TALES DE MILETO (654-547 AC)


PITÁGORAS DE SAMOS (569-475 AC)
HIPÓCRATES DE QUIOS (470-410 AC)
ARQUITAS DE TARENTUM (428-350 AC)
PLATÃO (427-347 AC)
ARISTÓTELES (384-322 AC)
EUCLIDES DE ALEXANDRIA (325-265 AC)
ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287-212 AC)
APOLÓNIO DE PERGA (262-190 AC)
LINDEMANN (1852-1939)
cimo
  
CÓNICAS E A TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

INTRODUÇÃO   OPERAÇÕES NO PLANO   TRISSECÇÃO DO ÂNGULO   COMENTÁRIOS   TRABALHOS

INTRODUÇÃO

A Matemática e a Filosofia são duas áreas do pensamento fundamentais para a constante evolução do conhecimento.

A evolução resulta da contínua interrogação da nossa condição de Homem perante o Universo e da consequente pesquisa de respostas.

Um dos períodos mais florescentes do pensamento humano aconteceu na Grécia, no milénio compreendido entre os séculos VI AC e IV DC.

Nesse período e nessa região, foram muitos os Matemáticos (e Filósofos) que, partindo da herança das culturas Babilónica, Egípcia, Hindu e outras, desbravaram novos conceitos e relações e foram construindo os pilares do conhecimento em que assenta todo o nosso espólio matemático.

Exemplos não faltam, uns mais conhecidos que outros, mas todos importantes, como Thales (624-547 AC), Pitágoras (569-475 AC), Hipócrates (470-410 AC), Hípias (460-400 AC), Arquitas (428-350 AC), Platão (427-347 AC), Aristóteles (384-322 AC), Menecmo (380-320 AC), Euclides (325-265 AC), Arquimedes (287-212 AC), Nicomedes (280-210 AC), Apolónio (262-190 AC), Papo (290-350 DC)...

Toda esta legião de pensadores procurou, de um modo ou de outro, soluções para três problemas clássicos:

a) Trissecção de um ângulo (divisão de um ângulo em três partes iguais);

b) Duplicação de um cubo;

c) Quadratura de um círculo.

Estes problemas intrigaram os matemáticos de muitas gerações. Problemas com enunciado simples, de fácil interpretação, mas de solução complexa!

O processo de investigação primário estava restrito à manipulação de dois instrumentos:

- a régua não graduada (régua sem marcas, usada unicamente para traçar linhas rectas, dados dois pontos, nunca para medir a distância entre eles, nem repetir essa mesma linha indiscriminadamente);

- o compasso de pontas caídas (usado unicamente para traçar circunferências, dados dois pontos, nunca para medir a distância entre esses pontos, nem repetir a mesma circunferência de modo indiscriminado).

Euclides, cuja vida (e a própria existência) está ainda envolta em grandes mistérios e contradições, terá sido o matemático que conseguiu reunir a teoria numa obra (a que chamou "Elementos") de um modo coerente, com uma estrutura lógica irrepreensível, fruto da sua axiomática (conjunto de princípios e processos que permitem fazer uma construção do conhecimento, partindo do elementar para o mais complexo, num encadeamento progressivo, em que o consequente é sempre fundamentado no antecedente).

As construções geométricas dessa obra "Elementos" foram realizadas exclusivamente com aqueles instrumentos e, por isso, são conhecidos por instrumentos euclidianos.

Nessa obra de treze livros (capítulos), Euclides compilou tudo o que até aí se dominava, provava e construía com aqueles simples instrumentos.

Essa obra reuniu os trabalhos de Tales, de Pitágoras, de Hipócrates de Quios, de Leon e de Teudio de Magnesia, de Teeteto (417-369 AC), de Eudóxio de Cnídia (408-355 AC), e de outros, trabalhos que se harmonizavam, completavam e estabeleciam relações entre geometria e álgebra.

Porém, reflectindo as preocupações da época, a geometria foi o principal objectivo da obra e as relações algébricas foram  sempre subalternas e submetidas ao primado da geometria.

Assim, e definido um segmento para unidade, todo o número era visualizado por um segmento, encontrado por simples operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão e extracção de raízes quadradas de segmentos dados.

Com régua não graduada e compasso, as construções resultavam de um endadeamento de operações geométricas simples no plano, como: traçar uma linha recta, dados dois pontos; traçar uma circunferência, dados dois pontos; definir pontos pela intersecção de duas rectas, de uma recta com uma circunferência, ou de duas circunferências.

