Texto 9  

    Sejam, de acordo com a figura seguinte, BA e BC os lados que determinam o ângulo ABC  que pretendemos trissectar.  
    Pelo ponto A dum dos lados, tiram-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado. O segmento DE é inserido entre estas duas rectas de modo a que o seu comprimento seja duplo do comprimento do segmento AB e, ainda, de tal modo que o ponto B, vértice do ângulo a trissectar, esteja no seu prolongamento. Então, o ângulo DBC é a terça parte do ângulo ABC.

   Temos assim a nossa construção efectuada e deixamos a cargo do leitor a prova de que o ângulo ABC é trissectado pelo recta BD. [1]

      Pelo exposto, o problema da trissecção dum ângulo agudo fica resolvido se soubermos inserir o segmento DE (duplo de BA) entre as rectas FA e AE e apontado para o ponto B. Assim, ao depararmo-nos com o problema da trissecção do ângulo, reduzimo-lo a um outro problema, que os geómetras gregos designaram por problema de construção por nêusis[2] - a inserção dum segmento de recta de comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou nesse segmento ou no seu prolongamento.

     Então, como efectuar esta construção por nêusis? A primeira ideia que nos surge é utilizar uma régua graduada e ajustá-la do modo pretendido. Mas, obviamente, os desenvolvimentos dos matemáticos não se ficaram por esta resposta.
      Descobriram-se várias curvas planas superiores que resolvem o problema de nêusis ao qual o problema da trissecção pode ser reduzido. Uma das mais antigas é a concóide inventada por Nicomedes (séc. III a.C.).

     A redução do problema da trissecção do ângulo a um problema de inclinação, isto é, a um problema de nêusis, deve ter sido de extrema importância para os geómetras gregos. De facto, embora não seja possível encontrar uma solução com régua não graduada e compasso, é extremamente fácil de executar a construção com outros instrumentos mecânicos, como por exemplo uma régua graduada onde se marca a medida pretendida. Assim, estava encontrado um novo caminho de investigação, embora não o único, pois como veremos é possível encontrar soluções sem recorrer a construções por nêusis.

    Em termos práticos pouco mais havia a fazer, tendo em atenção que era possível mecanicamente encontrar soluções para a trissecção do ângulo. Mas de um ponto de vista puramente matemático os gregos não estavam, em geral, satisfeitos com as soluções mecânicas.