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Duplicação do Cubo - mais soluções

      Anteriormente analisamos algumas das soluções para o problema da duplicação do cubo apresentadas por matemáticos ao longo do período helénico, nomeadamente Arquitas e Menecmo, mas estes não são os únicos que se dedicaram ao estudo deste problema. Façamos um breve "ressumo".
     O primeiro contributo para a resolução do problema da duplicação do cubo é de Hipócrates de Quios, que reduz este problema a um outro - a procura de dois meios proporcionais entre a aresta do cubo dado e o seu dobro. A partir da contribuição de Hipócrates todos os esforços dos matemáticos se voltaram para a procura dos dois meios proporcionais em causa e, possivelmente, a ele se deve o nascimento do tão conhecido método de redução.
      Talvez possamos afirmar que os matemáticos e filósofos gregos prepararam os alicerces do edifício geométrico, graças à sua capacidade visual. A solução apresentada por Arquitas é um bom exemplo desta conjectura, pois é uma solução de rara beleza tridimensional, que envolve três superfícies de revolução. Pensa-se que um dos discípulos de Arquitas, Eudoxo de Cnido, apresentou uma solução, possivelmente influenciada pela solução do seu mestre, mas que infelizmente não chegou até nós.
     Os matemáticos gregos desenvolveram, largamente, a chamada álgebra geométrica, através de figuras geométricas simples e das respectivas áreas. Menecmo terá sido o primeiro a representar curvas por meio de equações, no entanto de um modo um pouco primitivo. A solução que Menecmo apresenta para encontrar os meios proporcionais, referidos por Hipócrates, faz uso de curvas que se podem obter pela intersecção dum cone de base circular com um plano. Pensa-se que foram as investigações efectuadas por Menecmo, para solucionar o problema em estudo, que o levaram à descoberta das secções cónicas.
    Platão criticava todas as construções que não fizessem uso exclusivo de raciocínios geométricos, por estas desvirtuarem a beleza e a pureza da geometria. No entanto, é a ele atribuída, talvez incorrectamente, uma solução para o problema da duplicação do cubo através de um engenho mecânico - o esquadro de Platão - que faz uso de uma determinada configuração de triângulos rectângulos. Mas esta não é a única solução conhecida através de engenhos mecânicos; Eratóstenes de Cirene construiu um engenho, com o intuito de resolver este problema, do qual muito se orgulhava. Esse engenho, conhecido pelo nome de mesolabo, tem como base uma configuração de triângulos semelhantes que deslizam sobrepondo-se, permitindo construir os dois segmentos em proporção contínua entre a aresta do cubo dado e o seu dobro.
     Os problemas clássicos da geometria grega originaram um pretexto para estudar curvas mais complexas que a recta e a circunferência. Além das cónicas, já anteriormente referidas, outra curva - a concóide de Nicomedes - aparece associada ao problema da duplicação do cubo, ou seja, ao problema dos dois meios proporcionais. Esta curva, exposta por Nicomedes na sua obra Sobre as Linhas Concóides, é utilizada na duplicação do cubo e, como já referimos, na trissecção do ângulo.
     Uma outra solução por meio de uma curva, legada pelos gregos, faz uso da cissóide de Diocles. A solução apresentada por este matemático parece ter influenciado outras soluções, nomeadamente, as soluções de Esporo e Papo. Estas soluções serão apresentadas simultaneamente, tendo em atenção que são, no essencial, a de Diocles; mas ao invés de usarem a curva cissóide, usam a manipulação de uma régua que deverá atingir uma posição pretendida.
         A principal fonte para o nosso conhecimento dos desenvolvimentos do problema da duplicação do cubo é o legado de Eutócio no seu comentário à obra de Arquimedes Da Esfera e do Cilindro. As soluções de Apolónio, Herão e Filão podem ser analisadas em simultâneo, tendo em atenção que têm, em termos teóricos, o mesmo objectivo: a determinação de dois pontos numa posição desejada.

José Miguel Sousa
Data da última actualização: 27-11-2002