Ou seja, com recurso exclusivo dos instrumentos euclidianos, os segmentos resultavam de operações geométricas no plano, e os seus comprimentos eram os números reconhecidos na obra de Euclides.

Assim, podemos dizer que Euclides admitia números naturais, números racionais como quociente de dois números naturais e números irracionais resultantes da extracção de raízes quadradas.

Dois dos principais conceitos que a obra de Euclides trata são a proporcionalidade entre comprimentos de lados de figuras semelhantes e a relação entre áreas de figuras.

"Elementos" não faz qualquer referência a trabalhos que de algum modo tocavam em assuntos que não podiam ser explicados à luz dos princípios de "Elementos", o que é compreensível.

É o caso, por exemplo, do trabalho de Demócrito (460-370 AC) sobre secções do cone, do trabalho de Hípias sobre a trissecção do ângulo aplicando a sua curva trissectriz, do trabalho de Arquitas sobre o modelo tridimensional como solução da duplicação do cubo, do trabalho de Platão sobre a aplicação de um esquadro com três réguas acopladas para resolver a duplicação do cubo e de Menecmo sobre intersecção de cónicas como solução da duplicação do cubo.

Provavelmente Euclides teve conhecimento desses trabalhos, mas, por opção, terá decidido não integrá-los numa obra que pretendia apenas reunir o que de mais elementar havia sobre a geometria, num todo fechado por uma axiomática coerente que não admitia notas à margem.

Além disso, para muitos matemáticos, o facto de serem conseguidas soluções para os problemas fora do espírito de "Elementos" não invalidava que eventualmente existissem soluções euclidianas.

Assim, depois de Euclides, enquanto uns não perdiam a esperança, outros foram encontrando mais soluções,... mas não euclidianas.

Arquimedes, principalmente com o estudo da espiral para a trissecção do ângulo e para a duplicação do cubo e aplicação do método da exaustão no estudo da constante pi; Nicomedes com a definição de uma curva chamada concóide para a trissecção de um ângulo; Apolónio com o estudo aprofundado das cónicas e uma solução para a duplicação do cubo; Papo com uma solução para duplicação do cubo e o estudo das cónicas e sua aplicação na solução da trissecção de um ângulo.

E se as soluções dos problemas clássicos demoraram a ser encontradas e aceites, isso deveu-se, simplesmente, ao facto de serem geometricamente impossíveis de obter de acordo com as regras do jogo de Euclides: a teoria de "Elementos" e os instrumentos euclidianos, a régua não graduada e o compasso de pontas caídas.

E se foram encontradas soluções, foi porque os pensadores nunca se conformaram com as limitações impostas pelos instrumentos euclidianos, antes e depois da sua consagração em "Elementos", e foram criativos arranjando outros contextos, abrindo assim o leque das possibilidades de resposta.

Dessa forma, orientando o processo de investigação noutros sentidos, com outras regras de jogo, conseguiram formular novos conceitos geométricos e algébricos, descobrindo outras curvas (do plano), somente visíveis na superfície de um cone (espaço) quando seccionado por um plano.

Assim, torna-se evidente que o desenvolvimento do estudo das cónicas foi uma consequência directa das inúmeras tentativas de solução dos problemas clássicos.

A desconfiança sobre a impossibilidade de encontrar soluções pela via euclidiana terá sido registada, pela primeira vez, por Papo, no século IV DC.

Papo esclareceu que os problemas geométricos podiam ser de três tipos:

- Planos, os que podiam ser resolvidos por intermédio de rectas e circunferências, linhas com origem num plano;

- Sólidos, os que podiam ser resolvidos por intermédio de curvas definidas numa superfície cónica, linhas com origem num sólido (espaço);

- Lineares, os que podiam ser resolvidos por curvas definidas em superfícies menos regulares ou por movimentos mais complexos.

A consciência fundamentada da impossibilidade foi conseguida apenas no séc. XIX.

Depois dos trabalhos de Descartes (1596-1650), de Abel (1802-1829), de Gauss (1777-1855) e de Galois (1811-1832), Wantzel (1814-1848) em 1837 provou que a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo são problemas traduzidos por equações cúbicas com soluções não verificáveis pela intersecção de rectas e circunferências (plano), mas sim pela intersecção de linhas definidas na superfície de um cone (espaço), e Lindemann (1852-1939) em 1882 provou que pi é um número irracional transcendente, impossível de ser traduzido por um segmento, ou seja, mostrou que não se pode  construir um quadrado de área igual a um dado círculo.





















