Trabalho 2

Preâmbulo:

 

Os alunos têm dificuldade em reter e compreender os casos notáveis da multiplicação. O estudo dos Elementos de Euclides, que a formação suscitou, faz pensar que uma das causas poderá ter a ver com o facto de os casos notáveis serem apresentados em visão polinomial quando devia ser posta de forma geométrica e construtiva. Outra razão, talvez mais grave, tem a ver com o facto de a igualdade ser apresentada como uma relação entre bases de quadrados: a ao quadrado mais b ao quadrado mais duas vezes a vezes b terá qualquer coisa a ver com a+b ao quadrado... A questão é posta como um problema de comprimentos de lados de quadrados e de lados de rectângulos, um problema entre segmentos. Pensei esta relação numa geometria a duas dimensões, como uma relação entre áreas de polígonos.

 

 

O trabalho funda-se nos pressupostos:

 

1º.        Dados a e b existe um c :  mas com c < a+b .

                        Garante-o o Teorema de Pitágoras e a desigualdade triangular.

 

2º.        Sendo assim tem de existir x  tal que .

                        Que representa x? O 1º caso notável é solução deste problema.

 

 

 

Fins:

 

1.                              Tratar o 1º Caso notável como consequência da geometria do plano.

2.                              Utilizar a “visibilidade” da geometria para fazer matemática.

3.                              Repor a verdade histórica: os Elementos apresentam aquele caso notável numa visão geométrica, a sua justificação é assim que deve ser apresentada aos alunos. As conclusões algébricas a nível da representação simbólica são posteriores. Se o homem desenvolveu assim este tema, os alunos vão perceber melhor apresentando-o do mesmo modo.

4.                              Aumentar a eficácia no ensino daquele tema do 8º Ano. É falta de humildade pedagógica falar num assunto sem saber como foi que surgiu, contra mim falo.

 

 

 

Objectivos:

 

1.         Compreender o enunciado do 1º Caso notável da multiplicação: O quadrado da soma é a soma dos quadrados mais o dobro do produto das raízes dos quadrados.

2.         Compreender que . O quadrado da soma não é a soma dos quadrados.

3.         Demonstrar o 1º Caso notável da multiplicação:            .

4.         Aplicar o Teorema de Pitágoras.

5.         Decompor figuras planas para resolver problemas.

6.         Desenvolver atitudes heurísticas nos alunos.

 

 

 

Problema 1 (Condições: Resolver recorrendo apenas ao compasso e régua não graduada.)

 

Dados dois quadrados, construir um quadrado igual à soma dos dois:    .

O problema tem sempre uma e uma só solução.

(O problema inverso “Dado um quadrado decompô-lo em dois quadrados” é indeterminado)

 

 

 

 

 

 

 

Resolução do Problema 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifica o Teorema que justifica a igualdade :

 

Justifica as desigualdades:         C > A                          C > B                           C < A + B.

 

 

Problema 2

 

Caracterizar geometricamente a figura x para a qual se tem                    .

(Um problema inverso é “Decompor um quadrado em três quadrados”)

O problema tem sempre solução, mas, a solução não é única.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Resolução do Problema 2:

 

 

 

 

 

 

 

Resolução do Problema 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Resolução do Problema 2:

 

 

 


B2
 
                                                                                                    Solução:

 

Dois rectângulos iguais a

A2
 
 

 

 

 

Com lados A e B.
 
 

 

 


Outras soluções:          

 

                        Um rectângulo de lados A e 2B ou um rectângulo de lados 2A  e B.

 

 

 

 

 

 


                       

 

                                               

Conclusão:                               A2 + B2 + 2 AB = (A+B)2        ou

           

A2 + B2 + (2 A)B = (A+B)2      ou

 

A2 + B2 +  A(2B) = (A+B)2.

 

 

 

Azevedo