Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo 2003/04               Desenvolvimento do quadrado de uma soma                                   8.º Ano

 

Sugestões

Sugestão A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uma folha de papel, um lápis e uma régua são indispensáveis... ou o GSP.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Identifica os elementos referidos na proposição: segmento de recta, quadrado e rectângulo.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão A3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naturalmente, sabes o que é um quadrado: quadrilátero com os lados iguais e os quatro ângulos internos rectos.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão A4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naturalmente, sabes o que é um rectângulo: quadrilátero com os quatro ângulos internos rectos.

 

 

 

FIM (Retrocede)

 

Sugestão B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Desenha um segmento [AB] e divide-o em dois segmentos [AC] e [BC], através de um ponto C, qualquer, pertencente a [AB].

A proposição refere 3 quadrados. Já os construíste?

“O rectângulo que as partes contêm”, significa um rectângulo de lados iguais às partes.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Já construíste os 5 quadriláteros? - Três quadrados e dois rectângulos!

Parece que um deles iguala os outros 4, não é isso que diz?

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão B3

 

As 4 peças são:

- dois rectângulos geometricamente iguais;

- dois quadrados de lados iguais ao comprimento e largura dos rectângulos, respectivamente.

 

Cada peça tem dois pontos em vértices opostos. Um deles permite deslocar a peça.
O outro permite rodar a peça em torno do outro vértice.

 

Se não conseguires construir o quadrado, retrocede e vê a Sugestão B4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

É possível construir um quadrado com estas 4 peças?

Experimenta!

H - coloca a peça na horizontal

V - coloca a peça na vertical

Os pontos a vermelho nas linhas amarelas (à esquerda e em baixo) permitem definar as dimensões dos rectângulos

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Ficheiro GSP
(versão 3)


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FIM (Retrocede)

Sugestão B4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Faz esta dobragem:

 

1
Recorta um quadrado de papel e dobra-o segundo uma diagonal.
2
Agora, dobra o quadrado segundo uma dobra paralela a um dos seus lados, à distância que quiseres.
3
Seguidamente, pelo ponto de intersecção das duas primeiras dobras, faz outra dobra paralela agora ao lado do quadrado não considerado na etapa anterior.

 

Bem, agora já conheces uma solução do puzzle da Sugestão B3.

Assim, já és capaz de construir uma figura única associada à proposição de Euclides, não é verdade? Confirma!

 

 

 

FIM (Retrocede)

 

Sugestão C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Considera a figura e recorda a sequência de dobras feitas na actividade da Sugestão B4:

  1. Dado o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se a sua diagonal [AD];

  2. Por C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a  AE quer a BD;

  3. Por G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB quer a DE.

 

Continua!

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Dado o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se a sua diagonal [AD];

  2. Por C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a  AE quer a BD;

  3. Por G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB quer a DE.

 

 

Justifica que [DFGK] e [ACGH] são quadrados, isto é, que cada um deles tem os quatro ângulos rectos e os 4 lados iguas.

 

O ângulo FDK é _______, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE]; Logo, também é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos de ____________________________, internos no mesmo lado da secante (ver 2);

Os ângulos DFG e FGK são também _________________________, internos do mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então também é recto o ângulo _______;

 

Continua...

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão C3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Dado o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se a sua diagonal [AD];

  2. Por C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a  AE quer a BD;

  3. Por G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB quer a DE.


  4. O ângulo FDK é recto, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE]; Logo, também é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos de lados paralelos, internos no mesmo lado da secante (ver 2);

  5. Os ângulos DFG e FGK são também de lados paralelos, internos do mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então também é recto o ângulo FGK;

  6. Os ângulos FGK e GKD são também de lados paralelos, internos do mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo FGK é recto, então também é recto o ângulo GKD;

  7. Portanto, (por 4, 5 e 6) o quadrilátero [DFGK] tem os quatro ângulos rectos.

  8. Vamos agora mostrar que [DFGK] tem os quatro lados iguais:

    Os ângulos BAD e KGD são geometricamente iguais, pois são ângulos de lados paralelos da mesma espécie;

    Mas, no triângulo isósceles [ABD], a lados iguais opõem-se ângulos iguais, pelo que são iguais os ângulos BAD e KDG; consequentemente, são também iguais entre si os ângulos KGD e KDG.

    No triângulo [DGK], a ângulos iguais opõem-se lados iguais, logo são iguais os lados [GK] e [DK].

    Mas, os pares de ângulos DGK com FDG e GDK com FDG são também iguais entre si, respectivamente, pois são ângulos de lados paralelos e da mesma espécie. Consequentemente, pelo critério de igualdade ALA, são geometricamente iguais os triângulos [DGK] e [DFG], pelo que são iguais si [FD], [DK], [KG] e [GF].

    Logo, o quadrilátero [DFGK] tem os quatro lados iguais.

