MÁXIMOS E MÍNIMOS

 

Courant e Robbins começam a sua exposição por uma abordagem história e intuitiva.

No livro, Robbins, H. e Courant, R. – What is mathematics ? – 1941. Oxford University Press, na tradução espanhola de 1979 publicada pela Aguilar, quinta edição, nas páginas 340 a 353  , sobre “Máximos e Mínimos” organizam a exposição partindo de uma introdução, passando por problemas de geometria elementar e só depois disto é que apresentam os pontos extremos de uma função! Analisemos cada uma destas entradas:

Introdução

Um segmento rectilíneo é a linha mais curta entre dois pontos. Um arco de círculo máximo é a curva mais curta que une dois pontos de uma superfície esférica. Entre todas as curvas planas fechadas da mesma longitude, a circunferência encerra a área maior; entre todas as superfícies fechadas de igual área, a esfera encerra o maior volume.

Estas propriedades de máximo e de mínimo já eram referidas dos gregos, embora se enunciassem os resultados sem intenção de dar a demonstração. Assumia-se intuitivamente.

É muito natural que os matemáticos se interessem por questões deste tipo. Na vida diária apresentam-se constantemente problemas de máximos e de mínimos, do “óptimo” e do “pior”. Muitas questões de importância prática se apresentam deste modo; por exemplo, que forma ha-de ter uma nave para apresentar uma resistência mínima à água? Qual o recipiente cilíndrico construído com uma quantidade de chapa dada, que tem volume máximo?

No século XVII iniciou-se a teoria geral dos valores extremos – máximos e mínimos – e rapidamente se converteu num dos princípios sistemáticos integrantes da ciência. Os primeiros passos de Fermat no seu cálculo diferencial estiveram orientados pelo desejo de estudar as questões de máximos e de mínimos. No século seguinte ampliou-se o campo de aplicação destes métodos mediante a invenção do cálculo das variações. Era cada vez mais evidente que as leis físicas da natureza encontravam a sua expressão mais adequada no princípio do mínimo, o qual proporciona um acesso natural a uma solução mais ou menos completa de problemas particulares.

 

Um dos problemas de geometria elementar

Triângulo de área máxima dados os lados – Dados dois segmentos    e     pede-se para encontrar o triângulo de área máxima que tenha esses segmentos para lados.

A solução é claramente o triângulo rectângulo de catetos      e     .

Se considerarmos qualquer triângulo em que dois dos seus lados sejam     e     e representarmos por   a altura em relação à base  , a área será dada por   .  será máximo quando o   o for, o que acontece se   coincidir com  , ou seja se o triângulo for rectângulo. Portanto a área máxima é  .

 

Seguem-se mais quatro problemas de geometria para encontrar algum valor máximo ou mínimo!

Só depois da resolução destes cinco problemas é que os autores vão definir o que se entende por extremos e pontos estacionários. Vejamos de que forma o fazem; nas páginas 352 e 353 pode-se ler:

 

Extremos e pontos estacionários

Até aqui não fizemos uso da técnica do cálculo diferencial. Na realidade, os nossos métodos elementares são muito mais intuitivos e directos que os do cálculo. Em regra geral, no pensamento científico, é melhor considerar os dados particulares de um problema do que seguir exclusivamente os métodos gerais, ainda que os esforços individuais devam sempre orientar-se pelo princípio que esclareça o significado dos procedimentos especiais utilizados. É este o papel desempenhado pelo cálculo diferencial nos problemas de máximos e mínimos. Os esforços para a generalização representam apenas um dos aspectos dos factos, pois a vitalidade da matemática depende primordialmente da matiz individual e peculiar dos problemas e dos métodos.

No seu desenvolvimento histórico, o cálculo diferencial foi intensamente influído pelos problemas particulares de máximos e mínimos. A conexão entre estes e o cálculo diferencial faz-se da seguinte forma: mais à frente faremos um estudo detalhado da derivada      de uma função   e do seu significado geométrico; em algumas palavras, a derivada  é o declive da tangente à curva    no ponto  . Geometricamente, é evidente que num máximo ou mínimo de uma curva contínua  , a tangente à mesma deve ser horizontal; isto significa que o seu declive é igual a zero. Surge a condição   que tem de ser cumprida pelos valores extremos de .

D

 
Para compreender o que significa  o anulamento de  analisemos a seguinte curva.

A

 

C

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                         

Existem quatro pontos A, B, C e D nos quais a tangente bà curva é horizontal; designemos por   ,  ,    e  os valores de   em tais pontos. O máximo de   no intervalo representado encontra-se em  D  e o mínimo em A. O ponto  B  representa também um máximo no sentido de que para todos os pontos na proximidade imediata de B,  é menor do que  , ainda que   seja maior do que  para os pontos que se encontram perto de  D. Por esta razão diz-se que  B é um máximo relativo de , enquanto que  D  é um máximo absoluto. Da mesma forma  C representa um mínimo relativo enquanto que  A é um mínimo absoluto.

Há ainda pontos nos quais     não é máximo nem mínimo e  =0. Deduz-se que o anulamento de  é uma condição necessária, mas não suficiente para que exista um valor extremo de uma função derivável ; por outras palavras, para qualquer valor extremo, relativo ou absoluto, deve ser =0, mas nem em todo o ponto onde se anula a derivada existe necessariamente um valor extremo da função. Um ponto onde se anula a derivada chama-se ponto estacionário.

 

Vejamos como Silva, J. aborda esta questão no seu livro Princípios de Análise Matemática Aplicada, 1994 da McGRAW-HILL.

No capítulo VIII, sobre Propriedades de funções contínuas, deriváveis e integráveis, refere:

Definamos extremos relativos e absolutos.

Definição

Seja  uma função definida num intervalo e seja    um ponto desse intervalo. Dizemos que atinge um máximo relativo no ponto    ou que   é um máximo relativo da função  se existe um intervalo   contido  em   e contendo o ponto    tal que

i)                    se  < <   então  <

ii)                  se < <  então  <

Dizemos que   atinge um mínimo relativo no ponto   ou que é um mínimo relativo da função    se existe um intervalo    contido em   e contendo o ponto    tal que

i) se   < <   então  >

ii) se < <  então  >

Se as condições acima forem válidas em todo o domínio de definição da função  , os extremos relativos são chamados extremos absolutos.

 

Analisei estes dois autores, nestes seus livros para se poderem comparar as diferentes abordagens dos mesmos conceitos.

Trata-se de cada um de nós saber em que contexto e para que público necessita usar estes mesmos conteúdos.