Texto 15

     No entanto, a impossibilidade de resolução dos problemas geométricos só foi completamente esclarecida no final do século XIX, depois dos trabalhos de Abel (1802-1829) e Gauss[1] (1777-1855) sobre a resolução de equações algébricas por meio de radicais. A prova da impossibilidade dos problemas já referidos depende da teoria das equações cúbicas, isto é, de conceitos algébricos que foram sendo desenvolvidos ao longo de vários séculos. A primeira demonstração, efectiva, da impossibilidade da duplicação do cubo e da trissecção do ângulo[2] foi apresentada por Pierre Laurent Wantzel no artigo “Recherches sur les Moyens de Reconnaître si un Problème de Géométrie Peut se Résoudre avec la Règle et le Compas”, publicado em 1837 no Journal de Liouville[3]. ([Te], p. 385; ([Ca], p. 3, p. 5).

      No presente texto apenas vamos “aflorar” a prova da impossibilidade de resolução do problema da trissecção do ângulo e do problema da duplicação do cubo, no entanto, na parte final do livro Teoria de Galois, da autoria de Owen J. Brison, podemos encontrar uma prova efectiva da impossibilidade dos três problemas clássicos da geometria grega (cf. [Br], p. 119).
      Um entendimento profundo da impossibilidade destes dois problemas da geometria grega, fundamenta-se por traduzir os problemas geométricos na linguagem da álgebra. Vejamos alguns resultados que nos permitirão clarificar esta questão.

Definição: Um número real diz-se um número algébrico se for raiz de uma equação polinomial da forma , com n Î IN₀ , e cujos coeficientes são números inteiros não simultaneamente todos nulos. O menor n nestas condições diz-se o grau do número algébrico. <

Lema: Um problema geométrico que seja resolúvel usando apenas régua não graduada e compasso é equivalente a um problema com números, envolvendo apenas as quatro operações fundamentais e a extracção da raiz quadrada. <

Como refere Maria Teresa Viegas ([Vi], p. 100): “Deste modo, o problema das construções com régua e compasso passou a poder ser visto a uma luz muito diferente. Com efeito, averiguar o que é possível construir apenas com estes instrumentos, no mundo das figuras, traduz-se agora em saber o que se pode obter apenas com as operações fundamentais mais extracção de raiz quadrada, no mundo dos números. Ora, este ponto de vista era completamente inacessível aos gregos, dado o divórcio que a crise dos incomensuráveis tinha provocado entre geometria e aritmética. A geometria analítica, unindo estas de novo, veio permitir que a geometria pudesse usufruir das poderosas técnicas algébricas entretanto desenvolvidas na aritmética e que os números passassem a contar com a preciosa intuição visual fornecida por um desenho.
Tornou-se assim natural que a solução de muitos problemas enunciados em termos de régua e compasso viessem a ser resolvidos com recurso à álgebra. E também faz sentido a grande distância no tempo entre o pôr de alguns desses problemas (na Antiguidade) e o indicar da respectiva solução (no século XIX). Não só foi preciso que a geometria analítica traduzisse os problemas noutra linguagem, como também encontrar técnicas adequadas para os resolver na sua nova formulação.”

Definição: A raiz de uma equação diz-se uma raiz construível com régua não graduada e compasso, ou simplesmente raiz construível, se possuir a seguinte propriedade: dada uma unidade de comprimento (um segmento unitário), podermos construir, com régua não graduada e compasso, um segmento de recta de medida de comprimento igual à raiz. <

Quando nos referimos ao facto de poder construir, com régua não graduada e compasso, um segmento de recta de medida de comprimento igual à raiz em causa, estamos a dizer que pretendemos desenhar esse segmento com um número finito de operações entre as seguintes: dados dois pontos, desenhar a recta que os une; desenhar uma circunferência em torno de um ponto e passando por outro ponto; desenhar os pontos de intersecção de duas rectas, duma recta e duma circunferência ou de duas circunferências.

Teorema da Raiz-Construível: Uma equação cúbica de coeficientes inteiros que não tenha raízes racionais também não tem raízes construíveis.<

Teorema da Raiz-Racional: Seja uma equação polinomial de coeficientes inteiros. Qualquer raiz racional desta equação pode ser escrita na forma p/q, onde p é um factor de a₀ e q é um factor de a_n. <

Consideremos um cubo de aresta (cujo volume é ), o qual pretendemos duplicar, o que significa que, pretendemos encontrar a solução da equação , ou seja, construir um segmento x cuja medida de comprimento seja .

