A. Construção de dois triângulos congruentes.
Dois triângulos no plano dizem-se congruentes, ou geometricamente iguais, quando os podemos sobrepor ponto por ponto. A construção seguinte baseia-se na construção efectuada pelo colega Agostinho Santos (EB2,3 do Viso- Viseu) na sessão de chat do dia 15/10.
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Repare-se que os triângulos ABC e DEF mantêm-se congruentes qualquer que seja o "arrastamento" que se efectue, mudando os triângulos de posição no plano.
B. Dois triângulos ABC e DEF congruentes com a mesma orientação.
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Os dois triângulos (congruentes) têm a mesma orientação, visto que: "se efectuarmos um caminho no triângulo ABC, de A para B e depois de B para C e depois de C para A, o interior do triângulo está à nossa direita e se no triângulo DEF efectuarmos um caminho de D para E e depois de E para F e depois de F para D, o interior do triângulo está também à nossa direita".
Questão:
a) Existe alguma translação que transforme ABC em
DEF? Quantas? Como são definidas?
Resposta: Sim. A translação definida pelo vector AD (ou BE ou CF).
Questão:
b) Existe alguma reflexão que
transforme ABC em DEF? Quantas? Como são
definidas?
Resposta: Não, porque uma reflexão iria mudar a orientação do triângulo inicial (pela reflexão obtemos um triângulo congruente com o inicial mas de orientação oposta).
Questão:
c) Existe alguma rotação que transforme ABC em
DEF? Quantas? Como são definidas?
Resposta: Sim, uma. A rotação cujo centro de rotação é o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos AD, BE e CF e cujo ângulo de rotação é o ângulo AOD. .
Cf. --».htm (Javasketch)
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C. Dois triângulos ABC e DEF congruentes com orientações opostas.
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Os dois triângulos (congruentes) têm orientações opostas, visto que: "se efectuarmos um caminho no triângulo ABC, de A para B e depois de B para C e depois de C para A, o interior do triângulo está à nossa direita e se no triângulo DEF efectuarmos um caminho de D para E e depois de E para F e depois de F para D, o interior do triângulo está à nossa esquerda".
Questão:
a) Poderá existir alguma translação que transforme
ABC em DEF?
Resposta: Não, porque se existisse uma translação esta conservaria a orientação do triângulo inicial. Se os triângulo são congruentes com orientações opostas não se conserva a orientação do triângulo inicial.
Questão:
b) Poderá existir alguma rotação que
transforme ABC em DEF?
Resposta: Não, porque se existisse uma rotação esta conservaria a orientação do triângulo inicial. Se os triângulo são congruentes com orientações opostas não se conserva a orientação do triângulo inicial.
Questão:
c) Poderá existir alguma
reflexão que transforme ABC em DEF?
Resposta: Sim, Quando os triângulos são simétricos. Dados dois triângulos quaisquer (congruentes com orientações opostas) temos de os mover até que seja possível considerar como eixo de reflexão a recta que se obtém quando são coincidentes as mediatrizes dos segmentos AD, BE e CF.
Cf. --» .htm (Javasketch) ; .gsp ; .sit
Questão:
d) Poderá
encontrar uma posição relativa dos dois triângulos em que possa afirmar que não
existe nem uma translação, nem uma rotação, nem uma reflexão que transforme
ABC em DEF? Se a resposta for afirmativa, coloque os
triângulos numa dessas posições e prossiga para a alínea e)
Resposta: Sim, cf. com a seguinte imagem --»
Questão:
e) Construa um eixo de reflexão e e um segmento KL paralelo a e de tal modo que a composição da reflexão de eixo e da translação definida pelo segmento KL transforme ABC em DEF.
Resposta: Dados dois triângulos (congruentes com orientações opostas) que estejam num posição análoga à considerada na alínea anterior, a ideia é descobrir o eixo de reflexão e o segmento KL (vector da translação) de tal modo que a reflexão deslizante aqui em causa permita obter o segundo triângulo a partir do triângulo inicial.
Após algum tempo de investigação/experimentação (mexer, mudar, mexer, ... ) chegou-se à seguinte solução*:
Dados dois triângulos (congruentes com orientações opostas) ABC e DEF, construímos os segmentos AD, BE e CF. Marcamos o ponto médio de cada um destes segmentos e construímos a recta que passa por dois desses pontos (como eles são colineares a recta passa pelos três pontos). A recta assim obtida será o eixo de reflexão e, através do qual vamos reflectir o triângulo inicial ABC, obtendo como imagem um triângulo A´B´C´. Consideramos o segmento B´E (que é paralelo ao eixo de reflexão e) , este é o segmento KL procurado, isto é, o vector da translação em causa. Está assim encontrado o eixo de reflexão e o vector de translação que definem a reflexão deslizante em causa.
* Pessoalmente penso que poderá não ser a única, visto que aqui a isometria em causa (a reflexão deslizante) é uma composição de isometrias. Se tiver tempo vou "analisar" no assunto.
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Assim constatamos, de um modo experimental, o
Teorema da Classificação das Isometrias (de Michel Chasles (1793-1880)):
Toda a isometria (em R2) é uma reflexão, uma translação, uma rotação, ou uma reflexão deslizante.
Demonstração (consultar*):
Oliveira, A. J. Franco de (1997) - Transformações Geométricas, pp. 152-157, Universidade Aberta, Lisboa.