A que matemático da antiga Grécia é usualmente associada a descoberta deste resultado?

Por construção o DAE é recto então pode-se inscrever num semicirculo de diâmetro DE e centro no ponto H. Resulta que os segmentos HA=HD=HE por serem todos raios. Como por construção DE é o dobro de AB, então AB também é igual aos raios.

Foi Nicomedes que reduziu o problema da trissecção de um ângulo a um problema de construção por nêusis. O problema era descobrir o ponto E de tal modo que um segmento de recta fosse inserido entre as rectas AE e BC (DE) com comprimento duplo de AB e apontando para B.

d) Enuncie o teorema que permite concluir que ABH = AHB e que HAE = HEA.

Se os dois lados de um triângulo forem iguais os ângulos opostos aos lados iguais também são iguais.

e) Conclua que DBC é a terça parte de ABC.

AEH=HAE e AEH=DBC

ABD=AHD e AHD = AEH + HAE

AHD=2XAEH =ABD mas AEH=DBC então ABD=2XDBC logo conclui-

se que DBC é a terça parte de ABC