Reproduzo aqui a figura (S) ampliada e retocada. É minha opinião que não existe nenhuma simetria de reflexão deslizante. Justificação (não liguem por enquanto ao traço e aos pontos acrescentados):
1. A figura em esquema pode considerar-se uma espécie de sinusoide á qual estão agarradas uma série de "flores"
2. Essas flores não são todas iguais, e sobretudo não estão agarradas á sinusóide da mesma maneira. Distingo dois grupos:
3. É certo que com algum esforço poderíamos considerar todas as flores iguais, com imperfeições no desenho. Mas o modo como estão agarradas á sinusóide é claramente diferente. Enqaunto por exemplo as flores 2 e 3, iguais, estão agarradas em pontos claramente diferentes da sinusóide, as flores 4,5 estão agarradas por assim dizer ao mesmo ponto da sinusóide, o pedúnculo parece ser o mesmo, passando de um para o outro lado da sinusóide. É isso que distingue claramente os pares de flores
4,5 8,9
dos pares
2,3 6,7 etc.
Admitindo isto, vejamos em primeiro lugar (deve-se por questões práticas fazer sempre isto) qual é a simetria de translação mínima. É isso que indiquei pelo traço em baixo do friso. Note-se que a outra hipótese, que temos que excluir devido às flores 2 e 4 serem claramente diferentes (pelo menos no modo como estão agarradas á sinusóide), é a da translação mínima fazer sobrepor as flores 2 e 4.
Depois podemos ver claramente, a partir do anterior, que não há simetrias de reflexão deslizante: a haver, teriam que levar por exemplo a flor 2 a sobrepor-se á flor 3, o que não é possível -- a reflexão horizontal iria deixar o pedúnculo da flor 2 com a concavidade voltada para a esquerda, e uma translação para a sobrepor á flor 3 não alteraria esse sentido da concavidade.
Mesmo que assim não fosse, o efeito de tal reflexão deslizante na flor 4 seria desastroso, não iria certamente sobrepor a flor 4 a nenhuma outra flor do desengo, e portanto não poderia ser de simetria.
Não há simetrias de reflexão deslizante mas há simetrias de meia volta. os seus centros são os pontos que acrescentei ao desenho, entre as flores 2,3, 4,5, 6,7 etc.
Como podem reparar, a distância entre dois centros consecutivos é metade da translação (do módulo do vector de translação). Se virem agora outro friso qualquer em que haja simetrias de meia-volta, esta relação entre as distãncias verifica-se sempre.
Fiz um JavaSketch onde se pode ver em esquema a simetria de reflexão deslizante neste friso (aplicada apenas a uma das figuras). A simetria de translação (mínima) deste friso tem é definida por um segmento com o dobro do comprimento0 do da figura (que se refere á translação que é factor na reflexão deslizante.