Apêndice ao Texto 6  

Algumas Construções com Régua e Compasso

A - Elementos I. 2. 

Problema: Dado um ponto A e um segmento de recta BC, construir um ponto F tal que o segmento AF é congruente com BC. Construção: Tracemos do segmento AB (1) e sobre este segmento construamos o triângulo Equilátero ADB (2). Prolonguemos os segmentos DA e DB nas semi-rectas DA´ e DB´, respectivamente (3). Com centro em B e passando por C construamos a circunferência C1 (4) e designemos por E a sua intersecção com a semi-recta DB´. Com centro em D e passando por E construamos a circunferência C2 (5) e designemos por F a sua intersecção com a semi-recta DA´. O ponto F assim encontrado é a solução do nosso problema. Prova: Exercício.*

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B - Elementos I. 3.

Problema: Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta CD, construir um ponto E na semi-recta AB de modo que os segmentos AE e CD sejam congruentes.

Construção: Exercício.*

Prova: Exercício.*
 

C -

      Vejamos como efectuar, com a utilização, apenas, da régua não graduada e do compasso as quatro operações fundamentais mais a extracção da raiz quadrada.
    Sejam dois segmentos de recta que têm como medida de comprimento respectivamente os números a e b, dada uma unidade de comprimento previamente escolhida. Se conseguirmos construir um segmento que (nessa mesma unidade) tenha como medida de comprimento a soma, a diferença, o produto e o quociente desses dois números a e b, e um segmento que tenha como medida de comprimento a raiz quadrada da medida de comprimento do segmento escolhido, então fundamentamos o nosso propósito. 

      Consideremos a seguinte unidade de comprimento e os segmentos e .

     Construir os segmentos de medidas de comprimento AB+CD, AB-CD, , AB/CD e é um processo simples e de justificação directa, no campo da geometria elementar, como se ilustra a seguir: 

i) AB+CD

    Tracemos uma linha recta e nela construamos - por Elementos I, 2 - um segmento congruente com AB. Pretendemos construir, sobre a mesma recta, um segmento congruente com o segmento CD e de modo a que B coincida com C. Construamos uma circunferência com centro em B e raio CD, que vai intersectar a recta nos pontos D e E. Um destes dois pontos, digamos D, é tal que B está entre A e D. Portanto, está construído, apenas com régua não graduada e compasso, o segmento AD, ou seja, AB+CD. 

ii) AB-CD

    A construção do segmento AB-CD é análoga à anterior, com certo cuidado na escolha dos segmentos AB e CD. Tente elaborar essa construção. *

iii)

    Sobre uma linha recta marquemos o segmento de comprimento AB. A partir de A construamos uma semi-recta onde marcamos a unidade e, seguidamente, o segmento de comprimento CD. Unamos o ponto C com o ponto B (segmento verde na figura seguinte). Construamos uma paralela a este segmento passando por D (a azul na figura); assim construímos o segmento de comprimento . A justificação deste facto deve-se à aplicação directa de Elementos VI, 2 ao triângulo cujos vértices são os pontos assinalados a vermelho[1] .

iv) AB/CD

Construamos o segmento AB/CD, de modo análogo ao caso anterior, como ilustra a figura: 

v)

Quanto à construção de um segmento cuja medida de comprimento seja , basta ter em atenção o esquema exemplificado na figura seguinte[2].