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Considere-se um ângulo agudo com vértice B e, por um ponto A dum dos seus lados, tracem-se uma paralela e uma perpendicular ao outro lado; seja C o ponto de intersecção do segundo lado com a recta perpendicular. Insira-se um segmento de recta DE, de comprimento duplo de AB, entre essas duas rectas, de tal modo que o ponto B esteja no ponto B esteja no prolongamento de DE. Seja H o ponto médio de DE.
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a) Enuncie o quinto postulado do primeiro livro dos Elementos de Euclides.
Postulado 5: Que, se uma linha recta incidente noutras duas linhas rectas fizer ângulos internos do mesmo lado menores que dois rectos, então as duas linhas rectas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se do lado em que estão os ângulos menores que dois rectos. |
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b)
Com base neste enunciado,
mostre que os ângulos
Uma vez que
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Elementos I, 29:Uma linha recta incidente em outras duas linhas rectas paralelas produz ângulos alternos iguais entre si; o ângulo externo igual ao interno e oposto da mesma parte, e finalmente os internos da mesma parte iguais a dois rectos.
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c) Enuncie o teorema que permite concluir que o segmento de recta HA é igual aos segmentos de recta HD, HE e AB. A que matemático da antiga Grécia é usualmente associada a descoberta deste resultado?
O ângulo
O teorema que suporta esta conclusão é geralmente atribuído a Tales de Mileto [1], e está enunciado em Elementos III, 31.
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[1] “… a tradição atribui a Tales a descoberta de que os ângulos que se podem inscrever em semicircunferências são rectos (…). … embora não seja de crer que Tales ou algum dos seus contemporâneos estivesse em condições de fornecer uma demonstração de qualquer delas.” Estrada et al – História da Matemática Elementos III, 31:Num círculo, o ângulo no semicírculo é recto (…). |
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d)
Enuncie o teorema que permite
concluir que
Os triângulos ABH e HAE são isósceles. Assim, a proposição Elementos I, 5 garante-nos essas duas igualdades.
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Elementos I, 5:Num triângulo isósceles os ângulos que estão sobre a base são iguais; se se prolongarem os lados que são iguais, os ângulos que se formam debaixo da base são também iguais. |
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e)
Conclua que
Por
Elementos I, 32, temos que Fica
então provado que |
Elementos I, 32:Em todo o triângulo, prolongado um lado qualquer, o ângulo externo é igual aos dois ângulos internos e opostos; e os três ângulos internos de um triângulo são iguais a dois rectos. |
Parte B – A Concóide de Nicomedes
Analisando os conteúdos envolvidos na tarefa, vemos que ela poderá ser a alunos do 9º ano, após o estudo da circunferência. Será sempre interessante fazer-se um estudo das proposições envolvidas na trissecção do ângulo tal como são enunciadas nos elementos de Euclides (usando, por exemplo, a versão latina em www.mat.uc.pt/~jaimecs/euclid/elem.html), em paralelo com os enunciados em linguagem “moderna”. É ainda uma boa ocasião para a investigação da História de Euclides e dos seus Elementos, do Teorema dito de Tales e do problema da trissecção do ângulo, visto em várias épocas históricas.
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e 
são iguais.
e 
são alternos internos e que as rectas AE e BC são
paralelas então, de acordo com Elementos I, 29, tem-se que 
e que 
.
é a terça parte de 
.
