Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo 2002/03          Equação vectorial da recta no plano e no espaço                           10.º Ano

 

Por vezes, nas estradas, existem sinais de trânsito indicando o declive:

 

Este declive está expresso em percentagem e calcula-se pela razão entre a distância da subida (ou descida) e a distância horizontal.

Pode significar o que qualquer das figuras sugere:

1.   Um troço de estrada une dois pontos cujo desnível é 54 m, sendo a sua distância na horizontal igual a 870 m.
Outro troço de estrada tem um declive de 6%.
Qual dos troços tem maior declive?

Solução

2.   Calcula o declive da recta que passa pelos pontos A (3, 1) e B (2, 4).

Solução

3.   Determina uma equação vectorial da recta que passa por A (0, 3) e B (-2, 4).

Solução

4.   Escreve a equação reduzida da recta que:

a)   passa pelo ponto (2, -1) e tem a direcção do vector ;

b)   passa pelo ponto (3, 1) e tem a direcção do vector .

Solução

5.   Determina uma equação vectorial e uma equação não vectorial da recta que passa pelo ponto (-2, 4) e é paralela ao vector .

Solução

6.   Indica o declive de cada uma das seguintes rectas:

a)   ;

b)   ;

c)   ;

d)   bissectriz dos quadrantes ímpares.

Solução

7.   Determina uma equação vectorial da recta que passa pelos pontos C (3, 0, -1) e D (-2, 1, 4).

Solução

8.   Considera o rectângulo [ABCD] da figura.
Sabe-se que r // s // t.

a)   Determina a equação reduzida de cada uma das rectas, r, s e t.

b)   Determina as coordenadas dos pontos de intersecção da recta s com os eixos coordenados.

Solução

9.   Determina dois pontos, o declive e:

a)   a ordenada na origem da recta de equação ;

b)   a intersecção com o eixo dos xx da recta de equação .

Solução

10. Determina uma equação:

a)   vectorial e a equação reduzida da recta que passa pelos pontos M (2, -5) e N (3, 1);

b)   da recta vertical que intersecta a recta  no eixo dos xx;

c)   vectorial da recta que passa pelo ponto (3, -2) e é paralela à bissectriz dos quadrantes ímpares;

d)   reduzida da recta que passa pelo ponto (-1, 3) e tem a direcção da recta de equação:

.

Solução

11. A recta r está definida pela equação .
Determina uma equação da recta que é:

a)   paralela a r e passa no ponto (-1, 1); (na forma vectorial)

b)   horizontal e intersecta r num ponto do eixo dos yy;

c)   paralela a r e passa na origem;

d)   paralela a r e passa no ponto (1, 3). (na forma vectorial)

Solução

12. Para cada um dos sistemas dados:

·       Resolve o sistema;

·       Confirma geometricamente a solução encontrada, representando no mesmo referencial as duas rectas definidas pelas equações.

a)                                      b)                                    c)     

Solução

13. Resolve cada um dos sistemas, algébrica e graficamente.

a)                                     b)                                     c)     

Solução

14. Verifica se são ou não paralelas as rectas de equações:

a)     e   

b)     e   

Solução

15. No prisma recto da figura, [ABCD] é um quadrado.

a)   Determina as coordenadas dos pontos C, G e F.

b)   Determina as coordenadas do ponto M, ponto médio de [BF].

c)   Escreve uma equação do plano BCE.

d)   Escreve uma equação vectorial da recta CM.

Solução

16. No referencial ortonormado da figura estão representados dois prismas rectos que constituem um sólido.
A face [IEF] é um triângulo rectângulo isósceles, F (3, 4, 0) e B (a, b, c).

a)   Determina c, sabendo que .

b)   Calcula o volume do sólido representado na figura.

c)   Indica as equações dos planos ABC e EFI.

d)   Calcula as coordenadas do vector .

e)   Escreve uma equação vectorial da recta IF.

Solução

17. Observa a figura onde estão representadas duas circunferências concêntricas de centro O (0, 0) e a recta r.

a)   Determina a valor de  (ordenada de P).

b)   Determina uma equação vectorial da recta r.

c)   Determina a norma do vector .

d)   Determina uma condição que represente a zona sombreada (incluindo o contorno).

Solução

18. Observa a figura onde estão representadas duas circunferências concêntricas de centro O (0, 0) e a recta r.

a)   Determina a equação reduzida da recta r.

b)   Determina uma equação da circunferência maior.

c)   Escreve (justificando) uma condição que represente a zona sombreada (incluindo o contorno).

Solução

19. Na figura, [AB] é um diâmetro da circunferência de centro C, paralelo ao eixo dos xx.

a)   Determina uma equação da circunferência.

b)   Determina uma condição que represente a zona sombreada (incluindo o contorno).

c)   Calcula a área aproximada da zona sombreada, a menos de uma centésima, sabendo que  cm.

Solução

20. Na figura, as circunferências são tangentes à elipse e têm centro nos seus focos.

a)   Determina uma equação da elipse.

b)   Determina uma equação de cada uma das circunferências.

c)   Determina as equações reduzidas das rectas AC e BC.

d)   Determina uma condição que defina a zona sombreada, incluindo o contorno.

Solução

 

 

 

SOLUÇÕES

 

1.    Tem maior declive o primeiro troço de estrada.

2.    .

3.     

4.     

a)    .

b)    .

5.    ; .

6.     

a)    .

b)    .

c)    .

d)    .

7.    .

8.     

a)       r: s: t: .

b)       (0, 6) e (6, 0).

9.     

a)    (2, -3) e (3, -5); ; .

b)    (1, -4) e (3, -5); ; (-7, 0).

10.  

a)    ; .

b)    .

c)    .

d)    .

11.  

a)       .

b)       .

c)       .

d)       .

12.  

a)    .

b)    .

c)    O sistema é indeterminado.
São solução do sistema os pares ordenados de números reais da forma , com .

13.  

a)       .

b)       .

c)       .

14.  

a)    , são paralelas.

b)    , são paralelas.

15.  

a)    C (3, 3, 5); G (3, 0, 0); F(3, 3, 0).

b)    M ( , 3,  ).

c)    .

d)    .

16.    

a)       .

b)       48 unidades de volume.

c)       ; .

d)       .

e)       .

17.    

a)    .

b)    .

c)    .

d)    .

18.    

a)       .

b)       .

c)       .

19.    

a)       .

b)        

c)       .

20.    

a)    .

b)     e .

c)    AC: ; BC: .

d)     

 

 

 

 

Actualizada em
 27-06-2011