1ª PARTE                          SOBRE A UTILIDADE DA MATEMÁTICA

1.   Apresentação

2. "Para que serve a matemática ?"

"Nunca vou precisar de resolver equações no resto da vida!!!"

Não existiam frigoríficos se não tivessem inventado as equações.

Imaginam viver sem gelados!!!

Como seria triste estar na praia e não haver gelados!!!

3. O essencial da matemática até ao terceiro ciclo:

• Operações com números

• Áreas e Volumes

• Proporções

• Estatística

4. Qualquer país reconhece a utilidade e a necessidade da matemática.

"O avanço e o aperfeiçoamento das matemáticas

estão ligados à prosperidade do estado."

Napoleão                    

5. Qual a profissão que não precisa de matemática?

6. A matemática surge do gabinete dos matemáticos,

MAS também surge do trabalho de algumas profissões:

Por exemplo, as equações surgiram:

        dos problemas de medição de terrenos (Babilónia Séc. XX A.C.);

        das partilhas de bens (Egipto );

        dos impostos e empréstimos (Europa Séc. XV).

As equações foram pela primeira vez escritas como nós as conhecemos hoje pelos matemáticos DESCARTES , NEWTON , EULER. Antes elas eram verbais ou com alguns símbolos.

A matemática também surgiu do jogo

FERMAT , DESCARTES , PASCAL

Actualmente a matemática trata de tanta coisa, de tanta maneira, por tantas pessoas, ...

A média de um automóvel

1º  Atestar o automóvel

ANDAR!! ANDAR !! ANDAR!! ....

2º  Atestar o automóvel

3º  calcular

Com 19,2 litros de gasolina andou 56531 - 56866 = 335 Km

Portanto, em cada 100 km o automóvel consome em média 5,73 litros de gasolina

Sabendo que 1 litro de gasolina custa 168$00, em média quantos escudos gasta este carro depois de andar 100 Km.

SAMOS    --» ilha arborizado do mar egeu apenas a 2 Km da costa da Turquia;
                  --» Local onde nasceu o famoso Pitágoras (582 - 507 a.c.) ;
                  --» A capital da ilha é Vati;
                  --» grega, romana, bizantina, semi-independente e grega desde 1912;
                  --» população: 31600 Km;

            No ano 530 a.C. o poderoso tirano Polícrates preocupava-se com o abastecimento de água na cidade. Polícrates era um generoso patrono das arte, da ciência e da engenharia.

            Haviam fontes na ilha mas ficavam do outro lado do monte Castro e o acesso a elas era muito difícil.

            Decidiu-se abrir um túnel que atravessa-se a montanha e trouxesse a água da nascente para a cidade.

            Foram seleccionadas a melhor entrada (E) e a melhor saída (S) da água.

            Cavar a montanha não era um problema, pois havia muitos trabalhadores e a terra era calcária. O problema era achar um modo de começar a cavar do ponto A e sair no ponto B, sem se perder no caminho.

            Quem resolveu o problema foi Eupalinos que até conseguiu reduzir para metade o tempo de trabalho começando com duas frentes em A e em B simultaneamente que se encontraram a meio do túnel.

            Eupalinos usou uma consequência do teorema acima.

Teorema Sejam [ a b c] e [ a´b´c´] dois triângulos rectângulos com um vértice em comum. Se os catetos b e c´ são perpendiculares  e b/c = b´/ c´ Então as hipotenusas a e a´ estão em linha recta.

C. q. d.

O túnel ainda existe pois foi descoberto em 1882 por arqueólogos alemães.

• tem quase 1 Km de comprimento,

• com uma secção transversal de um quadrado com 2 metros de lado,

• com uma vala funda para os canos da água,

• aberturas no tecto para renovação de ar e limpeza de detritos;

• demorou 15 anos a ser construído.

Mas como conseguiu Eupalinos abrir o túnel?

A partir de S fixou-se uma direcção qualquer.

Construiu-se uma linha poligonal SABCDFGE

• ângulos rectos

• evitando partes de difícil acesso da montanha

• utilizou-se: unidade de medida, esquadro, instrumento óptico, nível, corda de doze nós.

Agora é só cavar o túnel !!

COMO ESCAVAR O TÙNEL?

A secção do túnel é um quadrado. Fixa-se apenas uma aresta.                     O óculo é focado para uma vela no túnel,             OU  Um cordel é esticado desde o ponto X  até ao ponto onde se escava.  Um cordel é esticado desde o ponto X  até ao ponto onde se escava.

E se os pontos E e S do túnel não estiverem na horizontal?

            Se os pontos E e S estiverem em níveis diferentes, pode-se facilmente calcular a diferença de níveis   ao longo da linha poligonal, através de vasos ou canais de água. Obtem-se assim a diferença de nível d .

            Claro que se pretende que a entrada E esteja num nível superior em relação ao nível do ponto S de saída.            .

O declive d é facilmente calculado

pois,     EM = d

Como se observa na figura da página anterior, consegue-se determinar o valor de SM pelo teorema de Pitágoras.

ES² = EK² + SK² e, SM² + EM² = ES²   ou seja  SM = ES² - d ²

            Agora pode-se calcular a razão s = EM / SM

           Este valor s significa que cada vez que se anda uma unidade na horizontal no túnel, então tem-se que subir(S-->E)/baixar(E-->S) s unidades.

            O túnel com dois mil e quinhentos anos ainda existe e funcionou.

           As duas equipas começaram a trabalhar e .... não se encontraram!!

            A falta de precisão dos mecanismos existentes provocaram um erro de 9 metros na horizontal e de 3 metros na vertical.

            Este erro tem dois aspectos interessantes:

1º - prova que realmente o túnel foi aberto por duas frentes;

2º - a equipa que escavou a partir de da saída S chegou mais baixo que a equipa que começou a escavar em E, o que permitiu que a água forma-se uma pequena queda de água no seu percurso.

            Este erro talvez demonstre a preocupação dos construtores em fazer com que a equipa S não encontrasse a equipa E num nível superior, o que não seria aconselhável !

            Actualmente existem instrumentos e conhecimentos tão rigorosos que permitiriam construir este túnel com um erro ínfimo.

            Eupalinos não descreveu este trabalho. Mas Heron de Alexandria publicou muitos livros,
e alguns deles ainda existem. O processo acima descrito é apresentado num livro em que ele apresenta e explora um instrumento de agrimensura chamado dioptra.

   

Este trabalho foi baseado no texto

Lima, Elon Lages,

Meu professor de matemática e outras histórias,

Soc. Brasileira de Mat., Rio Janeiro, 1987.

E há referências a este túnel em:

Sagan, Carl Cosmos, Cap VII, pp.208, gradiva, Lisboa, 1980.

Trotta, Fernando e Imenes, Luiz Márcio pereira e Jakubovic, José, Matemática Aplicada, pp. 193-196, Editora Moderna, S. Paulo, 1979.

Material de apoio: retroprojector; régua; esquadro; giz de cor; quadro.

Material da dinamização: acetatos; corda de doze nós; plasticina; arame.

Outras Conferências

Simões, Alcino. (1998-200?). Aplicações da Matemática. Folha do alcino. http://www.prof2000.pt/users/folhalcino/aplicmat/aplicmat.htm
alcinosimoes@yahoo.com

_   |^|^|^|   _