OPERAÇÕES NO PLANO

Euclides usava apenas uma régua não graduada e um compasso de pontas caídas para fazer as suas construções geométricas.

Com estes instrumentos podia traçar uma recta dados dois pontos ou traçar uma circunferência com centro num dado ponto e passando noutro ponto conhecido.

Os instrumentos não serviam para medir, apenas para traçar, uma vez definidos os pontos.

Contudo, a Proposição 2 do primeiro livro de "Elementos" (conhecida por Elementos I.2) é relativa a uma construção que mostra que é possível "transferir" um segmento de uma posição para outra do plano.

Esta proposição é invocada frequentemente, e sempre que é necessário copiar um segmento e aplicá-lo noutro ponto, na prática, usa-se o nosso compasso com abertura igual ao comprimento do segmento a copiar, evitando ter que repetir toda a construção da referida proposição.

Aqui, neste trabalho, vamos poder usar réguas e compassos normais, bem como um esquadro para auxiliar de traçado de linhas.

O objectivo é traçar segmentos e circunferências, de modo prático, podendo, inclusivamente, fazer medições se necessário, com a intenção de chegar à construção de modo rápido, mas rigoroso, tudo isso, desde que, no momento da análise da construção, o espírito euclidiano esteja presente.





ADIÇÃO DE SEGMENTOS

Numa folha quadriculada, definir um segmento com uma unidade de comprimento (figura 1).

Definir um segmento [AB] e outro [CD] com comprimentos naturais.

Numa recta, aplicar um segmento congruente a [AB].

Na extremidade B de [AB] e no mesmo sentido, aplicar um segmento congruente a [CD].

Da adição dos segmentos [AB] e [CD] resulta o segmento [AD] (com comprimento 5, na figura 1).

Explorar a construção reflectindo sobre:

a) A adição de segmentos será sempre possível?

b) Se os segmentos tiverem comprimento natural, o resultado será sempre um segmento de comprimento natural?

c) Se a construção começar pela aplicação de [CD], o resultado será o mesmo?





SUBTRACÇÃO DE SEGMENTOS

Numa folha quadriculada, definir um segmento com uma unidade de comprimento (figura 2).

Definir um segmento [AB] e outro [CD] com comprimentos naturais, sendo o de [AB] superior ou de [CD].

Numa recta, aplicar um segmento congruente a [AB].

Na extremidade B e em sentido contrário, aplicar um segmento congruente a [CD].

Da subtracção dos segmentos [AB] e [CD] resulta o segmento [AC] (com comprimento 1, na figura 2).

Explorar a construção reflectindo sobre:

a) A subtracção de segmentos será sempre possível?

b) Se os segmentos tiverem comprimento natural, o resultado será sempre um segmento de comprimento natural?

c) O que têm em comum, as construções da adição e subtracção de segmentos? Em que diferem?





MULTIPLICAÇÃO DE SEGMENTOS

Numa folha quadriculada, definir um segmento com uma unidade de comprimento (figura 3).

Definir um segmento [AB] e outro [CD] com comprimentos naturais.

Traçar duas rectas concorrentes num ponto e com inclinações arbitrárias.

Numa recta, e no ponto de intersecção das rectas, aplicar um segmento congruente ao segmento unitário.

Na segunda recta, e no ponto de concorrência das rectas, aplicar um segmento congruente ao segmento [AB].

Na primeira recta, adicionar ao segmento unitário, no mesmo sentido, um segmento congruente a [CD].

Com a régua unir os pontos B e C.

Com auxílio do esquadro e da régua traçar uma paralela a [BC] passando pelo ponto D e definindo na outra recta o ponto E.

Da multiplicação dos segmentos [AB] e [CD] resulta o segmento [BE] (com cumprimento 6, na figura 3).

Explorar a construção reflectindo sobre:

a) A multiplicação de segmentos será sempre possível?

b) Se os segmentos tiverem comprimento natural, o resultado será sempre um segmento de comprimento natural?

c) Se a construção começar pela aplicação de [CD], o resultado será o mesmo?

d) Qual será o resultado se substituirmos o segmento [CD] por um segmento unitário?

e) Os resultados dependerão do ângulo formado pelas rectas?

f) A partir da construção, definir uma proporção que mostre algebricamente que [BE] é o produto de [AB] por [CD].






