Sessões de Chat / Novembro 05 / Materiais B

2ª Parte- Ficha de leitura sobre simetria

II. Simetrias nos sólidos platónicos

IIB.

Porquê?

O grupo de simetria do cubo é o mesmo do do tetraedro, pois estes sólidos são duais um do outro. Como consequência, o nº de faces do cubo é igual ao número de vértices do octaedro; o número de vértices do cubo é igual ao número de faces do octaedro e o número de arestas do cubo é igual ao número de arestas do octaedro.

IIC. PROPOSTAS:

CUBO :

Eixo de rotação	Amplitude de rotação
HB	120º (grau 3)
MN, sendo M e N os centros de duas faces opostas	90º (grau 4)
PQ, sendo P e Q os pontos médios de duas arestas paralelas não complanares	180º (grau 2)

OCTAEDRO:

Eixo de rotação	Amplitude de rotação
EF	90º (grau 4)
MN, sendo M e N os pontos médios das arestas opostas [EA] e [FC], por exemplo	180º (grau 2)
PQ, sendo P e Q os centros das faces opostas [EDC] e [ABF], por exemplo	120º (grau 3)

DODECAEDRO:

Eixo de rotação	Amplitude de rotação
MF	120º (grau 3)
A´B´, sendo A´ e B´ os centros das faces [DCHMI] e [FOPQK], por exemplo	72º (grau 5)
M´N´, sendo M´ e N´ os pontos médios das arestas [MS] e [AF].	180º (grau 2)

ICOSAEDRO:

Eixo de rotação	Amplitude de rotação
IB	72º (grau 5)
MN, sendo M e N os pontos médios das arestas [EI] e [BG], por exemplo	180º (grau 2)
PQ, sendo P e Q os centros das faces [ABC] e [IJL], por exemplo	120º (grau 3)

CUBO :

Plano de reflexão

EGC ou HDB

EFC , EHB, HGB e FBA

MNP, sendo M , N e P os pontos médios das arestas EA, FB e GC, respectivamente

OCTAEDRO:

Plano de reflexão

FBE

FCE

ABC

DODECAEDRO:

Plano de reflexão

HMF

GQT

MLF

ICOSAEDRO:

Plano de reflexão

AGL

DKF

EJG

IIF. INVERSÕES CENTRAIS

Existe um centro no tetraedro?

Não, porque no tetraedro não encontramos nenhum ponto relativamente ao qual, efectuando uma rotação de 180º, o tetraedro se mantém invariante.

Como podem ser definidos os centros nos sólidos platónicos?

No CUBO, o centro é o ponto de intersecção das diagonais espaciais.

No OCTAEDRO, o centro é o ponto de intersecção das diagonais espaciais.

No DODECAEDRO, o centro é o ponto de intersecção dos segmentos de recta que unem os centros de duas faces paralelas.

No ICOSAEDRO, o centro é o ponto de intersecção dos segmentos de recta que unem os centros de duas faces paralelas.

De um modo geral, o centro de um sólido platónico é o ponto de intersecção dos segmentos de recta que unem os centros de duas faces paralelas. Como no tetraedro não existem faces paralelas, pensamos que este é o motivo pelo qual não existe centro neste sólido.

III. Grupos Cíclicos e Diedrais

Proposta A:

Como poderá dizer de uma maneira simples o que é uma figura limitada?

Quando as suas simetrias são reflexões ou rotações.

Grupo cíclico ou diedral; simetrias das figuras apresentadas:

Figura (A):

§ 7 rotações de centro no centro da figura e amplitude 360º / 7;

§ 7 reflexões segundo os eixos que passam no "meio" / centro dos "laços";

§ É um d7.

Figura (B):

§ 6 rotações de centro no centro da figura e amplitude 60º;

§ Não tem reflexões;

§ É um C6.

Figura (C):

§ Uma rotação (Identidade) cujo centro é o ponto médio da base da moldura da figura e amplitude 360º;

§ Uma reflexão segundo o eixo que passa no centro da boca do atleta, perpendicular à base da moldura da figura;

§ É um d1.

Figura (D):

§ 6 rotações de centro no centro da flor e amplitude 60º;

§ 6 reflexões segundo os eixos que passam pelo "meio" das pétalas;

§ É um d6.

Figura (E):

§ 4 rotações de centro no centro da figura e amplitude 90º;

§ 4 reflexões segundo os eixos que passam pelo eixo de simetria de cada flor interior;

§ É um d8.

Figura (F):

§ 1 rotação de centro no centro da figura e amplitude 360º (Identidade);

§ 1 reflexão segundo um eixo horizontal que "corta a figura a meio";

§ É um d1.

Proposta B:

d1: papagaio que não seja losango;

d2: losango que não seja um quadrado;

C1: triângulo escaleno;

C2: não encontrámos nenhum polígono que seja um C2. No entanto, apresentamos a seguinte figura que, apesar de não ser um polígono, é um C2:

IV. Padrões

(A)

Rotações

. Rotação de centro no centro do padrão e de grau 4;

. Rotação de centro no centro da flor e de grau 4.

Reflexões

. Não tem

Translações

. 8 translações segundo vectores que fazem entre si ângulos de 45º e cujo medida de comprimento é igual à distância entre o centro de duas flores.

