Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo de 2003/04                Função composta e derivada da função composta                                             12.º Ano

 

Função composta

1.   O gráfico I dá‑nos a velocidade v de um nadador em função do tempo t.
O gráfico II dá‑nos o consumo c de oxigénio do nadador em função da sua velocidade v.
t é medido em segundos, v em metros por segundo e c em litros por minuto.

a)   Recorrendo aos gráficos dados, determine o consumo de oxigénio do nadador após 20 segundos de natação.

b)   Após quanto tempo de natação é o consumo de oxigénio igual a
15 l/min?

      Há situações, como acontece no problema anterior, em que a solução resulta de usarmos uma imagem obtida por uma função, como original para outra função.

      Este é um exemplo de como, a partir de duas funções f e g tais que f:   e  g:  se pode construir uma nova função, cuja variável independente é o tempo t (variável independente de f) e cuja variável dependente é o consumo c (variável dependente de g), assim definida:

      A expressão  lê‑se "g de f de t", em que t representa qualquer elemento do domínio de f cuja imagem  pertence ao domínio de g.

      Esquematizando

      Diz‑se, nestas condições, que h é a função composta de g com f  e escreve‑se .

      Sendo f uma função de domínio  e g uma função de domínio , chama‑se composta de g com f à função  assim definida:

 

Exemplo

1.   Sejam f e g funções reais de variável real tais que   e  .

a)   Calcule  e .

b)   Caracterize .

c)   Caracterize .

Resolução:

a)     e  .

b)  




Logo,                                                                    

c)  




Logo,                                                                    

Exercícios

2.   Sejam f e g funções reais de variável real tais que   e  .
Caracterize   e  .

Solução

3.   Sejam f, g e h três funções polinomiais definidas por:

        ,              e      

      Represente graficamente as funções , , ,  e .

Solução

4.   Sejam f e g funções reais de variável real tais que   e  .
Caracterize .

Solução

Proposta de resolução

 

Derivada da função composta

 

 

      A derivada da função composta de f com g (  )  pode ser obtida através das derivadas das funções f e g, da seguinte forma:

ou   ou  ,  sendo   e    e 

      Sendo , podemos considerar  com   e  .
A derivada de  pode ser obtida pela regra da derivação composta, também conhecida como regra de derivação em cadeia, da seguinte maneira:

·      

·      

      Logo, .

Ou

      Sendo , podemos considerar  e , donde:

·      

·      

      Logo, .

Exemplos

1.   Sejam f e g funções reais de variável real tais que   e  .

a)   Calcule .

b)   Determine

Resolução:

a)   Como  e , temos .

b)   .

Ou

Como , podemos considerar , com .

Logo, .

2.   Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que: .

Resolução:

      Para , é , sendo .

      Assim, seja , com   e  .
Logo, , donde , c.q.m..

Nota:

      Seja .
Então, .
Assim, derivando em ordem a x ambos os membros, temos:



Logo, .

3.   Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que: .

      Seja  e . Logo, .
Assim, .

 

Exercícios

5.   Mostrar, aplicando a regra de derivação composta, que:

a)                                                                      b)   , com

Proposta de resolução

6.   Calcule, aplicando a regra de derivação composta:

a)                                                                            b)  

Solução

Proposta de resolução

7.   A lei de Boyle‑Mariotte estabelece que mantendo constante a temperatura, a pressão P e o volume V de um gás estão inversamente relacionados, sendo ,  constante.

a)   Supondo que se mantém constante a temperatura, uma dada quantidade de gás é livre de se expandir.
Calcule a taxa de variação da pressão com respeito ao volume.

b)   A uma pressão de 3 atmosferas uma certa quantidade de gás ocupa o volume de 12 centímetros cúbicos.
Suponha que a temperatura se mantém constante.

b1)   Se a pressão aumenta o volume aumenta ou diminui?

b2)   Se a pressão aumenta à taxa de variação de 0,04 atm/min, determine a taxa de variação do volume em que a pressão é de 30 atmosferas.

Solução

Proposta de resolução

8.   O raio de um balão esférico aumenta 2 cm/s.

      Qual é a taxa de variação do volume de ar soprado para dentro do balão no momento em que o raio é de 20 centímetros?

Solução

Proposta de resolução

 

 

 

 

 

 

SOLUÇÕES

1.  

a)   Aproximadamente 12,5 l/min.

b)   Após aproximadamente 45 segundos.

2.  
     e     

3.  













4.  

6.  

a)  

b)  

7.  

a)   .

b1)   . Se a pressão aumenta o volume diminui.

b2)   .

8.   .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Proposta de Resolução:

4.   Ora, , pois

.

      Como , , então: .

5.  

a)  
Seja  e . Logo,  e .
Ora, .
Logo, como , temos .

b)  
Sendo  e , com , então  e .
Ora, .
Logo, , com .

6.  

a)  
Seja  e . Logo,  e .
Ora, .
Logo, .

b)  
Sendo  e , então .
Ora, .
Logo, .

7.  

a)   Como  e k é constante, temos .

b1) Nesse caso será . Logo, se a pressão aumenta o volume diminui, pois as grandezas são inversamente proporcionais.

b2) Ora, .
Como  e , então  cm3/min.

8.   O volume de ar dentro do balão esférico é dado por  e sabe-se que  cm/s.
Ora, . Logo,  cm3/s.

 

 

O Professor

 

 

 

 

Actualizada em
 28-06-2011