Para mostrar que a duplicação do cubo é impossível de efectuar com régua não graduada e compasso, vamos ver que a equação (1) não tem raízes construíveis; caso contrário, uma das soluções encontradas seria a medida de comprimento da aresta do cubo procurado (de volume 2), portanto seria construível com régua não graduada e compasso.

Pelo Teorema da Raiz-Racional, as possíveis raízes racionais para a equação (1) são:

Dado que nenhum destes valores satisfaz a equação (1), podemos afirmar que a equação não tem raízes racionais e, pelo Teorema da Raíz-Construível podemos concluir que a equação (1) não tem raízes construíveis. Logo (medida de comprimento da aresta do cubo procurado) não é um número construível com régua não graduada e compasso.
Concluímos, então, que não é possível duplicar, com régua não graduada e compasso, o cubo de aresta 1; então podemos afirmar que não é possível duplicar um qualquer cubo.

Dado um qualquer ângulo, pretendemos construir, com régua não graduada e compasso, um ângulo cuja amplitude seja a terça parte da amplitude do ângulo dado. Obviamente que, para provar que a trissecção de um qualquer ângulo é impossível, basta encontrar[4] um ângulo que seja impossível de trissectar.

Como vimos anteriormente, uma possível abordagem para o problema da trissecção do ângulo é reduzi-lo a um problema de nêusis, o qual pode ser resolvido de várias maneiras, sendo exemplos de resolução, a apresentada por Nicomedes através da concóide e por Papo pelo uso da hipérbole.

Consideremos a figura seguinte (já nossa conhecida), onde se pretende trissectar o ângulo agudo ABC. Já foi provado anteriormente que o ângulo DBC é o ângulo procurado, isto é, a recta BD trissecta o ângulo ABC, o que significa que o nosso objectivo se reduzia à procura do ponto E.

Seja o segmento AI, perpendicular a DE. Considerando, pelas condições de construção da figura, (relembrar textos anteriores) temos que , e . Designemos, BF por b, AE por x e BD por y.

Com alguns cálculos, obtemos a equação seguinte que designaremos por equação da trissecção:

Quer isto dizer que trissectar o ângulo ABC é procurar x que satisfaça a equação anterior. Encontrado x, será possível localizar o ponto E e trissectar o ângulo em causa através da recta BD. Portanto, só falta agora averiguar se a equação da trissecção tem raízes construíveis.

Note-se que, na equação da trissecção, existe um parâmetro representado por b. Consideremos o caso de , o que corresponde a trissectar um ângulo de 60º. Neste caso a equação da trissecção fica:

Pelo Teorema da Raiz-Racional, as possíveis raízes racionais para a equação anterior são: -1 e +1.

Visto que nenhum destes valores satisfaz a equação (3), podemos afirmar que a equação não tem raízes racionais. E, pelo Teorema da Raíz-Construível, concluímos que a equação não tem raízes construíveis. Isto significa que não podemos construir, com régua não graduada e compasso, o segmento de recta AE.
Não sendo possível trissectar o ângulo de amplitude 60º, com os instrumentos euclidianos; podemos afirmar que não é possível trissectar um qualquer ângulo.

Longo foi o caminho percorrido pelos matemáticos ao tentarem resolver estes dois famosos problemas da Antiguidade; caminhos que conduziram a conceitos modernos de álgebra. Os geómetras gregos falharam nas suas buscas porque procuravam algo de impossível, como o próprio Papo referiu ([P]; em [Ver], I, pp. 206-210), procuravam resolver problemas sólidos por meios planos.

A busca de solução para estes, e outros, problemas geométricos permitiu, ao longo destes dois mil anos, que inesperados e interessantes desenvolvimentos matemáticos surgissem e novos horizontes se abrissem no universo da álgebra. Problemas de enunciados muito simples levaram à criação de ramos da matemática muito complexos.

[1] Em 1796 Gauss mostrou que era possível inscrever, usando apenas régua não graduada e compasso, um polígono regular de 17 lados numa circunferência. Enunciou, então, uma condição necessária e suficiente para que um polígono regular de n lados fosse construível.

[2] Os dois problemas em causa requerem a construção de raízes cúbicas, enquanto que a quadratura do círculo requer a construção de . Em 1837 Ferdinand Lindermann (1852-1939) demonstra que é um número transcendente, isto é, não é raiz de uma equação algébrica de coeficientes inteiros. Este resultado, juntamente com os trabalhos de Wantzel, permitiu concluir a impossibilidade da quadratura do círculo.

[3] Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2, pp. 366-372. Em 1836 Liouville fundou um jornal de matemática chamado Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, muitas vezes denominado Journal de Liouville.

[4] Vamos ter por base o interessante esquema apresentado na obra The Historical Roots of Elementary Mathematics ([ BJB], pp. 118-120).