Estudar Matemática
Alcino Simões e Sónia Frade, Mar. 98

Ficha de Reflexão

O Que é a Matemática?

"A matemática não é apenas outra linguagem: 
é uma linguagem mais o raciocínio; 
é uma linguagem mais a lógica; 
é um instrumento para raciocinar". 

Richard P. Feynman

[ Lê estas páginas em voz alta e com lápis e papel à mão]

Como surgiu a matemática?

 

     As origens da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos matemáticos de que se tem conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o homem foi reflectindo acerca do que se sabia e do que se queria saber. Algumas tribos apenas conheciam o "um", "dois" e "muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e a medida de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos primeiros livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a construção dos teoremas da geometria e foram utilizados no ensino em todo o mundo até ao século XVII. Mesmo a antiquíssima Astrologia proporcionou o desenvolvimento da matemática, ao exigir a construção de definições e o rigor no cálculo das posições dos astros.

            A matemática começou por ser "a ciência que tem por objecto a medida e as propriedades das grandezas" (dicionário), mas actualmente é cada vez mais a ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as matemáticas são a ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstractas de qualquer natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.

            A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos matemáticos populares ([ 2] p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm alguns conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como medições, proporções, desenhos geométricos que se vêem no artesanato (como a cestaria).

            A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das sociedades (Ap. A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que possui mais conhecimentos de matemática tem maior poder traduzido nas máquinas mais perfeitas e melhor adaptadas.

            Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam despender tempo no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a monarquia e o clero deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática, passando este papel a ser desempenhado pelas universidades e pelas empresas (como por exemplo a IBM). Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não consiste apenas em demostrar teoremas ou em fazer contas, ela um autêntico tesouro para a civilização devido aos diversos conhecimentos envolvidos. E sabendo isso, actualmente poucos são os países em que não se cria matemática nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas exclusivamente de matemática.
 

Onde podemos encontrar a matemática?

 

            Nos livros, filmes, desenhos, computadores e um pouco por toda a natureza.

            Poderemos ver um "segmento de recta" na aresta de um edifício, uma circunferência vê-se na ondulação da superfície da água quando deixamos cair um objecto, uma secção da elipse pode ser observada na parede de um poço redondo iluminado pelo sol, as sombras dos objectos representam figuras geométricas, na disposição das pétalas de uma flor podem encontrar-se simetrias, o batimento cardíaco pode ser um exemplo de uma sucessão, o ar move-se num percurso espiralado, etc. "O estudo aprofundado da natureza é a fonte mais fecunda das descobertas matemáticas" (Joseph Fourrier). Assim, até parece que "o universo impôs a matemática à humanidade" ([ 1] p76).

   "Aquela por vezes cristalina [ ...] e por vezes difusa substância [ ...] que é a matemática" (Imre Lakatos), trata de figuras, sólidos e suas propriedades na Geometria; sintetiza problemas do comércio, seguros e finanças através da Álgebra e da Análise; estuda e estrutura dados com a Estatística; desenvolve a Química e a Física com a Análise; estuda os percursos rodoviários e aéreos com a Teoria de grafos; apoia a estrutura das línguas com a Lógica. A esta matemática que é utilizada fora de si mesma chama-se matemática aplicada. E milhares de outras subcategorias da matemática podem aplicar-se a diversos outros saberes (Ap. C). Até a investigação criminal poderia bem ser considerada um ramo da matemática, como chegou a afirmar Conan Doyle.

            Mas muita matemática que se faz actualmente não é imediatamente aplicável, podendo vir a ser um forte contributo para as teorias de outros saberes ou a ficar para sempre esquecida.

          A matemática é cada vez menos fruto do trabalho isolado de uma pessoa. Mas antes resulta de um grupo de matemáticos ou das relações profissionais entre várias pessoas. Ou ainda, é um esforço que pode demorar séculos. 

             Ao longo da história muitos homens contribuíram significativamente para o seu desenvolvimento (Ap. B). O trabalho de um foi analisado por outro matemático e assim sucessivamente até ao presente, sendo muitas vezes melhorado.

            Nem sempre o que um matemático faz está correcto. Ele também se engana. Não é um ser superior nem vive em casulos. E quando um erro lhe é apontado, verifica, reconhece-o e agradece com delicadeza.

         Que ferramentas são necessárias para a investigação matemática? Muitos podem pensar que é suficiente um lápis e muita massa cinzenta. Mas a matemática não é feita apenas dentro da cabeça. Há muitos utensílios que auxiliam a sua produção: o compasso desenha circunferências; a régua traça segmentos de rectas;o esquadro desenha 

ângulos; o transferidor mede a amplitude de um ângulo; o pantógrafo desenha figuras semelhantes; a calculadora efectua cálculos; . . . ; o computador representa objectos impossíveis.

