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Os três Problemas Clássicos
da Geometria Grega

    
      Foi no início do período
helénico (século VI a.C.  - séc. V d.C.) que se iniciou o estudo de três problemas geométricos que desafiaram o poder inventivo de inúmeros matemáticos e intelectuais, durante mais de dois mil anos. Durante séculos diversas soluções foram propostas para a resolução destes problemas geométricos mas não estavam de acordo com as regras do jogo, presumivelmente, colocadas na Academia de Platão, onde apenas construções com régua não graduada e compasso eram admitidas. Estes problemas ficaram famosos, talvez por serem os primeiros onde surgem grandes dificuldades de resolução, de acordo com as regras inicialmente colocadas. São conhecidos pelos Três Problemas Clássicos da Geometria Grega
 

Trissecção do Ângulo - o problema de dividir um ângulo arbitrário em três partes iguais; 

Duplicação do Cubo - o problema de construir a aresta de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado; 

Quadratura do Círculo - o problema de construir um quadrado cuja área é igual à de um círculo dado.

      Os problemas da duplicação do cubo e da trissecção do ângulo têm vários pontos em comum: ambos podem ser resolvidos através de secções cónicas; quando traduzidos em linguagem algébrica exprimem-se por equações cúbicas; a prova da impossibilidade de solução com régua não graduada e compasso faz uso da mesma abordagem. Neste Círculo de Estudos analisar as contribuições de vários matemáticos para a resolução destes dois problemas, ao longo do período helénico[1]. No entanto, refira-se que o problema da quadratura do círculo[2] remonta ao antigo Egipto.

     Nos Elementos de Euclides podemos encontrar vários problemas de construções geométricas, cujas soluções podem ser obtidas com o uso exclusivo da régua não graduada e do compasso. Não é o caso dos três problemas clássicos da geometria grega; aliás Papo de Alexandria, no prefácio ao livro III da sua Colecção Matemática, insinua que estes problemas talvez sejam impossíveis de resolver com os instrumentos euclidianos.
     A impossibilidade de resolução, com régua não graduada e compasso, destes dois problemas clássicos da geometria grega, só foi demonstrada no séc. XIX pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel. A demonstração da impossibilidade deve-se ao facto de que as únicas medidas que se podem obter nas construções com régua não
graduada e compasso, são as que se podem obter através da adição, subtracção, multiplicação, divisão e extracção de raízes quadradas a partir de números naturais. Quer a trissecção do ângulo quer a duplicação do cubo envolvem medidas que não podem ser construídas, unicamente, com régua não graduada e compasso.

     Por que será possível bissectar um ângulo mas, geralmente, não o podemos trissectar? Por que se pode duplicar um quadrado, mas não um cubo? Será que estes factos dependem unicamente das regras estabelecidas ou será que dependem dos conhecimentos existentes em geometria?

   


[1] As tentativas de resolução não se limitaram a este período, basta consultar o apêndice do sétimo volume das Obras Sobre Matemática de Gomes Teixeira (Teixeira, F.  – Obras Sobre Matemática, vol. VII, Imprensa da Universidade de Coimbra, Coimbra, 1915) para encontrarmos contribuições de outros matemáticos.

[2]O problema da quadratura do círculo está intimamente ligado à história do cálculo do número. Visto que um círculo de raio r tem de área , o problema de construir um quadrado com a área igual a um dado círculo, cujo raio seja um segmento unitário, é equivalente à construção de um segmento de comprimento para a aresta do requerido quadrado.


 


José Miguel Sousa
Data da última actualização
: 12-10-2003