FONTES
DE EUCLIDES
ELEMENTS
ANTERIOR TO EUCLID'S
EUDOXUS
OF CNIDUS
THEAETETUS
OF ATHENS
HIPPOCRATES
OF CHIOS
ELEMENTOS
EUCLID'S
ELEMENTS (DAVID JOYCE)
EUCLID,
ELEMENTS (THOMAS HEATH)
ELEMENTOS
DE EUCLIDES
MATEMÁTICA E FILOSOFIA
ON THE
NATURE OF ELEMENTS
O
PENSAMENTO DE ARISTÓTELES
MENTAL
PROOF, VISUAL PROOF
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
NON-EUCLIDEAN
GEOMETRY
POSTULADO
5 DE EUCLIDES
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"Os Elementos"
constitui uma obra notável, monumento à superior
capacidade de compilação, organização e
sistematização do conhecimento matemático e do
modo como é construído, na perspectiva do pensamento
helénico.
A par da Bíblia, será a obra mais conhecida e comentada
na história da humanidade.
É um dos pilares da evolução da Matemática
e a base da formação académica dos nossos alunos
(ainda), apesar das diferenças (naturais) entre perspectivas que
distam vinte e três séculos uma da outra.
Euclides terá frequentado a escola platónica que
lhe deu toda a formação da época:
Matemática e Filosofia.
Euclides reuniu tudo
o que era sabido sobre questões elementares
de geometria e terá feito as suas próprias descobertas.
Teve certamente acesso às compilações de Hipócrates de
Quios (470-410 AC), de Leon e de
Teudio de Magnesia, bem como a teoria dos números irracionais de Teeteto (417-369
AC), da teoria das
proporções de Eudoxo de Cnídia
(408-355 AC), e dos trabalhos mais antigos de Thales (624-547
AC) e de Pitágoras (569-475 AC)...
A estrutura axiomática em que assenta "os Elementos" é
claramente aristotélica. Definições, postulados,
axiomas e proposições (teoremas e problemas) e processo
logico-dedutivo para chegar a novos conhecimentos com base nos
anteriores e seus pressupostos.
Para além da estrutura, tudo leva a crer que as
noções de verdade de Platão e Aristóteles
(384-322 AC) estiveram presentes na
génese das obras de Euclides, com especial destaque em "Os
Elementos". Para Platão a realidade era o que pensamos. Para
Aristóteles era também o que percepcionamos ou sentimos.
Platão com a defesa acérrima da razão
como único suporte da verdade, a ideia acima de tudo, e
Aristóteles com a aceitação de que a verdade pode
também ser atingida através dos sentidos, através
de uma
visibilidade que a induza.
Euclides era mais platónico quando formulava
proposições cujos encadeamentos mentais eram suficientes
para evidenciar a verdade e era mais aristotélico
quando, por necessidade ou por sistema, construia diagramas que
tornavam
a verdade (mais) acessível.
"Os Elementos" é reflexo desses discursos, dessa
forma de fazer ciência: a razão e a visão,
ou seja, axiomática e diagramas explicativos/demonstrativos.
A obra é completamente despida de adereços
inúteis, de floreados. É directa e formal. É
composta por 13 livros, sem qualquer
introdução.
Em todos os livros, Euclides começa por apresentar as
definições próprias da matéria a tratar e
depois formula as proposições.
No primeiro livro, para além das definições,
Euclides enuncia 5 postulados e 5 axiomas ou noções
comuns, princípios não demonstráveis que
são os pressupostos necessários ao encadeamento
logico-dedutivo que levará à demonstração
das proposições desse livro e dos seguintes. Uma
proposição,
uma vez demonstrada, pode ser incluída na prova de outra
proposição.
A integral distribuição de conteúdos,
demonstrações e comentários dos 13 livros de "Os
Elementos" poderá ser analisada em diversos endereços,
como por exemplo o de David Joyce ou de Thomas Heath.
As construções geométricas que acompanham os
enunciados eram realizadas
exclusivamente com régua não graduada, auxiliar no
traçado de linhas rectas, e o compasso, auxiliar no
traçado de círculos.
Refira-se que o compasso de Euclides sem a
proposição 2 do Livro I não podia ser usado para
medir distâncias e aplicar essa medida num ponto qualquer, isto
é, não podia ser usado para
fixar ("memorizar") um determinado raio e dessa forma definir
círculos onde quiséssemos e quantos quiséssemos, tal como estamos
habituados a
fazer.
Se Euclides tivesse definido "compasso" teria dito qualquer coisa como
"instrumento necessário para visualizar a ideia de
círculo" e remetia a ideia de círculo para o postulado 3
"podemos definir um círculo com centro num dado ponto e que
passa num outro dado ponto".
Portanto, depois de definido o círculo nas
condições do postulado, o compasso terminaria a sua
função, não podendo fixar essa distância
para repetir o mesmo círculo porque simplesmente não
estava declarado nenhum princípio que pudesse explicar a
operação de replicar linhas.
A partir da proposição 2 do Livro I, que demonstra a
possibilidade de traçar segmentos congruentes, o compasso ganha
outro estatuto, o de assumir o papel de instrumento capaz de produzir o
efeito da proposição 2 do Livro I, sem necessidade de a
demonstrar novamente, ou seja, pura e simplesmente transportar um
segmento.
A
estrutura axiomática em que "Os Elementos" se fundamenta,
mantem-se de
pé, mesmo
depois de declaradas as novas teorias da geometria ditas não
euclidianas, desenvolvidas a partir do século XIX por, entre
outros
matemáticos, Riemann (geometria elíptica) e Lobachevski
(geometria
hiperbólica), (a de Euclides passou a designar-se por geometria
parabólica).
Aliás as novas teorias e a "velha" teoria não são
contraditórias e até
serviram para confirmar que o célebre quinto postulado, "duas
rectas,
intersectadas por uma terceira, se formarem dois ângulos
interiores e
do mesmo lado, inferiores a dois ângulos rectos, prolongadas
indefinidamente, encontrar-se-ão no lado desses dois
ângulos" ou de
outra forma "por um ponto exterior a uma recta podemos traçar
uma e uma
só paralela à recta dada", não pode ser
demonstrado e como tal não
podia ser proposição mas teria que ser mesmo postulado.
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