            Uma ferramenta cada vez mais precioso é o computador. Com ele é agora possível fazer cálculos que um homem levaria anos a fazer.

            Com estes instrumentos, a matemática também pode construir realidades.  

A matemática e os outros saberes

 

            O conhecimento matemático distingue-se de todos os outros saberes pelo seu carácter abstracto. As suas definições são fixas e existem num mundo coeso e imaginário.

            Mas os conceitos matemáticos estão intimamente relacionados com a vivência e a percepção das coisas, originando por vezes algumas "aparentes" contradições: o zero (0) impõe uma existência de notação para o que não existe, para o nada; os números negativos demonstram uma contagem do que não se tem, dos débitos; o infinito (¥ ) é um conceito do que está para além de tudo, mas é tratado como se fosse um número; etc. As definições matemáticas existem e têm significado na matemática.

            Mas alguém alguma vez desenhou uma recta? Uma esfera? Um quadrado? Não!!

            Os conceitos matemáticos são aproximações mais ou menos adequadas à realidade. Esta é muito mais complexa. E quem aplica a matemática à realidade deverá ter sensatez e sabedoria. Deste modo, a criação matemática e a sua utilização depende da sociedade e dos seus valores.

            O matemático Hersh afirmou que a abstracção é a alma da matemática. Partindo de algumas ideias ou princípios e tendo por base algumas regras bem definidas, criam-se novas definições das quais muitas vezes se inferem propriedades. O alemão Novalis chegou mesmo a afirmar que a matemática pura é uma religião, porque um conhecimento matemático depois de demonstrado e aceite pela comunidade cientifica é usado como certo por qualquer um, é coerente e raramente é posta em causa. No Livro "The Analyst" em 1734, o bispo e matemático George Berkeley mostrou que a matemática é imperfeita e errónea (o que permitiu mais tarde que outros matemáticos a tenham desenvolvido). Apesar de alguns dos seus fundamentos serem postos em causa, como o método de demonstração de teoremas, a matemática continua a ser a ciência do rigor e da ordem. E podemos considerar a matemática como o cimento unificador de todos os saberes.

 

A matemática na escola

 

        A matemática que se estuda na escola aplica-se facilmente às necessidades quotidianas. Isto é obvio até ao 9º ano mas no ensino secundário parece que ela não tem tanta utilidade. Mas não é por acaso que se estuda matemática nas escolas.

Antes de mais, ela é útil para promover o pensamento estruturado e o raciocínio rigoroso. Por outro lado, a sociedade evoluiu exigindo cada vez mais conhecimentos matemáticos a todos os cidadão. Um arquitecto dirá que a Matemática é útil para auxiliar a percepção e a criação da beleza; um engenheiro dirá que é útil para reforçar e aprovar experiências; um físico dirá que é útil por ser a linguagem da ciência; um político dirá que a Matemática orienta-o na administração e na implementação de leis; um psicólogo afirmará que auxilia-o no tratamento estatístico de inquéritos; um matemático mostrará que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro corpo. A matemática é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao seu rigor. Deste modo se mostra que as outras ciências não se desenvolveriam se a matemática não existisse e não fosse estudada.

            De certa forma todos somos matemáticos e fazemos matemática com regularidade: fazer as contas das compras; medir uma divisão para pôr alcatifa; escolher itinerários; relacionar conjuntos de bens; inferir e concluir a partir de premissas; etc. E confiamos sempre na exactidão dos nossos raciocínios até prova em contrário.

            Podemos considerar que a aprendizagem da matemática nas escolas é paralela ao desenvolvimento da humanidade. O Homem há 10 mil anos mal sabia contar e agora calcula a trajectória de um satélite. De modo semelhante, uma criança aprende a contar com 6 anos e ao longo da sua adolescência vai aprendendo em pouco tempo aquilo que levou anos e anos a ser inventado. A matemática conhecida por um aluno do 9º ano impressionaria o rei D. Afonso V e certamente o convidaria para trabalhar na corte.

 

Saber matemática

 

            Para saber matemática é indispensável conhecer as suas definições e saber utilizá-las adequadamente. Ao longo do estudo, cada vez são necessárias mais definições que utilizam as já conhecidas. Por isso, não saber a tabuada dificulta ou impossibilita o cálculo das operações com números relativos e depois prejudicará a resolução de equações e mais tarde o estudo de funções, . . . A matemática é como um grande arranha-céus: se esqueces as bases podes perder o prédio todo. As definições da matemática são elementares mas relacionadas. Enquanto se estuda matemática vai-se conhecendo as definições, alguns exemplos, observações e finalmente resolve-se exercícios.