DIVISÃO DE SEGMENTOS

Numa folha quadriculada, definir um segmento com uma unidade de comprimento (figura 4).

Definir um segmento [AB] e outro [CD] com comprimentos naturais.

Traçar duas rectas concorrentes num ponto e com inclinações arbitrárias.

Numa recta, e no ponto de intersecção das rectas, aplicar um segmento congruente ao segmento [AB].

Na segunda recta, e no ponto de intersecção das rectas, aplicar um segmento congruente ao segmento [CD].

Na primeira recta, adicionar ao segmento [AB] um segmento congruente ao unitário, definindo o ponto E.

Com a régua unir os pontos B e D.

Com auxílio do esquadro e da régua traçar uma paralela a [BD] passando pelo ponto E e definindo na outra recta o ponto F.

Da divisão dos segmentos [CD] por [AB] resulta o segmento [DF] (com comprimento 3/2, na figura 4).

Explorar a construção reflectindo sobre:

a) A divisão de segmentos será sempre possível?

b) Se os segmentos tiverem comprimento natural, o resultado será sempre um segmento de comprimento natural?

c) Como seria necessário proceder para construir a divisão de [CD] por [AB].

d) Os resultados dependerão do ângulo formado pelas rectas?

e) A partir da construção, definir uma proporção que mostre algebricamente que [DF] é o quociente de [CD] por [AB].





EXTRACÇÃO DA RAIZ QUADRADA DE SEGMENTOS

Numa folha quadriculada, definir um segmento com uma unidade de comprimento (figura 5).

Definir um segmento [AB] com comprimento natural.

Numa recta, aplicar um segmento congruente a [AB].

 Ao segmento [AB] adicionar um segmento unitário, definindo o ponto C.

Definir o ponto O como ponto médio de [AC].

Traçar a circunferência com centro em O e que passa em A e em C.

Com auxílio do esquadro traçar uma perpendicular a [AC], passando por B e definindo o ponto D na circunferência.

O segmento [BD] é a raiz quadrada do segmento [AB] (com comprimento sqr3, na figura 5).

Explorar a construção reflectindo sobre:

a) A extracção da raiz quadrada de segmentos será sempre possível?

b) Se o segmento tiver comprimento natural, o resultado será sempre um segmento de comprimento natural?

c) A partir da construção formular uma proporção que evidencie a extracção da raiz quadrada de um segmento.


No conjunto das cinco operações, e na lógica geométrica de Euclides, será possível definir segmentos de comprimento nulo?

Será possível realizar estas operações com segmentos de comprimento fraccionário ou irracional? E os resultados serão sempre da mesma espécie numérica dos operadores?






















TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

TRISSECÇÃO DO ÂNGULO RECTO

A trissecção de um ângulo consiste em dividi-lo em três ângulos iguais.

Com os instrumentos euclidianos podemos trissectar determinados ângulos.

O ângulo recto é um desses ângulos.

Numa folha quadriculada definir um ângulo recto ABC, em que os segmentos [AB] e [BC] são iguais por opção (figura 6).

Fixar a abertura do compasso igual a [AB].

Com centro em B, traçar uma circunferência.

Com centro em A, traçar outra circunferência igual.

As circunferências intersectam-se no ponto E.

Com centro em C, traçar outra circunferência igual às anteriores.

As circunferências intersectam-se no ponto D.

Analisando a construção, provar que:

a) O ângulo EBC mede 30º.

b) O ângulo ABD mede 30º.

c) O ângulo recto ABC foi trissectado.





TRISSECÇÃO DE UM ÂNGULO QUALQUER, COM RÉGUA GRADUADA

Mas a trissecção de um ângulo qualquer, usando os instrumentos euclidianos, é um problema impossível de resolver.

Ao longo dos tempos foram surgindo soluções que, de um modo ou de outro, divergiam do contexto euclidiano.

A seguinte proposta de trissecção de um ângulo introduz na construção um segmento com auxílio de uma régua graduada (régua com marcas que definem determinada medida estabelecida).

Este processo é conhecido por método de construção por nêusis.

Não existe um conhecimento absolutamente certo sobre quem terá criado este método, no entanto, há alguns relatos que, de algum modo, o associam a Hipócrates de Quios. Se não o desenvolveu, terá tido conhecimento dele.

