Acção de formação 24
Simetria e Transformações Geométricas com o Skechpad

Sessões de chat / Novembro 05 / Materiais B

Segunda parte - Ficha de leitura sobre Simetria

Nesta parte são levantados alguns pontos referidos pelos colegas que publicaram fichas de leitura, propostas algumas actividades e feitas algumas observações.

I. Gralhas

• Os colegas que leram o texto no livro Geometria: temas actuais devem ter em atenção uma incirrecção desse texto (emendada já no texto distribuído em pdf):

As simetrias de uma figura são as isometrias em R2 que deixam a figura globalmente invariante (e não as transformações geométricas em R2 que deixam a figura ... como é afirmado nas páginas do livro). Para ser considerada uma simetria de um figura, a transformação em quastão tem que ser uma isometria.

Exemplo: considere-se a transformação geométrica em R2 definida pelas expressões:

X = 1/x, se x&Mac173;0, X=0 se x=0.

Y = y

É fácil ver que esta transformação deixa o rectângulo a cor da figura seguinte invariante; mas não é uma isometria, pois a distância entre os pontos (0.5, 0) e (2,0) não é igual à distância entre os pontos transformados (2,0) e (1,0). Logo não é uma simetria do rectãngulo.

• na última página do texto, na Nota importante, o que deve estar escrito na linha 4 é reflexão rotativa e não rotação rotativa (este termo não existe) (o sentido da nota será retomado mais á frente)

II. Simetrias nos sólidos platónicos

IIA.

As isometrias em R3 foi uma das questões sobre as quais alguns colegas gostariam de mais informação. Convinha que os colegas lessem as páginas 88 a 90 do livro Geometria: temas actuais onde está uma introdução a este tema. Para quem não tem o livro, poderá ver o texto em pdf.

As dúvidas encontradas nesse texto poderão ser esclarecidas no fórum.

IIB.

As reflexões deslizantes, rotações deslizantes ou parafusos e as translações não podem ser de simetria nos sólidos platónicos. Porque todas elas incluiem translaçôes, e o efeito de uma translação sobre qualquer poliedro, regular ou não, acarreta uma mudança de posição em R3, ou seja, o poliedro transformado não é o mesmo subconjunto de R3 e portanto não ficou invariante globalmente. Portanto nos poliedros, e em particular nos sólidos platónicos, apenas podemos ter, como simetrias, rotações, reflexões, reflexões rotativas e inversões centrais.

Como se viu no texto já estudado, as simetrias do tetraedro são 24. Ou seja, o grupo de simetria do tetraedro (regular) tem 24 elementos. As simetrias dos outros sólidos platónicos são mais difíceis de estudar e muito mais numerosas. O grupo de simetria do cubo (e do octaedro, que é o mesmo-- porquê?) tem 48 elementos. E o grupo de simetria do icosaedro (e do dodecaedro, que é o mesmo), tem 120 elementos).

IIC. Propostas:

a) Indique três simetrias de rotação em cada um dos poliedros regulares seguintes: cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro. Indicar uma simetria de rotação é indicar o eixo de rotação (por dois pontos) e a amplitude de rotação (ou o grau do eixo da simetria de rotação).

b) Indique três simetrias de reflexão em cada um dos poliedros regulares seguintes: cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro. Indicar uma simetria de reflexão é indicar o plano de reflexão (por três pontos).

Para facilitar a indicação das simetrias, seguem-se desenhos dos sólidos platónicos:

IID. Reflexões rotativas no octaedro

Compondo uma simetria de reflexão com uma simetria de rotação do octaedro obtém-se uma simetria de reflexão rotativa, está claro. Mas diz-se que é trivial, pois tanto a reflexão como a rotação já eram de simetria do octaedro. As simetrias de reflexão rotativa interessantes são aquelas em que nem o reflexão nem a rotação são de simetria, mas a sua composição é.

Vejamos um exemplo:

Considere primeiro um octaedro na posição de antiprisma triangular. utilizando para isso um javasketch(A)

Depois imagine a reflexão rotativa descrita noutro javasketch(B)

Ponha as suas dúvidas no fórum.

IIE. Simetrias de reflexão rotativa no cubo

Um exemplo de simetria de reflexão rotativa (não trivial) no cubo

Estude a reflexão rotativa seguinte. Ponha as suas dúvidas no fórum

A. Partimos de um cubo ABCDEFGH e vamos efectuar uma reflexão rotativa cujo plano alfa é o do hexágono KLMNPQ (cujos lados unem os pontos médios das arestas EF, FG, GC, CD, DA e AE). O eixo é uma recta e perpendicular a alfa e passando pelo centro O do cubo. B. Efectuamos primeiro a reflexão relativa ao plano alfa, obtendo o cubo, a cor, A’B’C’D’E’F’G’H’. Os únicos pontos fixos do cubo para esta transformação são os vértices do hexágono KLMNPQ. Em cinzento está desenhado o cubo de que partimos. C. Efectuando agora uma rotação de 60º de eixo e, obtemos o cubo (a cor) A”B”C”D”E”F”G”H”, coincidente com o cubo de partida. Os pontos fixos nesta rotação são os do eixo, B’ e H’.

Para mais informação, ver páginas 222 a 228 do livro Geometria: temas actuais ou veja o mesmo texto, já revisto, em pdf.

IIF. Inversões centrais

A inversão central é a isometria que no espaço corresponde em parte á chamada "simetria central". Mas atenção: enquanto no plano a "simetria central" não é mais do que uma rotação de 180 graus, ou seja uma meia-volta, e portanto o termo "simetria central" não tem qualquer utilidade, no espaço a inversão central tem que ser considerada. O tetraedro (existe um centro no tetraedro?) não possui simetria de inversão central, contrariamente ao que acontece no cubo (e octaedro) e no icosaedro (e dodecaedro) (como podem ser definidos os centros nos sólidos platónicos?).

III. Grupos cíclicos e diedrais

Proposta A): Como viram no texto, uma figura plana limitada (como poderá de maneira simples dizer o que é uma figura limitada?) tem como grupo de simetria ou um cn (grupo cíclico contendo n rotações, com n natural maior do que ou igual a 1) ou um dn ( grupo diedral contendo n rotações e n reflexões, com n natural maior do que ou igual a 1). Em relação a cada uma das figuras seguintes (que são limitadas) indique qual é o seu grupo cíclico ou diedral e quais são as suas simetrias (não tenha em conta pequenas imperfeições das figuras ou das fotografias).

(A) (B) (C) (D) (E) (F)

Proposta B) Indique polígonos que tenham os seguintes grupos de simetria: c2, d2, d1, c1

IV. Padrões

Em relação às figuras planas seguintes, vamos considerar que (A) a (I) se podem estender em todas as direcções e que (J) e (K) podem prolongar-se para a esquerda e para a direita "até ao infinito", "prolongando o padrão" (este termo será precisado numa fase posterior da oficina). Indique para cada uma das figuras as simetrias que puder detectar (diga de que tipo de simetria se trata, dando na medida do possível os elementos necessários para identificar cada uma delas). Não ligue ás pequenas imperfeiçõpes dos desenhos. Note que simetrias de rotação com centros diferentes são consideradas diferentes, está claro. Relativamente a um dado centro, se houver por exemplo simetrias de rotação de 120, 240 e 360 graus, basta dizer que existe uma simetria de rotação de grau 3.

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G)
(K)
(J)
(H) (I)

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