Trabalho 3

A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

Susana Raquel Capela Rainho

 

Parte A – Ficha de Trabalho com a Trissecção do Ângulo

 

Considere-se um ângulo agudo com vértice B e, por um ponto A dum dos seus lados, tracem-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado; seja C o ponto de intersecção do segundo lado com a recta perpendicular. Insira-se um segmento de recta DE, de comprimento duplo de AB, entre essas duas rectas, de tal modo que o ponto B esteja no ponto B esteja no prolongamento de DE. Seja H o ponto médio de DE.

 

 


 

 

 

 

a)     Enuncie o quinto postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides.

 

Postulado 5:

Que, se uma linha recta incidente noutras duas linhas rectas fizer ângulos internos do mesmo lado menores que dois rectos, então as duas linhas rectas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos menores que dois rectos.

 

 

b)     Com base neste enunciado, mostre que os ângulos  e  são iguais.

 

Uma vez que  e  são alternos internos e que as rectas AE e BC são paralelas então, de acordo com Elementos I, 29, tem-se que  e  são iguais.

 

 

Elementos I, 29:

Uma linha recta incidente em outras duas linhas rectas paralelas produz ângulos alternos iguais entre si; o ângulo externo igual ao interno e oposto da mesma parte, e finalmente os internos da mesma parte iguais a dois rectos.

 

c)     Enuncie o teorema que permite concluir que o segmento de recta HA é igual aos segmentos de recta HD, HE e AB. A que matemático da antiga Grécia é usualmente associada a descoberta deste resultado?

 

O ângulo  é recto, logo está inscrito numa semicircunferência de diâmetro DE. Como H é o ponto médio de DE, teremos as seguintes igualdades:

O teorema que suporta esta conclusão é geralmente atribuído a Tales de Mileto [1], e está enunciado em Elementos III, 31.

 

 

[1]

“… a tradição atribui a Tales a descoberta de que os ângulos que se podem inscrever em semicircunferências são rectos (…).

… embora não seja de crer que Tales ou algum dos seus contemporâneos estivesse em condições de fornecer uma demonstração de qualquer delas.

Estrada et al – História da Matemática

Elementos III, 31:

Num círculo, o ângulo no semicírculo é recto (…).

 

 

d)     Enuncie o teorema que permite concluir que  e que .

 

Os triângulos ABH e HAE são isósceles. Assim, a proposição Elementos I, 5 garante-nos essas duas igualdades.

 

 

 

 

Elementos I, 5:

Num triângulo isósceles os ângulos que estão sobre a base são iguais; se se prolongarem os lados que são iguais, os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais.

 

e)     Conclua que  é a terça parte de .

 

Por Elementos I, 32, temos que . Usando as igualdades provadas nas alíneas b) e d) teremos .

Fica então provado que é a terça parte de .

 

Elementos I, 32:

Em todo o triângulo, prolongado um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois ângulos internos e opostos; e os três ângulos internos de um triângulo são iguais a dois rectos.

 

 

Parte B – A Concóide de Nicomedes

 

 

Analisando os conteúdos envolvidos na tarefa, vemos que ela poderá ser a alunos do 9º ano, após o estudo da circunferência.

Será sempre interessante fazer-se um estudo das proposições envolvidas na trissecção do ângulo tal como são enunciadas nos elementos de Euclides (usando, por exemplo, a versão latina em www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html), em paralelo com os enunciados em linguagem “moderna”. É ainda uma boa ocasião para a investigação da História de Euclides e dos seus Elementos, do Teorema dito de Tales e do problema da trissecção do ângulo, visto em várias épocas históricas.