Didáctica da Análise Matemática

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Joaquim Pinto

Trabalho 2

 

Tarefa 2

Texto de Apoio: A definição de função contínua

 

 

 

Reflexão sobre o ensino da noção de função contínua:

O que diz o actual Programa Matemática do Ensino Secundário, na página 20:

“Estudo intuitivo tanto a partir de um gráfico particular como usando calculadora gráfica de propriedades das funções e dos seus gráficos (domínio, contradomínio, pontos notáveis,  monotonia, continuidade…”

A noção de função contínua é ensinada no ensino secundário de uma forma intuitiva no 10º ano, pedindo aos estudantes que desenhem o gráfico de uma função sem levantar o lápis do papel.

A partir daqui, apela-se progressivamente ao rigor, mas não formalismo, de modo a que se chegue a uma definição coerente e auto-contida de continuidade.

 

 

Definição: [Função Contínua]

 

Deborah Hughes-Hallett, Andrew M. Gleason, e tal.

“Cálculo  volume 1”

LTC Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1997

 

Página 135

Limites e Continuidade

O Apêndice B descreve, informalmente, o que significa uma função ser contínua. O apêndice explica como se faz para reconhecer, a partir do gráfico, se uma função é contínua ou não: o gráfico não pode ter saltos, quebras e nem furos. Numericamente, uma função é contínua se valores da variável independente próximos entre si, geram valores da função que estão tão próximo um do outro quanto desejarmos.

Vamos, agora, dar uma definição mais precisa de continuidade. Suponha que  seja uma função contínua de , em algum intervalo, e que  esteja nesse intervalo. Então, se  está próximo de , sabemos que  está próximo de . De facto, quanto mais  se aproxima de , mais  se aproxima de . Assim, quando , o limite de  deve ser . Os matemáticos usam esta ideia e a notação de limites para dar uma definição formal de continuidade.

A função  é contínua em  se

.

 

Página  A11 (347)

Apêndice B Continuidade e cotas

 

Qual é a interpretação gráfica de continuidade?

Dizemos que uma função é contínua num intervalo se o seu gráfico não tem quebras, saltos ou furos nesse intervalo. Uma função contínua tem um gráfico que pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.

Exemplo: A figura B.9 mostra que  não é contínua em nenhum intervalo contendo a origem, por causa da quebra em , onde a função  não está definida.

Figura B.9

Exemplo: A função , tem parte do seu gráfico dado pela Fig. B.10. Como a função  não está definida em , o gráfico tem um furo nesse ponto. Esta função não é contínua em nenhum ponto contendo a origem.

Figura B.10

(…)

 

Qual é a interpretação numérica de continuidade?

Uma função é contínua se valores próximos da variável independente geram valores próximos da função. Na prática, a continuidade é importante porque ela quer dizer que pequenos erros na variável independente levam a, relativamente, pequenos erros no valor da função.

Exemplo: Suponha que  e que queremos calcular . Sabendo que a função  é contínua, então sabemos que tomando  obtemos uma relativamente boa aproximação para , e que podemos obter mais precisão em  considerando mais dígitos na precisão de .”

 

Comentário à definição apresentada:

Escolhemos esta definição, porque para lermos o actual Programa de Matemática do Ensino Secundário (Matemática Programas 10º, 11º E 12ª Anos, Janeiro de 1997), devemos ter sempre presente as fontes que estiveram por trás dele, em especial quando surgem dúvidas. Ora, a definição de função contínua aparece pela primeira vez no 10º Ano, e deve ser abordada de maneira intuitiva. Como?

Foi na tentativa de responder a esta questão que procuramos, na bibliografia do programa, as fontes e encontramos a citada acima, que por si só é auto-contida e não deixa qualquer margem de dúvida acerca do modo de leccionar a referida definição.

Mais: por um lado, permite-nos trabalhar usando tecnologia (veja-se os exemplos apresentados); por outro lado, deixa em aberto a futura formalização, se tal for necessário.

Podemos mesmo afirmar, que esta definição será a “melhor” para trabalhar ao nível do Ensino Secundário, dada a sua “simplicidade”.

Esta definição ajuda-nos ainda a esclarecer uma questão que frequentemente se coloca: “A da continuidade de uma função no seu domínio!”

Até pelo exemplo apresentado, , esta questão não se deve colocar, pois à luz desta definição, a presente função não é contínua!

Assim, não faz sentido em falar na continuidade no seu domínio, pois estamos ir contra a nossa intuição de continuidade.