TRABALHO Nº 3

PARTE A

Ficha de trabalho com a trissecção do ângulo

            Considere-se um ângulo agudo com vértice B e, por um ponto A dum dos seus lados, tracem-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado; seja C o ponto de intersecção do segundo lado com a recta perpendicular. Insira-se um segmento de recta DE, de comprimento duplo do de AB, entre essas duas rectas, de tal modo que o ponto B esteja no prolongamento de DE. Seja H o ponto médio de DE.

a)      Enuncie o 5° postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides.

  "Se uma linha recta incidir em duas linhas rectas e fizer os ângulos internos do mesmo lado com soma inferior a dois ângulos rectos, então as duas linhas rectas, quando prolongadas indefinidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos menores que dois rectos."

b)      Com base neste enunciado, mostre que os ângulos CBD e AED  são iguais.

  As rectas AE e BC são paralelas  e AC é perpendicular a ambas ( por construção) então o ângulo CBD é igual ao ângulo AED, pois são ângulos alternos internos.

c)      Enuncie o teorema que permite concluir que o segmento de recta HA é igual aos segmentos de recta HD, HE e AB. 

Teorema: Um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo recto            e vice-versa.

A que matemático da antiga Grécia é usualmente associada a descoberta deste resultado?

  Resposta: A descoberta está associada a Tales

d)      Enuncie o teorema que permite concluir que ABH = AHB e que HAE = HEA.

e)      Conclua que DBC é a terça parte de ABC.

   Resolução:

ABH = AHB, como o ângulo AHB é um ângulo externo do triângulo AHE

AHB = EAH  + AEH. 

como  HAE =  HEA,   AHB = 2 HEA ,  ABH = AHB,   ABH = 2HEA, DBC = HEA, 

     DBC = 1/2 ABH .

    E assim,  DBC é a terça parte de ABC.

  PARTE B

A curva concóide de Nicomedes não faz parte dos actuais programas de matemática do ensino básico, secundário ou superior (na generalidade dos cursos?). No entanto, supondo que a curva em causa seria integrada num futuro programa de matemática, pronuncie-se sobre os seguintes aspectos:
 - A ficha poderá ser uma actividade com alunos em sala de aula?
 - A ficha poderá servir de motivação para o estudo da concóide?
 - Para que níveis de ensino? Que alterações faria na ficha? etc.
 - ...

  Resolução:

 Julgo que parte da ficha poderá ser colocada como actividade a partir do 7º ano, na Unidade Geometria, subunidade: ângulos.

  As alterações que faria talvez fossem a nível de apresentação e condução da sua resolução.

 Se a colocasse como actividade em anos posteriores, não faria alterações.