Numa folha quadriculada definir um ângulo qualquer com o vértice B (figura 7).

Com auxílio do esquadro e da régua, traçar uma linha paralela ao lado inferior do ângulo definindo o ponto A.

Definir um ponto D nessa linha paralela.

Com auxílio do esquadro e da régua, traçar uma linha perpendicular ao lado inferior do ângulo, passando no ponto A e definindo o ponto C.

Em construção auxiliar e usando o compasso, definir numa recta um segmento de comprimento duplo ao de [AB].

Fixar a abertura do compasso com o comprimento duplo de [AB] e marcar esse comprimento numa régua.

Colocar a régua na construção de modo que uma marca do comprimento duplo pertença a [AC] e a outra marca pertença à semi-recta AD.

Deslizar a régua de modo a manter as marcas nas respectivas linhas e o ponto B ficar alinhado no prolongamento do comprimento duplo.

Nessa posição traçar a linha [BF], definindo E.

Definir o ponto G como ponto médio de [EF].

Definir o segmento [AG].

Analisando a construção, provar que:

a) As amplitudes dos ângulos EBC e AFG são iguais.

b) Os comprimentos dos segmentos [AB], [EG], [GF] e [AG] são iguais (sugestão: Teorema de Thales relativo ao triângulo inscrito no semi-círculo).

c) As amplitudes dos ângulos GAF e AFG são iguais.

d) As amplitudes dos ângulos AGB e GAF+AFG são iguais.

e) As amplitudes dos ângulos AGB e ABG são iguais.

f) A amplitude do ângulo ABG é dupla da amplitude do ângulo EBC.

g) Como se procederia agora para que o ângulo ABC fosse efectivamente dividido em três ângulos iguais?




TRISSECÇÃO DE UM ÂNGULO QUALQUER, COM UMA HIPÉRBOLE

No século IV DC, Papo de Alexandria, no Livro IV da sua obra "Colecção Matemática" , faz um apanhado das várias soluções, até então conhecidas, para a trissecção de um ângulo e acrescenta mais três, sendo todas aplicações da hipérbole (cónica), por isso não euclidianas.

Uma solução é idêntica à solução apresentada no ponto anterior, em que Papo introduz um segmento para trissectar o ângulo. Mas esse segmento é definido através da construção auxiliar de uma hipérbole.

As outras duas soluções são directas e usam duas propriedades diferentes da hipérbole.

Uma aplica a propriedade diâmetro-ordenada e a outra aplica a propriedade foco-directriz.

A seguinte proposta de trissecção de um ângulo é a de Papo com aplicação da propriedade foco-directriz da hipérbole.

Todas as cónicas (elipse, parábola e hipérbole) podem ter uma definição comum, baseada na razão constante entre duas distâncias.

Assim, podemos definir cónica do seguinte modo:

"É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (Foco) e a uma recta fixa (Directriz) têm razão constante e que se chama excentricidade"

Raramente, os nossos compêndios de matemática falam desta definição.

A noção de excentricidade (e) normalmente apresentada é:   e=c/a

Na parábola o seu valor é 1, na elipse é um valor do intervalo ]0; 1[ e na hipérbole é um valor superior a 1.

De acordo com a definição da propriedade foco-directriz, a excentricidade é vista como:   e=d(PF)/d(Pd)   (em que P é um ponto qualquer da cónica, F é um foco e d é a directriz. d(PF) lê-se distância de P ao Foco e d(Pd) lê-se distância de P à directriz).

A figura 8 exemplifica a definição de hipérbole pela sua propriedade foco-directriz.

A parábola só tem uma directriz. A elipse e a hipérbole têm duas directrizes.

As directrizes são rectas perpendiculares ao eixo em que se situam o(s) foco(s) da cónica.

Na hipérbole, se os focos estiverem situados no eixo das abcissas e a igual distância da origem do sistema de eixos, as directrizes são rectas definidas por equações do tipo:   x=(+;-)k,   sendo   k=a/e,   ou   k=a^2/c

Será necessário lembrar que na época de Papo ainda ninguém sonhava com a Geometria Analítica, tal como a conhecemos hoje.

Descartes desenvolveu-a no século XVII e com ela foi possível atribuir coordenadas aos pontos e dessa forma estabelecer equações para os lugares geométricos.

