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ELEMENTOS I.2   E   ELEMENTOS I.3

PROPOSTA            ELEMENTOS I.2            ELEMENTOS I.3            TRABALHOS

ELEMENTOS I.2

PROBLEMA

"Aplicar num ponto dado, uma linha recta igual a outra linha recta dada"



CONSTRUÇÃO

Seja A um ponto dado e BC uma recta dada.

Definir a recta AB, unindo o ponto A ao ponto B. (POSTULADO 1)

Construir o triângulo equilátero ABD. (ELEMENTOS I.1)

Definir a recta AE em prolongamento da recta DA. (POSTULADO 2)

Definir a recta BF em prolongamento da recta DB. (POSTULADO 2)

Descrever o círculo CGH com centro no ponto B e passando no ponto C. (POSTULADO 3)

Descrever o círculo GIJ com centro no ponto D e passando no ponto G. (POSTULADO 3)



PROVA

As rectas BC e BG são iguais dado o círculo CGH com centro em B. (DEFINIÇÃO I.15)

As rectas DL e DG são iguais dado o círculo GIJ com centro em D. (DEFINIÇÃO I.15)

As rectas DA e DB são iguais porque são lados de um triângulo equilátero. (DEFINIÇÃO I.20)

Subtraindo as rectas iguais DA e DB às rectas iguais DL e DG resultam as rectas iguais AI e BG. (AXIOMA 3)

Se AI é igual a BG e BG é igual a BC, então AI é igual a BC. (AXIOMA 1)

Então a recta AI é igual à recta BC aplicada no ponto A.

Q. E. F.














ELEMENTOS I.3

PROBLEMA

"Dadas duas linhas rectas desiguais, definir na maior uma recta igual à menor"



CONSTRUÇÃO

Sejam AB e C duas linhas rectas dadas e que AB seja maior que C.

Pretende-se definir na linha recta AB uma linha recta igual a C.

Aplicar no ponto A a recta C definindo a recta AD. (ELEMENTOS I.2)

Descrever o círculo DEF com centro no ponto A e passando no ponto D. (POSTULADO 3)



PROVA

As rectas AE e AD são iguais dado o círculo DEF com centro em A. (DEFINIÇÃO I.15)

Se AE é igual a AD e AD é igual a C, então AE é igual a C. (AXIOMA 1)

Então a recta AE é a recta C definida na recta AB.

Q. E. F.









ELEMENTOS DE EUCLIDES

ELEMENTOS DE EUCLIDES USADOS NESTE TRABALHO


DEFINIÇÃO I.15

Círculo é uma figura plana, limitado por uma linha, chamada circunferência, de modo que todas as linhas rectas traçadas de um ponto interior para a circunferência são iguais.


DEFINIÇÃO I.20

Das figuras trilaterais, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais, um triângulo isósdeles é o que tem dois lados iguais, um triângulo escaleno é o que tem três lados desiguais.


POSTULADO 1

Traçar uma linha recta de um dado ponto para outro dado ponto.


POSTULADO 2

Prolongar uma linha recta dada até onde for necessário.


POSTULADO 3

Descrever um círculo com centro num dado ponto e que passa noutro dado ponto.


AXIOMA 1

Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.


AXIOMA 3

Se de coisas iguais se subtrair coisas iguais, as diferenças são iguais.


ELEMENTOS I.1

Sobre uma linha recta dada, construir um triângulo equilátero


ELEMENTOS I.2

Aplicar num ponto dado, uma linha recta igual a outra linha recta dada




EUCLID'S ELEMENTS (DAVID JOYCE)
ANTÓNIO N. R. MOURA   -   NOVEMBRO/2003