Sobre a Proposição I. 1. dos Elementos de Euclides

Índice

Não entre nesta escola se não conhece os Elementos de Euclides. ⁽¹⁾

1. Vida de Euclides

2. Obras de Euclides

3. Fontes de Euclides

4. Proposição 1 do livro I dos Elementos

5. Demonstração da Proposição I. 1.

6. Proposição I. 1. em linguagem de hoje

7. Consultas

1. Vida de Euclides

Pouco se sabe da vida de Euclides. Proclo, Proclus Diadochus (410-485 d. C.) no seu Comentário sobre o Primeiro Livro de Euclides situa-o na época de Ptolomeu I (306-283 a. C.), depois de Platão (427-347 a. C.) mas antes de Arquimedes de Siracusa (287-212 a. C.).

Papo, Pappus de Alexandria (~320 d.C.) ao falar de Apolónio de Perga (~260-~185 a.C.) diz que ele estudou com matemáticos que tinham sido alunos de Euclides em Alexandria.

Parece certo que por volta de 295 a. C. Euclides leccionava na escola de Alexandria onde também foram professores os matemáticos Arquimedes e Apolónio. Em 30 a. C. o Egipto foi conquistado pelos romanos tornando-se colónia deste império.

Depois destes dois homens e embora tivessem sido ainda feitos trabalhos notáveis em Alexandria, a grande época tinha terminado. Sob o domínio romano, os gregos perderam confiança em si mesmos. ... O soldado romano que matou Arquimedes foi o símbolo da morte do pensamento criador de que Roma se tornou culpada para com o mundo helénico”. ⁽²⁾

Num segundo período vão leccionar na escola de Alexandria os matemáticos Héron (~62 d. C.), Menelaus (~100 d. C.), Ptolomeu (Cláudio Ptolomeu, 100-178 d.C.), Diofanto (~250 d. C.), Papo, Theon (~390 d.C.) e Hipatia (~370 –415 d.C.). Com o suplício desta mulher é encerrada a escola de Alexandria. Em 529 d.C. é igualmente encerrada a escola de Atenas por ordem do imperador Justiniano. Em 630d.C. Alexandria foi tomada pelos árabes que em 820 traduzem Euclides.

2. Obras de Euclides

Euclides é famoso pelo livro Elementos. Trata-se talvez da obra mais traduzida no mundo. Composta de 13 livros (capítulos) apresenta a sistematização dos conhecimentos anteriores. Não existe um exemplar contemporâneo de Euclides todas as versões modernas resultam da versão de Theon de Alexandria (600 anos depois de Euclides). Em 1808 encontrou-se na Biblioteca Vaticana uma versão do século X anterior à de Theon. Comparadas apresentam algumas diferenças. O monge inglês Adelardo de Bath (~1075–1160) conseguiu obter em 1120, em Córdova, um exemplar árabe ⁽³⁾ que traduziu para latim em 1142. ⁽⁴⁾ Em Toledo em 1150 foi criada uma escola de tradutores onde trabalharam: João de Sevilha, Domingos Gundisalvi, Gerardo de Cremona (1114 – 1187), este último traduziu os Elementos do árabe. Passados 150 anos uma cópia árabe foi traduzida por Campanus de Novara (1260) para latim. ⁽⁵⁾ Esta obra foi impressa em Veneza em 1482. ⁽⁶⁾ (Figura)

Em 1582 o jesuíta italiano Matteo Ricci chegou a Macau. Era discípulo de Clavius (1538-1612) conhecido por Euclides do século XVI. Inspirado nos Elementos publica em chinês, em 1607, os Elementos de Geometria. A primeira tradução (incompleta com 8 volumes) dos Elementos em português fez-se no tempo do Marquês de Pombal na Universidade de Coimbra em 1774.

Para além dos Elementos Euclides escreveu Data, Phaenomena, Óptica, Livro das divisões. Estas obras estão reunidas na Euclidis opera omnia em 8 volumes & suplemento (1883-1916) de Johan Ludwig Heiberg (1854-1928) editada por J. L. Heiberg e H. Menge.

Outras obras são citadas mas perdeu-se o seu rasto: Cónicas, Porismas, Pseudaria (Livro das Falácias).

