Composição (produto) de simetrias nos frisos

Trabalho realizado pelo grupo de Mangualde (Conceição, Carla e Miguel).

Favor consultar a metodologia utilizada na elaboração deste  trabalho, descrita no Fórum.

Neste texto o Material do Formador está a  negro e as " respostas" a azul.

 

1. Temos num friso:

• simetria de translação "horizontal" T (com vector de módulo mínimo);
• simetria de reflexão de eixo vertical (RV),
• simetria reflexão horizontal (RH),
• simetria de meia-volta (MV),
• simetria de reflexão deslizante (RD).

Questão importante: poderão existir num friso duas simetrias de translação diferentes, sem que uma seja uma potência inteira da outra? Não, deixaria de ser friso. 

2. Translação e reflexão vertical

Suponhamos que num friso existe, além da simetria de translação T, uma simetria de reflexão vertical RV(e) -- e é o eixo vertical. A composição destas duas simetrias ainda é uma simetria do friso, está claro. De que tipo de isometria se trata?

Investigação no Sketchpad - Composição RV(e) o T

• Que isometria é a a transformação RV(e) o T ?  É uma reflexão vertical, cujo eixo é a mediatriz do segmento DD´´, onde D´´ é a imagem de D pela transformação RV(e) o T. Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_2a1.gsp 
• Será a composição comutativa? Não, a composição não é comutativa.
• Note que T² também é uma simetria do friso, se T o for. Estude as composições RV(e) o T² e T² o RV(e);
  Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_2a2.gsp 
• Em resumo, o que pode concluir acerca das simetrias de um friso que tem, além da translação, uma simetria de reflexão vertical? São meias-voltas em que o centro é o ponto médio do segmento DD´´, onde D´´ é a imagem de D pela transformação RV(e) o T. Estas isometrias (as composições) não são comutativas.

 Nota: Chegamos a esta conclusão sem consultar o ficheiro Java1 publicado pelo formador. Concluímos a partir da analise do que  se passa com o ponto D e, também, analisando algumas imagens de friso, do último chat.

3. Translação e reflexão horizontal

Se num friso existe, além da simetria de translação T, uma simetria de reflexão horizontal, que outras simetrias obtemos pela composição das translações e da reflexão horizontal? É claro que obteremos reflexões deslizantes, mas triviais, dado que tanto as translações (T e as suas potências) como a reflexão horizontal (coincidente com a "linha média" do friso), são de simetria. Estamos plenamente de acordo, é uma conclusão obvia.

4. Translação e meia-volta

Suponha agora que além da simetria de translação T existe uma simetria de meia-volta em torno de um centro U (note que este centro estará situado sobre a "linha média" do friso), MV(U). O que resultará da composição das duas simetrias?

 Investigação no Sketchpad - Composição  MV(U) o T

• Que isometria é a a transformação MV(U) o T ? É uma meia-volta de centro M, em que M é o ponto médio do segmento DD´´ , onde D´´ é a imagem de D pela transformação MV(U) o T. Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_4a1.gsp 
   
• Será a composição comutativa? Não, a composição não é comutativa.
   
• Note que T² também é uma simetria do friso, se T o for. Estude as composições MV(U) o T² e T² o MV(U);
  Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_4a2.gsp 
• Em resumo, o que pode concluir acerca das simetrias de um friso que tem, além da translação, uma simetria de meia-volta? São meias-voltas em que o centro é o ponto médio do segmento DD´´, onde D´´ é a imagem de D pela transformação MV(U) o T. Estas isometrias (as composições) não são comutativas.

 

Nota: Chegamos a esta conclusão sem consultar o ficheiro Java1 publicado pelo formador. Concluímos a partir da analise do que  se passa com o ponto D e, também, analisando algumas imagens de friso, do último chat.

 

5. Translação e reflexão deslizante

Imagine um friso que não tenha uma simetria de reflexão horizontal mas tenha uma simetria de reflexão deslizante RD (em que o eixo de reflexão coincide necessariamente com a "linha média" do friso), além da simetria de translação T. Estude as seguintes questões:

a) Pode o vector de translação de RD ser arbitrário? Ou seja, pode ele não ter qualquer relação com o vector da translação T? Para investigar esta situação, note que se um friso admite uma reflexão deslizante RD, as potências de expoente inteiro de RD também são simetrias do friso; tente ver por exemplo, utilizando o Sketchpad, que tipo de isometria é RD² = RD o RD; e pense depois se, dada a translação de simetria T, RD pode ser arbitrária. Não pode ser arbitrária, é uma translação em que o vector associado  tem metade do comprimento de T.

b) Pode a translação associada a RD ser igual a uma potência inteira n de T? Estude os casos n = 1 (veja qual é a isometria T o RD^-1), n = 0 e tente tirar uma conclusão. Concluímos que não. A translação associada a RD terá de ter comprimento 1/2 do comprimento de T,  3/2, 5/2, ... . Ou seja, comprimento da forma (2x+1)/2, com x inteiro. Este facto pode ser ilustrado pelo friso da figura (P).

c) Do que concluiu anteriormente, deduza qual a relação "obrigatória" entre a translação associada a RD e a translação (mínima) de simetria do friso. A translação associada a RD terá de ter comprimento metade da translação (mínima) de simetria do friso T.

6. Translação, reflexão vertical e reflexão horizontal.

Já vimos que tem reflexões deslizantes triviais, resultantes da composição das translações com a reflexão horizontal. Vimos também que a composição das translações com a reflexão vertical dão novas simetrias de reflexão vertical.

Resta ver quais são as simetrias que resultam da composição das simetrias de reflexão vertical com a simetria de reflexão horizontal. estude esta questão, recorrendo ao Sketchpad se entender necessário ou para verificação de alguma conjectura que tenha feito. São meias-voltas em que o centro é o ponto médio do segmento DD´´, onde D´´ é a imagem de D pela transformação RV(e) o RH(h). Estas isometrias (as composições) são comutativas. O centro da meia-volta é o ponto de intersecção dos eixos de reflexão em causa. Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_6a.gsp 

7. Translação, reflexão deslizante e reflexão vertical

Falta-nos ver, neste caso, que simetrias resultam da composição de uma reflexão deslizante com uma simetria de reflexão vertical. faça esta investigação no Sketchpad e conclua se este tipo de frisos possui ainda simetrias de outro tipo.

São meias-voltas em que o centro é o ponto médio do segmento DD´´, onde D´´ é a imagem de D pela transformação RV(e) o RD. Estas isometrias (as composições) não são comutativas. O centro da meia-volta é o ponto sobre o eixo de reflexão da RD. Ver ficheiro de investigação no Sketchpad: 3Dez_7a.gsp