            Para saber matemática é necessário estudar, estudar, estudar. É este o segredo do sucesso.

            Vamos explorar algumas definições que traduzem o que acabámos de ver.

            Pega num papel e num lápis e faz uns riscos.

            Certamente alguns deles são segmentos de recta ou curvas.

            Agora desenha uma linha constituída por segmentos de recta unidos cada um a cada um pelas extremidades. Se uma formiga percorrer esta figura plana e voltar ao ponto de partida sem precisar de saltar, chamamo-lhe linha poligonal fechada ou polígono. Se a formiga tiver que saltar uma vez, chamamo-lhe linha poligonal aberta.

            Vamos estudar as linhas poligonais começando pela mais simples.

            Desenha dois segmentos de recta unindo duas extremidades. Obténs uma porção de um ângulo que não forma um polígono. Desenha um polígono constituído por três segmentos de recta (chamamo-lhe triângulo). E assim sucessivamente, desenhas um quadrilátero (4 lados), um pentágono (5 lados), um hexágono (6 lados), etc.

            O que podemos descobrir em cada uma destas figuras? Podemos classificar (dar um nome) o polígono tendo em consideração o comprimento dos lados. Podemos estudar os seus ângulos. Ou estudar os seus perímetros. Ou as suas áreas. Ou desenhar segmentos de recta unindo os seus vértices e estudar a nova figura obtida. Ou . . .

            Desta forma vamos conhecendo e tirando conclusões, que podem vir a ser chamadas de fórmulas, propriedades, teoremas ou apenas exercícios. E assim fazemos matemática.

Para saber mais:

[ 1] Hersh, Philip J. Davis e Reuben, A experiência matemática, Gradiva, Lisboa, 1995. 

[ 2] Gerdes, Paulus, Etnomatemática - cultura, matemática, educação, Instituto Superior Pedagógico, Maputo, 1991. 

[ 3] Struik, Dirk J., História Concisa das Matemáticas, Gradiva, Lisboa, 1991.

[ 4] Galeria de Matemáticos, Jornal da Mathematica Elementar, Lisb, 1991. 

[ 5] Flato, Moshé, O poder da matemática, Terramar, Lisboa, 1994. 

[ 6] Radice, Lucio Lombardo, A matemática de Pitágoras a Newton, Edições 70, Lisboa, 1985.  

[ 7] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos fundamentais da matemática, Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa, 1989.

Actividades

1. Escreve um pequeno texto sobre a matemática ou sobre algum matemático e apresenta-o ao teu professor.

 

2. Procura saber que textos de matemática existem na tua Biblioteca. [ No mínimo existirá uma enciclopédia em que a matemática é um tema abordada]

 

3. Indica três civilizações da antiguidade onde se desenvolveu mais a matemática

 

4. Napoleão afirmou que "O avanço e o aperfeiçoamento da matemática estão ligados à prosperidade do estado". Comenta a afirmação.

 

5. Apresenta, justificando, três profissões que utilizam matemática e três que não precisam dela.

 

6. Para cada uma das seguintes afirmações, indica se é verdadeira ou falsa, corrigindo as falsas:
a) Apenas os povos mais desenvolvidos têm conhecimentos matemáticos;
b) A matemática é um saber acabado;
c) A matemática é útil para o progresso da sociedade;
d) Todos as ciências necessitam de conhecimentos de matemática;
e) A matemática que se aprende na escola não tem aplicações.
f) Para saber resolver exercícios de matemática basta conhecer as principais definições.

 

7. O conceito de proporcionalidade directa é aplicado regularmente por todos nós. Por exemplo, determina o número médio de litros de combustível que o automóvel do teu pai gasta em 100 Km.

 

8. Escreve tudo o que saibas (e o que consigas encontrar) sobre triângulos (desenha triângulos, escreve definições, apresenta propriedades, ...).

 

9. A Teoria Fractal é um novo ramo (com 20 anos?) de investigação em matemática. Os fractais são formas geométricas, complexas e detalhadas, qualquer que seja o nível de redução ou ampliação. A partir de algumas fórmulas matemáticas é possível construir modelos da realidade. Observa alguns exemplos.

Apêndice A

Mapa Cronológico do desenvolvimento da Matemática

  Apêndice B

Breve Tabela Cronológica do Conhecimento Matemática Até 1910

Apêndice C

Classificação (AMS) dos Ramos da Matemática em 1991