Divisão de uma circunferência em 2, 4, 8, … partes iguais

 

 

Traçar a circunferência de centro O.

Ao traçar um diâmetro qualquer divide-se a circunferência em duas partes iguais – dois ângulos de 180º, pontos A e B.

 

 

 

Ao determinar a bissectriz de um dos ângulos e a prolongarmos dividimos a circunferência em quatro partes iguais – quatro ângulos de 90º, pontos C e D.

Também se pode considerar que se está a determinar a mediatriz de [AB].

 

 

 

Os quatro pontos determinados pela intersecção do diâmetro e bissectriz com a circunferência – A, B, C e D – unidos consecutivamente definem um quadrado.

 

 

Ao determinar as bissectrizes de dois ângulos e as prolongarmos, dividimos a circunferência em oito partes iguais – oito ângulos de 45º – ou seja obtemos oito pontos A, B, C, D, E, F, G e H.

 

 

 

Unindo esses pontos consecutivamente obtemos um polígono regular – octógono.

 

 

Unindo os pontos alternadamente, mantendo sempre a mesma sequência – dois a dois ou três a três – obtemos um polígono estrelado de oito pontas.

 

 

 

 

 

 

Divisão de uma circunferência em 3, 6, 12, … partes iguais

 

Traçar a circunferência de centro O.

Traçar o diâmetro [AB].

Com centro em A, abertura até O, traçar o arco de circunferência que intersecta a circunferência em 1 e 2.

Os pontos 1, 2 e B(3), dividem a circunferência em três partes iguais...

 

 

 

podendo-se a partir destes traçar um triângulo equilátero.

 

 

 

Com centro em B, abertura até O, traçar o arco de circunferência que intersecta a circunferência em 4 e 5.

Os pontos 1, 2, B(3), 4, 5 e A(6) dividem a circunferência em seis partes iguais, …

 

 

 

 

 podendo-se a partir destes traçar um hexágono …

 

 

 

 

ou um polígono estrelado de seis pontas.

 

 

 

Se determinar as bissectrizes dos seis ângulos que dividem a circunferência em seis partes iguais, obtêm-se a divisão em doze partes iguais…

 

 

 

 

…podendo-se traçar o polígono regular, o dodecágono …

 

 

 

ou polígonos estrelados de doze pontas

 

 

 

 

 

 

Divisão de uma circunferência em 5, 10, … partes iguais

 

Traçar a circunferência de centro O.

Traçar o diâmetro [AB] e a sua mediatriz 1.

Traçar a mediatriz de [OB] C.

Com centro em C, com abertura até 1, traçar o arco de circunferência que intersecta [AB] em D.

Com centro em 1, com abertura até D, traçar o arco de circunferência que intersecta a circunferência em 2.

Com o compasso, mantendo a abertura anterior – de 1 a 2 – traçar a partir de 2 ou 1, os pontos 3, 4 e 5.

Estes cinco pontos dividem a circunferência em cinco partes e ângulos iguais, …

 

 

 

 

… Podendo-se a partir destes traçar um polígono regular, o pentágono …

 

 

 

 

ou um polígono estrelado de cinco pontas.

 

 

 

 

Se determinarmos as bissectrizes dos cinco ângulos, que neste caso basta unir e prolongar os pontos determinados com o centro da circunferência, dividimos a circunferência em 10 partes iguais.

 

 

 

 

… Podendo-se a partir destes pontos traçar um polígono regular, o decágono …

 

 

ou polígonos estrelados de dez pontas.

 

 

 

 

 

Divisão de uma circunferência em n partes iguais – método geral

(no exemplo divide-se em sete partes iguais)

 

Traçar a circunferência de centro O.

Traçar o diâmetro [AB].

Dividir o diâmetro em sete partes iguais – se for para dividir a circunferência em sete partes iguais – para determinar o ponto 2.

Com centro em A e posteriormente em B, com uma abertura igual ao diâmetro, traçar dois arcos de circunferência que se intersectam em C.

Traçar a semi-recta que contém C, 2 e que intersecta a circunferência em 2”.

Com a abertura que vai de 1”(A) a 2”, a partir deste último ponto, determinar os restantes pontos.

 

 

… Podendo-se a partir destes pontos traçar um polígono regular, o heptágono …

 

 

 

ou polígonos estrelados de sete pontas.

 

 

NOTA – Com este método pode-se dividir a circunferência num número qualquer de partes iguais.

Um polígono com nove lados denomina-se por eneágono e com onze, undecágono.