Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo 2003/04                Definição axiomática e propriedades das probabilidades                                       12.º Ano

 

Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF

1.  

a)   Enuncie uma axiomática para as probabilidades.

b)   Demonstre que, para quaisquer acontecimentos A e B,

b1)   ;

b2)   ;

Proposta de resolução

2.   Demonstre que:

a)   ;

b)   .

c)   .

Proposta de resolução

3.   Acerca dos acontecimentos A, B e C, sabe-se que ,  e .

a)   Mostre que .

b)   Calcule  admitindo que A, B e C são acontecimentos independentes.

Solução

Proposta de resolução

4.   Mostre que se A e B são dois acontecimentos, se tem: .

Proposta de resolução

5.   Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S).

      Prove que:       

Proposta de resolução

6.   Num saco existem quinze bolas, indistinguíveis ao tacto.
Cinco bolas são amarelas, cinco são verdes e cinco são brancas. Para cada uma das cores, as bolas estão numeradas de 1 a 5.

a)   Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso, numa fila, qual é a probabilidade de as bolas da mesma cor ficarem todas juntas?
Apresente o resultado na forma de dízima, com sete casas decimais.

b)   Suponha agora que, no saco, estão apenas algumas das quinze bolas.
Nestas novas condições, admita que, ao retirarmos, ao acaso, uma bola do saco, se tem:

·       a probabilidade de essa bola ser amarela é 50 %

·       a probabilidade de essa bola ter o número 1 é 25 %

·       a probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o número 1 é 62,5%

      Prove que a bola amarela número 1 está dentro do saco.

Proposta de resolução

7.   Seja S o conjunto de resultados (com número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S).
Sabe-se que:

·        

·        

 

      Prove que os acontecimentos A e B são incompatíveis.

Proposta de resolução

8.   Seja S o conjunto de resultados (com número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória.
Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impossível, nem certo. Sabe-se que .

      Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira:

[A]                        [B]                       [C]                      [D]     

Solução

Proposta de resolução

9.   Nos jogos de futebol entre a equipa X e a equipa Y, a estatística revela que:

·       em 20% dos jogos, a equipa X é a primeira a marcar;

·       em 50% dos jogos, a equipa Y é a primeira a marcar.

 

      Qual é a probabilidade de, num jogo entre a equipa X e a equipa Y, não se marcarem golos?

[A]   10%                     [B]   25%                    [C]   30%                   [D]   35%  

Solução

Proposta de resolução

10. Lança-se um dado até sair face 6.
A probabilidade de serem necessários pelo menos dois lançamentos é

[A]                                         [B]                                          [C]                                          [D]     

Solução

Proposta de resolução

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SOLUÇÕES

3.  

b)    

8.   [D]

9.   [C]

10. [D]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Proposta de Resolução:

1.  

a)   Seja Ω um espaço de resultados, finito, e W uma família  de subconjuntos de Ω. A cada acontecimento A pertencente a W podemos associar um número a que chamamos probabilidade de A e designamos por , tal que:
                1- Qualquer que seja A, .
                2- .
                3- Se A e B são acontecimentos incompatíveis (  ), então .

b1) Considerando o diagrama ao lado, temos .
Assim,
               
pois  e  são disjuntos.

Portanto, .

b2) Sabendo que  e considerando ser , vem

               

Portanto, .

2.  

a)   Sabendo que são disjuntos  e , então , pelo 3.º axioma. Considerando ainda , temos sucessivamente:
               
Logo, .

b)   Sabendo que  e por definição de probabilidade condicionada vem sucessivamente:
               

Logo, .

c)   Por definição de probabilidade condicionada e pela propriedade associativa da intersecção de conjuntos, vem:

               

Logo, .

3.  

a)   Sabendo que   e tendo em consideração propriedades operatórias entre conjuntos, temos sucessivamente:

               

Logo, .

b)   Tendo em consideração que os acontecimentos são independentes, a relação da alínea anterior pode tomar a forma:
               

Substituindo os valores dados, temos:

                .

4.  

      Ora, .
Dado que , pelo axioma 1, e como , então   (1).

Por outro lado,
                               

Ora, como  e , então . Logo,   (2).

Por (1) e (2), vem , cqm.

 

 

5.  

      Ora,
                 

6.  

a)   A probabilidade pedida é . (porquê?)

b)   Designemos a probabilidade de «sair bola amarela» por  e a probabilidade de «sair bola com o número 1» por . Então,  designa a probabilidade de «sair bola amarela ou com o número 1» e  designa a probabilidade de «sair a bola amarela número 1».
Sabemos que , donde .
Concluímos então que .
Ora, sendo não nula a probabilidade de «sair a bola amarela número 1», tal significa que é possível retirar essa bola do saco, pelo que ela lá está.

7.  

      Sabemos que .
Por hipótese, tem-se que  e .
Substituindo, obtém-se , donde .
Portanto, A e B são incompatíveis, pois , visto ser .

8.  

      Sabemos que , ,  e .
Como , então , donde .

A alternativa [A] é falsa, pois se  é .
A alternativa [B] é falsa, pois se  é , logo não nula.
A alternativa [C] é falsa, pois se  é .

9.   Designemos a probabilidade de «a equipa X é a primeira a marcar» por  e a probabilidade de «a equipa Y é a primeira a marcar» por , sendo então  e .
A probabilidade de, num jogo entre a equipa X e a equipa Y, não se marcarem golos é dada por .
Ora, .

10. Designemos a probabilidade de «é necessário apenas 1 lançamento» por .
Ora, a probabilidade de «serem necessários pelo menos dois lançamentos» é .

 

 

 

Actualizada em
 28-06-2011