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a)
Construir um
ângulo cuja amplitude seja duas quintas partes da amplitude do
ângulo alfa.
CONSTRUÇÃO
No quadrado ABCD da Figura 1 é colocado o
ângulo EAD com a amplitude alfa.
O lado AE do ângulo alfa intersecta a trissectriz de
Hípias no ponto F.
A partir de F traçar uma linha paralela a AD, sendo G a
intersecção desta linha com AB.
Em construção auxiliar, Figura 2, definir o
ângulo IHJ de
amplitude qualquer.
Na linha HJ definir cinco segmentos iguais a partir do ponto H.
Na linha HI, aplicar no ponto H um segmento igual a AG, definindo o
ponto K.
Traçar a linha LK.
A partir do ponto M, traçar uma linha paralela a LK, sendo N o
ponto de intersecção desta linha com HI.
O segmento HM corresponde a duas das cinco partes iguais de HL.
O segmento HN corresponde a duas das cinco partes iguais de HK.
Esta
construção auxiliar é fundamentada em ELEMENTOS VI.9,
proposição que divide um segmento em partes iguais.
Na linha AB,
aplicar no ponto A um segmento igual a HN, definindo o ponto O.
A partir do ponto O traçar uma paralela a AD que intersecta a
trissectriz de Hípias no ponto P.
Traçar a linha AQ que passa no ponto P.
O ângulo QAD tem uma amplitude que é duas quintas partes
do ângulo EAD, ou seja, de alfa.
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b)
Construir um
ângulo que esteja para beta na razão em que o lado dum
quadrado está para a diagonal.
CONSTRUÇÃO
No quadrado ABCD da Figura 3 é colocado
o
ângulo EAD com a amplitude beta.
O lado AE do ângulo beta intersecta a trissectriz de
Hípias no ponto F.
A partir do ponto F traçar uma linha paralela a AD, sendo G a
intersecção desta linha com AB.
Em construção auxiliar, Figura 4, traçar a linha
recta
HI.
Na linha HI, aplicar
no ponto H
um segmento igual a AG, sendo definido o ponto J.
Definir o ponto K como ponto médio de HJ.
Com centro no ponto K definir o círculo com
diâmetro HJ.
Traçar o
diâmetro LM perpendicular a HJ.
Traçar os segmentos HM, MJ, JL e LH, lados do quadrado HMJL.
A construção auxiliar é fundamentada em ELEMENTOS IV.6,
proposição que inscreve um quadrado num círculo
dado.
Na linha AB,
aplicar no ponto A um segmento igual a HM, definindo o ponto N.
A partir do ponto N traçar uma paralela a AD que intersecta a
trissectriz de Hípias no ponto O.
Traçar a linha AP que passa no ponto O.
O ângulo PAD tem uma amplitude que corresponde ao lado de um
quadrado, cuja diagonal corresponde à amplitude do ângulo
EAD, ou seja, de beta.
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c)
Construir o quarto
proporcional de alfa, beta e gama.
CONSTRUÇÃO
No quadrado ABCD da Figura 5 são
colocados os
ângulos EAD, HAD e KAD com as amplitudes alfa, beta e gama,
respectivamente.
Os lados AE, AH e AK dos ângulos alfa, beta e gama intersectam a
trissectriz de
Hípias nos pontos F, I e L, respectivamente.
A partir dos pontos F, I e L traçar linhas paralelas a AD,
sendo G, J e M os pontos
de intersecção destas linhas com AB.
Em construção auxiliar, Figura 6, definir o
ângulo ONP de
amplitude qualquer.
Na linha NO, aplicar no ponto N um segmento igual a AG, sendo
definido o ponto Q.
No ponto Q aplicar um segmento igual a AJ, sendo definido o ponto R.
Na linha NP,
aplicar no ponto N um segmento igual a AM, sendo definido o ponto S.
Traçar a linha QS.
A partir do ponto R, traçar uma linha paralela a QS, sendo T o
ponto de intersecção desta linha com NP.
O segmento ST é o quarto proporcional dos segmentos NQ, QR e NS.
Esta
construção auxiliar é fundamentada em ELEMENTOS VI.12,
proposição que determina o quarto proporcional de
três segmentos.
Na linha AB,
aplicar no ponto A um segmento igual a ST, definindo o ponto U.
A partir do ponto U traçar uma paralela a AD que intersecta a
trissectriz de Hípias no ponto V.
Traçar a linha AX que passa no ponto V.
O ângulo XAD tem uma amplitude que é o quarto proporcional
das amplitudes dos ângulos EAD, HAD e KAD, ou seja, de alfa, beta
e gama.
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d)
Construir o meio
proporcional de alfa e beta.
CONSTRUÇÃO
No quadrado ABCD da
Figura 7 são colocados os
ângulos EAD e HAD com as amplitudes alfa e beta, respectivamente.
Os lados AE e AH dos ângulos alfa e beta intersectam a
trissectriz de
Hípias nos pontos F e I, respectivamente.
A partir dos pontos F e I traçar linhas paralelas a AD, sendo
G e J os pontos
de intersecção destas linhas com AB.
Em construção auxiliar, Figura 8, traçar a linha
recta KL.
Na linha KL, aplicar no ponto K um segmento igual a AG, sendo
definido o ponto M.
No ponto M aplicar um segmento igual a AJ, sendo definido o ponto N.
Definir o ponto O
como ponto médio de KN.
Com centro no ponto O definir o semicírculo com
diâmetro KN.
Traçar uma
linha perpendicular à linha KN passando por M, sendo P o ponto
de intersecção da linha perpendicular com a
semicircunferência.
O segmento MP é o meio proporcional dos segmentos KM e MN.
Esta
construção auxiliar é fundamentada em ELEMENTOS VI.13,
proposição que determina o meio proporcional de
dois segmentos.
Na linha AB,
aplicar no ponto A um segmento igual a PM, definindo o ponto Q.
A partir do ponto Q traçar uma paralela a AD que intersecta a
trissectriz de Hípias no ponto R.
Traçar a linha AS que passa no ponto R.
O
ângulo SAD tem uma amplitude que é o meio proporcional
às amplitudes
dos ângulos EAD e HAD, ou seja, de alfa e beta.
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