Reflexões Deslizantes

. Não tem

(B)

Rotações

. Não tem

Reflexões

. Não tem

Translações

. 4 translações segundo vectores paralelos aos eixos coordenados (consideramos aqui o r.o.n. na posição habitual) e de medida de comprimentos igual à distância entre as tiras centrais dos padrões;

. 2 translações segundo vectores oblíquos (paralelos às tiras centrais) e de medida de comprimentos igual à distância entre duas “pétalas”;

Reflexões Deslizantes

. Não tem

(C)

Rotações

. Rotação de centro no ponto central de cada trio de folhas e de grau 3;

. Rotação de centro no ponto isolado e de grau 3.

Reflexões

. Não tem

Translações

. 4 translações segundo vectores paralelos aos eixos coordenados e cuja medida de comprimento é igual à distância entre dois pontos isolados;

. 4 translações segundo vectores que fazem ângulos de 45º em relação aos anteriores e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os pontos centrais de dois trios de folhas consecutivos;

Reflexões Deslizantes

. Não tem

(D)

Rotações

. Rotação de centro no ponto central de cada flor e grau 6;

. Rotação de centro no circuncentro do triângulos cujos vértices são os centros de três flores consecutivas e de grau 3.

Reflexões

. Não tem

Translações

. 2 translações segundo vectores paralelos aos eixo das abcissas e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os centro de duas flores consecutivas;

. 2 translações segundo vectores paralelos aos eixo das ordenadas e cuja medida de comprimento é igual ao dobro do comprimento referido anteriormente;

. 4 translações segundo vectores que fazem ângulos de 45º em relação aos anteriores e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os centro de duas flores consecutivas.

Reflexões Deslizantes

. Não tem

(E)

Rotações

. Rotação de centro no ponto central de cada flor e grau 6;

. Rotação de centro no circuncentro do triângulos cujos vértices são os centros de três flores consecutivas e de grau 3.

Reflexões

. 1 reflexão segundo o eixo horizontal que divide ao quadrado ao meio.

. 1 reflexão segundo o eixo horizontal que contêm um dos lados do quadrado.

Translações

. 4 translações segundo vectores paralelos aos eixos coordenados e cuja medida de comprimento é igual ao comprimento do lado do quadrado;

. 4 translações segundo vectores que fazem ângulos de 45º em relação aos anteriores e cuja medida de comprimento é igual ao comprimento da diagonal do quadrado.

Reflexões Deslizantes

. 16 reflexões que são triviais pelas composições anteriores.

(F)

Rotações

. Rotação de centro no ponto centro de cada “S” e de grau 2;

. Rotação de centro no centro na circunferência que passa pelos vértices dos “s” e de grau 4.

Reflexões

. Não tem.

Translações

. 8 translações que fazem entre si ângulos de 45º e comprimento obvio.

Reflexões Deslizantes

. Não tem.

(G)

Rotações

. Rotação de centro no ponto centro de cada “S” e de grau 2;

. Rotação de centro no centro na circunferência que passa pelos vértices dos “s” e de grau 4.

Reflexões

. 1 reflexão segundo o eixo que contém o eixo (horizontal) de simetria de uma “árvore”

Translações

. 8 translações que fazem entre si ângulos de 45º e comprimento obvio.

Reflexões Deslizantes

. 8 reflexões que são triviais pelas composições anteriores.

(H)

Rotações

. Não tem

Reflexões

. 1 reflexão segundo o eixo horizontal que divide a flor em duas partes iguais.

Translações

. 4 translações segundo vectores paralelos aos eixos coordenados e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os centros de duas flores consecutivas;

. 4 translações segundo vectores que fazem ângulos de 45º em relação aos anteriores e cuja medida de comprimento à distância entre os centros de duas flores alternadas na diagonal.

Reflexões Deslizantes

. 8 reflexões que são triviais pelas composições anteriores.

(I)

Rotações

. Rotação de centro no “jarrão” (padrão) e de grau 2

Reflexões

. 1 reflexão segundo o eixo vertical que divide o “jarrão” verticalmente ao meio.

. 1 reflexão segundo o eixo horizontal que divide o “jarrão” horizontalmente ao meio.

Translações

. 2 translações segundo vectores paralelos aos eixo das abcissas e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os centros de dois “jarrões” na horizontal;

. 2 translações segundo vectores paralelos aos eixo das ordenadas e cuja medida de comprimento é igual à distância entre os centros de dois “jarrões” na verticais;

. 4 translações segundo vectores oblíquos paralelos aos segmentos que unem os centros de dois “jarrões” consecutivos na diagonal.

Reflexões Deslizantes

. 16 reflexões que são triviais pelas composições anteriores.

(J)

Rotações

. Não tem

Reflexões

. 1 reflexão segundo o eixo horizontal que divide o friso ao meio.

Translações

. 2 translações segundo vectores horizontais, mas de sentidos opostos, cujo medida de comprimento é igual à distância entre os centros de duas “flores” consecutivas;

Reflexões Deslizantes

. Não tem

(K)

Rotações

. Não tem

Reflexões

. Não tem

Translações

. 2 translações segundo vectores horizontais, mas de sentidos opostos, cujo medida de comprimento é igual à distância entre os centros de duas “caracóis” consecutivas;

Reflexões Deslizantes

. Não tem

Notas:

1) Não consideramos as translações quando o vector associado resulta da soma de dois vectores já considerados anteriormente.

2) Existiu alguma dificuldade em “descrever” as isometrias pela linguagem corrente. Como poderemos fazer esta “descrição” de modo a ser mais perceptível por outros leitores ?

Trabalho realizado pelo grupo de Mangualde: Conceição Armas; Carla Cunha e José Miguel