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PARTE A
a)
POSTULADO 5 DOS ELEMENTOS DE
EUCLIDES
"Se uma recta intersecta duas rectas e
determina dois ângulos internos do mesmo lado inferiores a dois
ângulos rectos, então as duas rectas, prolongadas,
encontrar-se-ão num ponto do lado desses ângulos"
POSTULADO
5 (JOYCE)
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b)
Na Figura 1, os ângulos CBD e AED são iguais, de acordo
com Elementos I.29, que por sua vez se fundamenta no Postulado 5.
ELEMENTOS I.29
"Uma recta que intersecta duas rectas
paralelas,
determina ângulos alternos iguais, o ângulo
exterior igual ao interior oposto e os ângulos internos do mesmo
lado iguais a dois ângulos rectos"
ELEMENTOS
I.29 (JOYCE)
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c)
ELEMENTOS III.31
"Num círculo, o ângulo inscrito
num semicírculo é recto,..."
Esta proposição relaciona-se com o Teorema de Tales, que
diz:
"Se os pontos A, B e C estão numa
circunferência, sendo AC seu diâmetro, então o
ângulo ABC é um ângulo recto"
Partindo deste enunciado, diremos que na Figura 2 aplica-se o teorema
recíproco de Tales, isto é, partimos de uma ângulo
recto e descrevemos a semicircunferência que o circunscreve.
Por
opção de construção, o segmento de recta AC
é perpendicular a BC. Então, por
Elementos I.29, também o será em relação a
AE, visto BC e AE serem
rectas paralelas, ou seja, o ângulo CAE é um ângulo
recto.
Definindo o ponto H como ponto médio de DE e definindo este
segmento como diâmetro de uma circunferência,
traçamos a semicircunferência que passa em D, E e A.
Por essa razão, os segmentos de recta HA, HD e HE são
iguais, sendo raios da mesma circunferência
(Definição I.15 dos Elementos). O segmento de recta
AB tem o mesmo comprimento do raio, por definição do
segmento
DE=2AB.
DEFINIÇÃO I.15
"o círculo é uma figura plana,
contida numa só linha, tal que todas as rectas definidas a
partir dela para um ponto interior são iguais entre si"
ELEMENTOS
III.31 (JOYCE)
DEFINIÇÃO
15 (JOYCE)
O Teorema de Tales não terá sido descoberto por ele, mas
terá sido o autor da sua demonstração. Há
algumas incertezas sobre o primitivo sentido do teorema, se partiu da
circunferência e chegou ao ângulo recto, tal como foi aqui
enunciado, ou se em sentido contrário...
THALES' THEOREM
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d)
Na Figura 3, Os ângulos HEA e HAE são iguais, bem como os
ângulos ABH e AHB, porque são adjacentes às bases
AE e BH dos triângulos isósceles AHE e ABH,
respectivamente.
Por outras palavras, diremos que, num triângulo, ângulos
opostos a lados iguais são iguais.
A demonstração do Teorema de Tales fundamenta-se nesta
verdade, a qual é descrita por Euclides em:
ELEMENTOS I.5
"Em triângulos isósceles, os
ângulos da base são iguais,..."
ELEMENTOS
I.5 (JOYCE)
THALES' THEOREM PROOF
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e)
Em b) verificou-se que os ângulos CBD e AED são iguais.
Em c) e d) concluiu-se que os ângulos HAE e HEA são iguais.
Pelo Axioma 1 de Euclides, HAE=HEA=CBD. Figura 4
AXIOMA 1
"Coisas iguais a uma terceira coisa,
são iguais entre si"
Por Elementos I.32, no triângulo AHE, o ângulo exterior AHB
é igual à soma dos ângulos interiores HAE e HEA, ou
seja, AHB=HAE+HEA, ou seja, AHB=2HEA, ou seja, AHB=2CBD.
ELEMENTOS I.32
"Se num triângulo qualquer,
prolongarmos um lado, o ângulo exterior é igual à
soma dos ângulos interiores opostos e a soma dos três
ângulos interiores é igual a dois ângulos rectos"
Em d) concluiu-se
que os ângulos ABH e AHB são iguais. Então, pelo
Axioma 1, ABH=AHB=2CBD.
O ângulo ABC é a soma dos
ângulos ABH com CBD, ou seja, ABC=ABH+CBD, ou seja, ABC=2CBD+CBD,
ou seja, ABC=3CBD.
Da última igualdade, conclui-se que CBD=ABC/3.
ELEMENTOS
I.32 (JOYCE)
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PARTE B
A
Ficha de Trabalho analisada na parte A é excelente para aplicar
no 3º Ciclo, por exemplo no último tema do 9º ano,
"Espaço, Outra Visão", no qual é possível
cruzar todos os conhecimentos implícitos na Ficha, trabalhados
ao longo do 3º ciclo.
A mesma Ficha poderá ser usada no 10º ano -
Matemática A ou B, no "Módulo Inicial", em que se procura
rever conceitos geométricos.
Relativamente à concóide de Nicodemes, o seu estudo no
3º ciclo parece-me totalmente desajustado, embora possa ser
apresentada a título informativo e como mera curiosidade.
No Ensino Secundário e dentro do actual quadro da reforma
recentemente iniciada, julgo ser possível a
integração do estudo da concóide num tema de
geometria analítica em que possam
ser apresentadas curvas diferentes das habituais, e, para isso, a Ficha
de Trabalho poderá ser também uma boa
introdução, continuada através da análise
da curva, desde o seu traçado em processo de geometria
dinâmica e experimental, com recurso a simuladores
gráficos, até à exploração da
variação de parâmetros, a qual intuitivamente
identifica o tipo de curva associado.
A propósito, refira-se a abordagem superficial dos programas de
Matemática A ao estudo de outras curvas, como a elipse, a
parábola e a hipérbole:
10º ano: referência à elipse como
deformação da circunferência (Tema I - Geometria no
Plano e no Espaço I); referência breve à
parábola, a algumas das suas principais propriedades e à
sua importância histórica (Tema II - Funções
e Gráficos. Funções Polinomiais.
Função Módulo)
11º ano: referência à hipérbole;
informação das suas principais propriedades e da sua
importância histórica (Tema II - Introdução
ao Cálculo Diferencial I. Funções racionais e com
radicais. Taxa de Variação e Derivada)
PROGRAMAS DO ENSINO BÁSICO
PROGRAMAS DO ENSINO SECUNDÁRIO
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