  9. Logo, (por 7 e 8) o quadrilátero [DFKG] é um quadrado.

  10. Por um processo análogo (de 4 a 9), se provaria (prova tu agora) que o quadrilátero [ACGH] é um quadrado.

 

 

 

Justifica agora  que [EFGH] e [ BCGK] são rectângulos e geometricamente iguais.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Dado o quadrado [ABDE], construído sobre o segmento [AB], desenhou-se a sua diagonal [AD];

  2. Por C, pertencente a [AB] desenhou-se a recta CF, paralela a  AE quer a BD;

  3. Por G, intersecção de AD e CF, desenhou-se a recta HK, paralela a AB quer a DE.


  4. O ângulo FDK é recto, pois é um ângulo interno do quadrado [ABDE]; Logo, também é recto o ângulo DFG, pois FDK e DFG são ângulos de lados paralelos, internos no mesmo lado da secante (ver 2);

  5. Os ângulos DFG e FGK são também de lados paralelos, internos do mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo DFG é recto, então também é recto o ângulo FGK;

  6. Os ângulos FGK e GKD são também de lados paralelos, internos do mesmo lado da secante (ver 3) e, como o ângulo FGK é recto, então também é recto o ângulo GKD;

  7. Portanto, (por 4, 5 e 6) o quadrilátero [DFGK] tem os quatro ângulos rectos.

  8. Vamos agora mostrar que [DFGK] tem os quatro lados iguais:

    Os ângulos BAD e KGD são geometricamente iguais, pois são ângulos de lados paralelos da mesma espécie;

    Mas, no triângulo isósceles [ABD], a lados iguais opõem-se ângulos iguais, pelo que são iguais os ângulos BAD e KDG; consequentemente, são também iguais entre si os ângulos KGD e KDG.

    No triângulo [DGK], a ângulos iguais opõem-se lados iguais, logo são iguais os lados [GK] e [DK].

    Mas, os pares de ângulos DGK com FDG e GDK com FDG são também iguais entre si, respectivamente, pois são ângulos de lados paralelos e da mesma espécie. Consequentemente, pelo critério de igualdade ALA, são geometricamente iguais os triângulos [DGK] e [DFG], pelo que são iguais si [FD], [DK], [KG] e [GF].

    Logo, o quadrilátero [DFGK] tem os quatro lados iguais.

  9. Logo, (por 7 e 8) o quadrilátero [DFKG] é um quadrado.

  10. Por um processo análogo (de 4 a 9), se provaria (prova tu agora) que o quadrilátero [ACGH] é um quadrado.


  11. Os pares de ângulos GFD e CGK, KDF e BKG, FGK e GCD e ainda DKG e KBC, são, em cada um dos pares, ângulos de lados paralelos e como os primeiros de cada par são rectos, então todos eles são são rectos.
    Logo, o quadrilátero [CBKG] é um rectângulo.

  12. De forma semelhante (a 11), se provaria que o quadrilátero [EFGH] é um rectângulo.

  13. Ora, [FG] é geometricamente igual a [GK], pois são lados do mesmo quadrado [DFGK]; ainda, [HG] é geometricamente a [CG], pois são lados do mesmo quadrado [ACGH].
    Logo, os rectângulos [BCGK] e [EFGH] são geometricamente iguais.

 

 

 

Agora, só falta concluir, e é fácil...

 

Como ... ... ...

... ... ...

... ... ... Consequente, "Se um segmento de recta [AB] é dividido em dois segmentos [AB] e [BC] ... ... ... ".

 

 

FIM (Retrocede)

 

Sugestão D1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como sabes, a cada segmento de recta está associada a medida do seu comprimento.

Executa a animação:

 

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FIM (Retrocede)

Sugestão D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sabes a tabuada da multiplicação?

É melhor confirmar... e observar!

 

Instruções:
Para executar a multiplicação 3 vezes 5, clique sobre a tecla "3" na primeira coluna e na tecla "5" na primeira linha da tabela. Em seguida, clique sobre a tecla do sinal da igualdade "=" no canto superior direito da tabela.  Usando a tecla "C" podemos mudar a cor dos quadrados. A cor actual é mostrada no canto direito inferior da tabela

SORRY, HERE YOU SHOULD SEE AN APPLET,
BUT YOUR BROWSER IS NOT APPLET ENABLED.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão D3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Conheces a propriedade distributiva da multiplicação? É melhor confirmar!

 

Explora a animação GSP (versão 3):

 

Sabes calcular as medidas da área de um quadrado e de um rectângulo?

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão D4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Certamente, já fizeste a interpretação correcta.

Se tiveres dúvida, chama o professor.

 

 

 

FIM (Retrocede)

 

Sugestão E1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Designa  e , por exemplo.

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A expressão pode ser  ?

Sim, ou não? Porquê?

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão E3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Escolhe valores para a e para b e vê o que vai acontecendo. Para facilitar, podes construir uma tabela:

 
a b a + b (a + b)2 a2 2ab b2 a2 + 2ab + b2
2 1 3 9 4 4 1 9
               
               
               
               
               
               
               
               
               

 

 

Não te esqueças de experimentar para todo o tipo de números que conheces.

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão E4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Então, que concluis?

Tens de concluir alguma coisa, nem que seja a incerteza!

 

 

FIM (Retrocede)

 

Sugestão F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sabes calcular ,  e ?
Não, não! É, respectivamente, 9, 16 e 25. Porquê?

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Então, não será ?
Continua!

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Já disseste, em D, que conhecias a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição!

 

 

 

FIM (Retrocede)

Sugestão F4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Foi fácil? Já provaste?
Se não for o caso, chama o professor.

 

 

 

FIM (Retrocede)

 

 

 

Actualizada em
 22-10-2003