Portanto Papo não manipulava coordenadas, mas conhecia leis matemáticas, idênticas às equações dos nossos lugares geométricos.

Para a sua solução, Papo definiu (figura 9):

- um ângulo ABC a trissectar;

- uma circunferência de centro B intersectando os lados do ângulo ABC nos pontos A e C;

- uma recta d mediatriz do segmento [AC];

- um ramo de uma hipérbole de excentricidade 2, com um foco no ponto C e uma directriz na recta d;

Nas condições da figura 9, o ramo da hipérbole intersecta a circunferência no ponto P.

A amplitude do ângulo PBC é a terça parte da amplitude do ângulo ABC.

Como teria Papo demonstrado essa conclusão?

Observar a figura 10 que é uma ampliação da parte central da figura 9.

O passo fundamental da demonstração reside em provar que a amplitude do arco PC é a terça parte da amplitude do arco APC.

a) Que relação existe entre as amplitudes de ângulos ao centro de uma circunferência e as amplitudes dos arcos neles compreendidos?

b) Qual a relação entre os comprimentos de [PC] e [PQ]?

c) A figura apresenta uma simetria. Qual é o eixo de simetria?

d) Qual a relação entre os comprimentos dos segmentos [PC], [PR] e [AR]?

e) Qual a relação entre as amplitudes dos arcos AR, PR e PC?

f) Qual a relação entre as amplitudes dos arcos PC e APC?

Passemos ao nosso mundo das coordenadas cartesianas.

Supondo que o ponto C tem coordenadas (2; 0) e o ponto B (1/2; -1/2), determinar:

a) Distância focal, eixo transverso e eixo não transverso da hipérbole.

b) A equação cartesiana da circunferência.

c) A equação cartesiana reduzida da hipérbole.

d) As equações reduzidas das assimptotas da hipérbole.

e) As equações das directrizes da hipérbole.

f) As coordenadas aproximadas (a menos de uma centésima) do ponto P (usar a calculadora gráfica ou uma calculadora normal com aproximações sucessivas).

g) As equações gerais das rectas que contêm os segmentos [BC], [BP] e [BA].

h) A amplitude do ângulo formado pelos segmentos [BA] e [BC].

i) A amplitude do ângulo formado pelos segementos [BP] e [BC].

Como exercício complementar, reconstruir a figura 11 em papel milimétrico. O esboço das hipérboles será feito mediante o cálculo de pontos com recurso à sua equação e à máquina de calcular.
























COMENTÁRIOS

Este trabalho pretende ser reflexo, não exaustivo nem definitivo, de uma parte dos assuntos tratados no círculo de estudos "Episódios da História da matemática na Antiga Grécia: Trissecção do Ângulo e Duplicação do Cubo".

As actividades propostas neste trabalho não são especificamente orientadas para um ou outro nível de ensino, ou ano escolar.

É evidente que umas propostas poderão ser trabalhadas em certos pontos do programa de Matemática do 3º Ciclo.

Outras, naturalmente, no Ensino Secundário, apesar das restrições que o programa de Matemática deste nível de ensino impõe no tratamento das cónicas.

Em alternativa, as actividades propostas poderão ser trabalhadas ao longo do 11º ano, num projecto extracurricular com a intenção de dar uma perspectiva histórica do aparecimento e aplicação do estudo das cónicas, em grupo, em que o professor vai dando as suas orientações e incentivos em função da recolha e análise de cada fase do trabalho.

Neste caso, e partindo do princípio que os alunos já dominam a teoria, o trabalho poderá servir para rever alguns conceitos e para dar uma perspectiva diferente do encadeamento de certas questões.

O método será o de propor actividades com papel e lápis e lançar questões, esperando que os grupos, em trabalho de pesquisa e reflexão orientadas pelo professor, consigam chegar a conclusões consensuais, sempre que possível pelos seus próprios meios, sem as pressões de tempo impostas pela aula tradicional.

Aprender, fazendo e reflectindo. Processo de aprendizagem com exercício mental associado ao exercício manual. Provavelmente, à boa maneira grega!

Em época de altas tecnologias, o recurso ao computador e ao software de simulação gráfica poderá (terá que?) ser sugerido e, naturalmente, tido em conta se algum grupo de trabalho assim decidir, ou se o professor considerar que o deve aplicar.
ANTÓNIO N. R. MOURA   -   DEZEMBRO/2003