Ensinar matemática

Alcino Simões   Mar  99

Planificação de

Tema 3  - Sucessões

Matemática 11º Ano  1998/9

        Esta planificação da disciplina de matemática foi elaborada pelos professores Alcino Simões, Luísa Gaspar e Sónia Frade da Escola Secundária de Figueiró dos Vinhos.

         Tem em consideração o Ajustamento do Programa de 1997 editado pelo Departamento de Ensino Secundário. Não é uma planificação definitiva. antes serve de base de trabalho para a leccionação da disciplina de Matemática.

Pré - requisitos: :

 operações em r;

operações com radicais;

potências;

equações do 1º e do 2º grau;

inequações;

operações com polinómios;

regra de Ruffini;

prop. distrib. da mult. em relação à adição;

polígonos e suas características;

conceitos essenciais inerentes a funções (função, monotonia, sinal, representação e interpretação gráfica).

Estratégias Gerais

           Quando for usada a calculadora gráfica, os alunos devem explorar claramente os diversos comportamentos. Os alunos devem saber evitar conclusões apressadas e devem ser incentivados a elaborar conjecturas em função do que se lhes apresenta mas devem ser sistematicamente treinados na análise crítica de todas as suas conclusões.

           O aluno é incentivado a comunicar, explicar, esboçar, questionar, propor, investigar e reflectir. Por exemplo, pedir ao aluno para inventar uma sucessão que seja crescente e limitada.

            Devem ser dados exemplos e situações problemáticas ligados a outros saberes. “Cada definição deve ser suportada por exemplos e contra exemplos” que esclareçam as ideias imediatas e corrijam as eventuais concepções alternativas e erradas”.

            Os alunos devem observar que a representação gráfica depende de forma decisiva do rectângulo de visualização escolhido. Devem ainda estudar situações em que uma descrição qualitativa satisfatória do comportamento da sucessão só é possível com um gráfico múltiplo. (conjunto de gráficos em diferentes rectângulos de visualização).

Um aluno deve registar por escrito as observações que fizer ao usar a calculadora gráfica ou outro material, descrevendo com cuidado as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclusões relativamente aos resultados esperados (para desenvolver o espírito crítico e a capacidade de comunicação matemática).

Sempre que possível, as definições e os problemas são acompanhados de desenhos ou esquemas sugestivos do livro ou da calculadora.

“As propriedades das progressões e outras sucessões definidas por recorrência justificam a aprendizagem do método de indução matemática”.

“Só depois de serem experimentadas várias redacções, devem ser introduzidas as redacções simbólicas consagradas”. Assim, vão ser utilizados os quantificadores existencial e universal.    Situação concreta  à  Redacções  à Formalizações. “Depois fazem-se exercícios rápidos em que as definições simbólicas sejam testadas".

Objectivos

Conteúdos

Nºaula

Estratégias

- definir sucessão;

- conhecer a simbologia de sucessões;

- determinar o termo geral de uma sucessão, em casos simples;

- calcular termos de uma sucessão;

- construir o gráfico de uma sucessão, na calculadora ou no papel;

- construir o gráfico de uma sucessão definida por recorrência;

- classificar uma sucessão quanto à monótonia;

- definir minorantes e majorantes de um conjunto;

- enquadrar um número;

- averiguar se uma sucessão é limitada;

# Funções de domínio N -  sucessões;

# Sucessões por recorrência;

# Sucessões definidas por ramos;

# Sucessões monótonas; 

# Majorantes e minorantes de um conjunto;

# Sucessões limitadas;

 

 

 

 

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1

 

2

As sucessões aparecem de situações problemáticas relacionadas com outros saberes.

   Também podem aparecer a partir de sugestões geométricas.

   São revistos os conceitos do 8º ano relativos a sucessões.

   Os conceitos a abordar (monotonia, majorante, ...) aparecem de problemas.

   Considera-se que o conjunto N não inclui o zero.

    O professor propõe ao aluno o seguinte contrato. O professor dá ao aluno 100 contos por cada dia e o aluno dá inicialmente 1$00, dobrando a quantia de um dia para o seguinte.

- identificar uma sucessão que seja uma progressão aritmética;

- determinar a razão e o termo geral de uma progressão aritmética conhecido o 1º termo e a razão;

- calcular a soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética;

- identificar uma sucessão que seja uma progressão geométrica;

- determinar a razão e o termo geral de uma progressão geométrica conhecido o 1º termo e a razão;

- calcular a soma de termos consecutivos de uma progressão geométrica;

- Aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas;

# Progressões aritméticas (razão e termo geral);

# Soma dos termos de uma progressão aritmética;

# Progressões geométricas (razão e termo geral);

# Soma dos termos de uma progressão geométrica;

 

 

2

 

 

 

 

2

    Os conceitos de progressão aritmética e de progressão geométrica são apresentados com problemas.

