Enunciado do Trabalho

 

Estude as três primeiras proposições do Livro I dos Elementos de Euclides, incluindo as respectivas demonstrações, com especial atenção ao "encadeamento lógico" das afirmações de Euclides.

 

Começando por se referir à vida, obras e influência de Euclides no panorama Matemático, sem esquecer de mencionar as fontes de Euclides ao escrever os seus Elementos, elabore um pequeno texto onde deverá enunciar a proposição 1 do Livro I dos Elementos de Euclides.
     No contexto dos Elementos de Euclides efectue a demonstração desta proposição, justificando o raciocínio utilizado com as definições, postulados e axiomas envolvidos.
      Finalmente, enuncie a proposição em causa utilizando agora uma "linguagem" actual.

 

 

 

LIVRO I. DOS ELEMENTOS
DE
EUCLIDES

 

POSTULADOS.

  1. Pede-se como cousa possivel, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta.
  2. E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessario.
  3. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um circulo.

 

AXIOMAS.

  1. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si.
  2. Se a cousas eguaes se junctarem outras eguaes, os todos serão iguaes.
  3. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
  4. E, se a cousas deseguaes se ajunctarem outras eguaes, os todos serão deseguaes.
  5. E, se de cousas deseguaes se tirarem cousas eguaes, os restos serão deseguaes.
  6. As quantidades, das quaes cada uma por si faz o dobro de outra quantidade, são eguaes.
  7. E aquellas, que são ametades de uma mesma quantidade, são tambem eguaes.
  8. Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra, são eguaes.
  9. O todo é maior do que qualquer das suas partes.
  10. Duas linhas rectas não comprehendem espaço.
  11. Todos os angulos rectos são eguaes.
  12. E se uma linha recta, encontrando-se com outras duas rectas, fizer os angulos internos da mesma parte menores que dous rectos, estas duas rectas, produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos dictos angulos internos. ( Veja-se a nota sobre a Proposição29 do Livro I. ).

Estes sinaes = , > , < , de que os Mathematicos usam frequentemente, servem para maior brevidade.

O sinal = significa, que o primeiro termo é egual ao segundo.

> Que o primeiro termo é maior que o segundo.

< Que o primeiro termo é menor que o segundo.

 

Assim A=B significa, que A é egual a B.

A>B que A é maior que B.

A<B que A é menor que B.

PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.

Sobre uma linha recta determinada descrever um triangulo equilatero (Fig. 18).


Fig. 18

Seja a linha recta AB de um certo comprimento. Se deve sobre ella descrever um triangulo equilatero.

Com o centro A e com o intervallo AB se descreva ( Post. 3 ) o circulo BCD; e com o centro B e com o intervallo BA se descreva o circulo ACE. Do ponto C, onde os circulos se cortam reciprocamente, se tirem ( Post. 1 ) para os pontos A, B as rectas CA, CB. O triangulo ABC será equilatero. Sendo o ponto A o centro do circulo BCD, será AC=AB ( Definiç. 15 ). E sendo o ponto B o centro do circulo CAE, será BC=BA. Mas temos visto CA=AB. Logo tanto CA, como CB, é egual a AB. Mas as cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si ( Ax. 1 ). Logo será CA=CB. Logo as tres rectas CA, AB, BC são eguaes; e por consequencia o triangulo ABC, feito sobre a recta dada AB, é equilatero

 

Trabalho e sua Resolução


Acerca de Euclides pouco se sabe.
Sabe-se que viveu em Bizâncio entre os anos de 485 A.C. a 410 A.C.

Nesse tempo, O sábio Ptolomeu I, sucedia a Alexandre Magno no trono do Egipto.

 Sob os seus cuidados, surgiu em Alexandria uma instituição, denominada “ Museu “, que congregava a maioria dos sábios da época.

 O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências residenciais, salas de aula e de conferências, e o que é mais importante – a maior biblioteca da época.

 Euclides foi o primeiro director do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores ( Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).

 Tal organização é uma obra imortal  modestamente intitulada “ Os Elementos “.

 “ Os Elementos” é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.

 O  primeiro livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo, a sua ordenação, serviram de normas directoras para todas as outras obras posteriores da matemática.

Os princípios dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os postulados e os entes primitivos.

 As definições são, no início, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120.

 Adoptando em seguida 10 postulados Euclides deduz os Teoremas.

A partir do dia do seu aparecimento “ Os Elementos” tornou-se a obra clássica da Geometria. Não deixando no entanto de trazer dissabores para o seu autor.

No seu livro existe a Proposição 1 que diz:

“ Sobre uma linha recta dada, construir um triângulo equilátero”

 A sua demonstração pode ser feita tendo em conta as definições e os postulados.

 Assim e a partir da definição 1 , que diz : “Um ponto é o que não tem partes” , a definição 3: “ As extremidades de uma linha são pontos “,  a definição 4 : “Uma linha recta[segmento] é uma linha que assenta igualmente com todos os seus pontos” e a definição 16 : “ E o ponto é chamado o centro do círculo [ e a linha que limita o circulo é uma circunferência, e as linhas rectas que caem nela partindo do centro são os raios]

 Referindo também o postulado 3, que diz: “ Construir um círculo [ uma circunferência] com centro e raio dados.

 Pode-se agora passar à demonstração:

 Considerando a circunferência de raio

 ( postulado 3 ) e a circunferência com centro em B e raio  ( igual a  ), e sendo C um dos pontos de intersecção das duas circunferências, o triângulo DABC é equilátero.

A proposição actualmente enuncia-se da seguinte forma:

“  Dado um segmento , existe um triângulo equilátero com lado “

 

Trabalho realizado por

Ana Cristina Rainha