Trabalho 2 

 No texto 4 - Matemática na Grécia Antiga - escrevi: "O raciocínio matemático dos gregos baseava-se, quase unicamente, nas formas e figuras geométricas. Um segmento de recta representava também o seu próprio comprimento; o produto de dois segmentos de recta representava uma área rectangular; o produto de três segmentos de recta representava um volume paralelepipédico. Isto é, efectuavam as operações aritméticas através das construções geométricas, por exemplo, se x e y representavam dois segmentos, então xy era a área do rectângulo de lados x e y."  Assim, visto que os matemáticos na Grécia Antiga utilizavam figuras geométricas simples e as respectivas áreas, é  costume falar-se na Álgebra Geométrica dos Gregos. 

     No programa de Matemática para o 8º ano do ensino básico, um dos conteúdos do tema equações refere-se aos casos notáveis da multiplicação de binómios.   Em alguns manuais escolares encontramos uma apenas uma "interpretação geométrica destes resultados", isto é, uma "imagem" de um resultado algébrico.
     É usual ouvirmos os professores de matemática, a leccionar turmas do ensino secundário, dizerem: "os meus alunos não sabem os casos notáveis da multiplicação".
     Será que a História da Matemática (álgebra geométrica dos gregos) não poderá contribuir para um melhor ensino/aprendizagem destes conteúdos?

     Considere o caso específico do desenvolvimento do quadrado de uma soma:

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i) Procure nos Elementos de Elucides a proposição que lhe corresponde;

    ii) Será possível leccionar este conteúdo à luz da História da Matemática? Se sim (eu acredito que sim!), elabore uma actividade para desenvolver, na sala de aula, com alunos aquando da leccionação do conteúdo acima especificado. Não se esqueça que o "pano de fundo" deverá ser a História da Matemática.

Resolução do trabalho 2

Introdução

Como se lê no enunciado do trabalho “ o raciocínio matemático dos gregos baseava-se, quase unicamente, nas formas e figuras geométricas”. “Efectuavam as operações aritmeticas através de construções geométricas´, por exemplo, se x e y representavam dois segmentos então xy era a área do rectângulo de lados x e y.

Assim,utilizando os chamados instrumentos euclideanos – régua não graduada e compasso – era possível achar a soma, o produto,o quociente e a raíz quadrada de segmentos e os números obtidos através destas operações seriam os números euclideanos. Os números eram a base do universo, tudo podia ser contado assim como os comprimentos, a unidade não podia ser subdividida e por isso o 1 não era considerado um número.

Então devia existir uma unidade de medida de modo que tanto o lado como a diagonal de um quadrado fossem múltiplos inteiros de um comprimento.

Ora os gregos verificaram que o lado e a diagonal de um quadrado nao têm medida comum, são incomensuráveis.

Desta constação resultou que o estudo da geometria ficasse separado do estudo dos núneros e a álgebra fosse tratada geométricamente. Os números da geometria grega eram os inteiros e os racionais não havia “espaço” para √2, então a geometria não podia ser feita com números.

Este conflito só começa a ser resolvido vários séculos depois com Descartes e Fermat com a Geometria Analítica e ainda mais tarde, no sec. XIX, com a ampliação do conceito de número para os irracionais com Dedekind.

Euclides , os casos notáveis da multiplicação e a História da Matemática

Se lermos a proposição II.4 de Os Elementos podemos encontrar a sugestão do quadrado de uma soma e a maneira de resolver o problema geometricamente:

Se uma linha recta é cortada num ponto qualquer,o quadrado do todo iguala os quadrados dos segmentos mais duas vezes o rectângulo contido (definido) pelos segmentos.

Os conhecimentos em História da Matemática permitem compreender melhor como chegámos aos conhecimentos actuais e porque é importante estudar este ou aquele assunto. Sem a referência histórica as noções ficam sem contexto, não se sabe como apareceu determinado tema , em que circunstâncias, a que situação se pretendeu dar resposta. A matemática fica esvaziada de sentido. E até muitos dos erros que os alunos cometem e das dificuldades com que se deparam no estudo ganham outro aspecto à luz da História permitindo pôr em prática situações de aprendizagem mais adequadas.

É neste sentido que surge a proposta de actividade a seguir indicada.

No fim da tarefa ,quando se entrar na discussão das conclusões dos alunos, poder-se-á projectar um conjunto de transparências que se vão sobrepondo, descrevendo os vários passos até evidenciar a conclusão a que queremos chegar.

Proposta de actividade

Assunto: Casos notáveis da Multiplicação: O quadrado de uma

Soma.

Se fosses um estudante grego da época de Euclides* ( 300 anos ac) nas tuas aulas de Matemática utilizavas dois instrumentos – a régua não graduada e o compasso euclideano e com eles podias traçar linhas e circunferências.

O raciocínio matemático baseava-se em formas e figuras geométricas.

Por exemplo,um segmento de recta a representava também o seu comprimento e o produto de dois segmentos ab representava a área de um rectângulo. Isto é , efectuavas as operações aritméticas através de construções geométricas por isso se chamou Álgebra Geométrica à matemática dos Gregos.

1. Constrói um quadrado de lado 3+5

2. Constrói uma perpendicular ao lado AB a 3cm de A

3. Constrói uma paralela ao lado AB a 3cm de A

4. Ficaste com o quadrado dividido em quatro figuras : dois ______________

e dois ________________ iguais.

5.Calcula a área de cada figura obtida

6. Representa a área total do quadrado [ABCD] em função das secções obtidas

( 3 + 5 )² = ______________________

a b

7. Podes agora generalizar para um quadrado de lado a + b

Conclusão:

*Euclides terá recolhido, organizado e completado o conhecimento matemático disponível na sua época na obra chamada Os Elementos, constituída por treze livros.