    São referidos os paradoxos de Zenão e construções geométricas representativas de progressões, tais como imagens fractais.

  Reforçar a ideia de que cada termo de uma p.ª se obtém do anterior adicionando r.  O mesmo para a p.g.

   Referir a estória de Gauss acerca da soma dos 100 primeiros números naturais e da estória da invenção do jogo do xadrez.

- conhecer e aplicar o limite de (1+1/n)^n;

- conhecer o número e, de Neper;

# Modelação matemática que conduz ao estudo de (1+1/n)^n;

# Número e;

1

   É um estudo intuito de uma situação de modelação que conduz o aluno à expressão (1+1/n)^n

- definir infinitamente grande positivo e negativo;

- relacionar os conceitos: infinitamente grande, sucessão limitada, sucessão monótona;

- aplicar o teorema “se uma sucessão é monótona e limitada, então é convergente”;

- conhecer os infinitamente grandes de referência;

- definir infinitésimo;

- conhecer os infinitésimos de referência;

- enuncia e aplica os teoremas relativos a infinitésimos e infinitamente grande;

- definir sucessão convergente;

- exemplificar uma sucessão monótona não convergente;

- exemplificar uma sucessão limitada não convergente;

- determinar o limite de uma sucessão por comparação com outra conhecida;

- classificar as sucessões quanto à natureza e existência de limite;

- justificar a falsidade de uma afirmação através de um contra-exemplo;

# Noção de limite de uma sucessão;

# Unicidade do limite;

# Infinitamente grandes positivos, negativos e em módulo;

# Infinitamente grandes de referência;

# Teoremas e propriedades sobre infinitamente grandes;

# Infinitamente pequenos ou infinitésimos;

# Infinitésimos de referência;

# Teoremas e propriedades sobre infinitésimos;

# Sucessões convergentes;

# Teoremas e propriedades sobre sucessões convergentes;

# Classificação de sucessões quanto à natureza e existência de limite;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

   Talvez iniciar com a estória do hotel do infinito.

    É essencial a observação gráfica de muitas sucessões.

  A unicidade do limite aparece a partir de alguns exemplos.

  Os limites de sucessões convergentes surgem a partir de outras mais simples que são convergentes.

  Dar exemplos de sucessões monótonas não convergentes.

  O limite de uma sucessão é obtida a partir dos resultados anteriormente obtidos de sucessões mais simples.

      Os teoremas e propriedades sobre limites de sucessões aparecem ligados a exemplos concretos e sem demonstração.

- operações com sucessões convergentes;

- “operações” com sucessões divergentes;

- calcular o limite de sucessões;

- “levantar a indeterminação” de sucessão;

- calcular limites que conduzam ao número de Neper;

- determinar termos que obedeçam a uma condição dada;

# Operações com sucessões convergentes;

# Operações com sucessões divergentes;

# Indeterminações;

# Problemas envolvendo limites de progressões;

 

 

 

3

 

1

    Informar sobre as regras operatórias de limites de sucessões e aplicar ao cálculo de limites de quocientes de polinómios e também à soma de n termos de uma progressão aritmética ou geométrica.

- enuncia e aplica o método de indução para demonstrar igualdades de expressões com variável natural.

# Método de indução matemática;

1

   Mostrar o que acontece a uma fila de dominós quando se empurra o primeiro.

Material a utilizar: livro adoptado; ficha de objectivos; ficha de trabalho; ficha de investigação; computador; calculadora gráfica e view-screen; acetatos.

Avaliação: formativa; participações orais e escritas; testes de avaliação

Bibliografia:

,Programas de matemática do 10º 11ª e 12º anos, Editorial do Ministério da Educação, Janeiro de 1997;

Jorge, Ana Mª e outros, Infinito 11, Areal Editores, Porto, 1998;

Lima, Yolanda e Francelino Gomes, Xeq Mat Matemática 11ª, Editorial O Livro, Lisboa, ;

Lopes, Ana Vieira, Sucessões 11 Matemática , Edições Contraponto, Porto, 1998;

Neves, Mª Augusta Ferreira Funções I I, Porto Editora, Porto, 1998;

Neves, Mª Augusta Ferreira  Guia do Professor (Geometria II, Funções II, Sucessões), Porto Editora, Porto, 1998;

Ribeiro, Adília, e outros, A solução 11, Texto Editora, Lisboa, 1998