3. Fontes de Euclides

A sistematização levada a cabo por Euclides já tinha sido experimentada antes por Hipócrates de Chios (~450 a. C.) ao escrever uns elementos, onde sistematizou as descobertas da escola pitagórica demonstradas a partir de um sistema de premissas iniciais. A seguir Leon de Atenas (~375 a. C.), aluno de Platão, localizado entre Platão e Eudoxo de Cnido (~400-~347 a.C.), fez uma selecção ainda mais cuidada que a de Hipócrates. A Academia de Platão tinha também os seus Elementos escritos por Teúdio de Magnésia (~360 a. C.) e que eram do conhecimento de Euclides uma vez que ali estudou. Este matemático vai reunir com sucesso num livro as grandes descobertas feitas antes: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto de Atenas (~415- ~369 a.C.) a teoria dos cinco sólidos regulares presente na cosmologia de Platão, a teoria da semelhança de Tales de Mileto (626-545), apresentando demonstrações rigorosas para as proposições descobertas pelos seus predecessores.

4. Proposição 1 do Livro I dos Elementos

Os gregos tinham por hábito dividir os princípios em 3 categorias: as definições, com que precisavam o significado dos termos, os postulados, que consistiam num conjunto de princípios relativos à ciência em estudo, e os axiomas, conjunto de noções comuns a todas as ciências. Nos Elementos após as premissas iniciais aparecem as proposições divididas em 2 tipos: os problemas e os teoremas. A proposição I. 1. é precisamente um problema:

Sobre uma linha recta determinada descrever um triângulo equilátero.

5. Demonstração da Proposição I. 1.

“Seja a linha recta AB de um certo comprimento. Se deve sobre ela descrever um triângulo equilátero.

Com o centro A e com intervalo AB se descreva (Postulado 3) o circulo BCD; e com centro B e com intervalo BA se descreva o círculo ACE. Do ponto C, onde os círculos se cortam reciprocamente, ⁽⁷⁾ se tirem (Postulado 1) para os pontos A, B as rectas CA, CB. O triângulo ABC será equilátero. Sendo o ponto A o centro do círculo BCD, será AC = AB (Definição 15). E sendo o ponto B o centro do circulo CAE, será BC = BA. Mas temos visto CA = CB. Logo tanto CA, como CB, é igual a AB. Mas as cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si (Axioma 1). Logo será CA = CB. Logo as três rectas CA, AB, BC são iguais; e por consequência o triângulo ABC, feito sobre a recta dada AB, é equilátero”. ⁽⁸⁾

6. Proposição I. 1. em linguagem actual

Dado o segmento de recta construir um triângulo equilátero .

7. Consultas

Endereços: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/alexandria.html

Livros: A Matemática na Antiguidade. Colecção Leituras em Matemática, volume I.

José Sebastião e Silva. Ed. Sociedade Portuguesa de Matemática. Lisboa. 2000.

António Pimenta Azevedo

Historia concisa das Matemáticas. Dirk J. Struik. Ed. Gradiva. Lisboa. 1989.

(1) – Frase que os gregos colocavam às portas das escolas segundo lenda árabe.

(2) – História da Filosofia Ocidental. Bertrand Russell. 1946. (citado por J. Sebastião e Silva. Op. cit. p. 108.)

(3) – A Short Account of the History of Mathematics. W. Rouse Ball. Dover Publications. New York.1960. p. 165.

(4) – Historia da Matemática. Carl Boyer. Editora Edgard Blücher. São Paulo. Brasil. 1991. p. 183

(5) – Introdução à História da Matemática. Howard Eves. Editora Unicamp. Campinas. Brasil. 1995. p. 168.

(6) – Historia de los números. Manuel Sotelo. Ed. Algoritmo. Caracas. Venezuela. 1987.

(7) – Leibniz diz que Euclides utilizou a intuição geométrica ao admitir que os círculos se cortam. Eléments d´Histoire des Mathématiques. Nicolas Bourbaki. Ed. Herman. Paris. 1969. p. 28.

(8) – Demonstração presente na tradução portuguesa de 1774.