Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo 2002/03          Circunferência, círculo, elipse, superfície esférica e esfera                               10.º Ano

 

1.    A equação  define uma circunferência.

a)    Indica o centro e o raio dessa circunferência.

b)   Desenvolve os casos notáveis e representa a equação na forma .

Solução

2.    Averigua se as equações seguintes representam ou não circunferências e, em caso afirmativo, indica os respectivos centro e raio.

a)         b)           c)  

Solução

3.    Caracteriza por uma condição cada uma das seguintes regiões planas coloridas:

                         

Solução

4.    Determina a equação reduzida da elipse definida por .

Solução

5.    Determina a equação reduzida da elipse de focos F (3, 0) e
F’ (-3, 0) e semieixo maior igual a 5.

Solução

6.    A elipse de equação  está inscrita num rectângulo de lados 2a (horizontal) e 2b (vertical).
Justifica que a circunferência de centro B e raio a corta o eixo Ox em F e F’ (focos da elipse).

Solução

7.    Partindo da circunferência de equação , encontra uma equação da figura geométrica que dela se obtém quando cada ponto M (x, y) é transformado noutro, M’ (x’, y’) em que  e .

Solução

8.    A condição  representa uma esfera.
Determina o centro e o raio.

Solução

9.     

a)    Determina uma condição que defina a parte da esfera representada, sabendo que o raio do círculo de centro C’ (distância de C’ a A) é  e que esse círculo é paralelo ao plano xOy.

b)   O sólido da figura intersecta algum dos planos coordenados? Justifica.

Solução

10. Determina o centro e o raio da circunferência definida pela condição:
                        .

Solução

11. Qual o lugar geométrico dos pontos do espaço que obedecem à condição  (em  )?

Solução

12. Observa a figura ao lado.
Ox e Oy são eixos de simetria do rectângulo [ABCD] inscrito na circunferência.
O ponto A tem as coordenadas (-2, 3).
Determina:

a)    As coordenadas dos pontos B, C e D.

b)   A distância de A a C.

c)    A medida da área tracejada.

Solução

13. [EFGH] é um rectângulo inscrito na circunferência de centro (0, 0) e raio 5 unidades.

a)    Escreve a equação da circunferência.

b)   Qual é a ordenada de F sabendo que a sua abcissa é 4?

c)    Determina uma condição que caracterize a região sombreada da figura.

Solução

14. O círculo da figura ao lado, de centro (0, 0) e raio 3, está dividido em três regiões pintadas de cores diferentes.

a)    Qual será a região de maior área? E de maior perímetro?
Confirma a tua conjectura efectuando os cálculos necessários

b)   Determina uma condição que defina a região 1.

Solução

15. Escreve a equação da superfície esférica de centro no ponto de coordenadas (-1, 2, 0) e tangente ao plano de equação .

Solução

16. Identifica a superfície esférica definida pela equação .

Solução

17. Qual o valor real que deve ter o parâmetro m para que a equação  represente:

a)    um ponto? (indica as coordenadas desse ponto)

b)   um conjunto vazio?

Solução

18. Relaciona m e a (parâmetros reais) de forma que a equação  represente uma superfície esférica de raio 4.

Solução

19. Determina o centro e o raio da circunferência definida por: .

Solução

20. Determina a equação reduzida da elipse formada pelos pontos cuja soma das distâncias a  e  é 12 unidades.

Solução

21. Determina a equação reduzida da elipse cujo semieixo maior é 5, tem centro em (0, 0) e passa pelo ponto (4, 1).

Solução

22. Caracteriza por uma condição a seguinte região sombreada:

Solução

23. Considera a circunferência de centro no ponto de coordenadas (1, -2) e raio . Indica as coordenadas de três pontos de modo que um seja interior, outro exterior e o terceiro pertencente à circunferência.

Solução

24. Descreve o conjunto de pontos do espaço representados por cada uma das seguintes condições:

a)                     b)              c)  

Solução

25. Na figura estão representadas duas circunferências concêntricas de centro C (2, 3). Uma contém o ponto (2, 0) e a outra o ponto de coordenadas (0, 3).
As rectas r e s são paralelas aos eixos coordenados.
A recta s contém o ponto de coordenadas (0, 4) e a recta r contém o ponto de coordenadas (1, 0).
Define por uma condição o conjunto de pontos de coordenadas representado a sombreado na figura.

Solução

26. Como sabes, a Terra move‑se à volta do Sol com uma órbita elítica e o Sol ocupa um dos seus focos. Em termos aproximados, o semieixo maior da órbita tem 149 milhões de quilómetros de comprimento e a excentricidade é .
Desprezando os seus raios, determina, em Km:

a)    a distância mais curta entre a Terra e o Sol;

b)   a maior distância entre o Sol e a Terra.

NOTA: A excentricidade e de uma elipse com semieixo maior a ou b e semi‑distância focal c é  ou , respectivamente.

Solução

27. Considera as duas elipses de equações  e .
Indica as coordenadas dos pontos de intersecção com os eixos e representa as duas elipses no mesmo referencial.
Obtém as coordenadas dos pontos de intersecção das duas elipses.

NOTA:  Tenta resolver o problema recorrendo à visualização e às simetrias das elipses.

Solução

28. Considera, num referencial do espaço, uma esfera de centro na origem e raio r. Define o conjunto dos pontos da superfície esférica que estão à distância k do plano xOy.
Discute a influência da relação entre k e r neste conjunto de pontos.

Solução

 

 

SOLUÇÕES


1.     

a)    C (-1, 3) e

b)  

2.     

a)    C (2, -3) e

b)   C (-1, -2) e

c)    Conjunto vazio

3.     

a)   

b)  

c)   

4.   

5.   

6.     

7.     (elipse)

8.    C (3, -1, 1) e

9.     

a)   

b)   Apenas intersecta o plano yOz.

10. C (1, 0, 1) e

11. Superfície cilíndrica que intersecta o plano xOy segundo uma circunferência de centro (3, -5, 0) e raio 2 unidades.

12.  

a)    B (2, 3); C (2, -3) e D (-2, -3)

b)  

c)     (2 c.d.)

13.  

a)   

b)   -3

c)   

14.  

a)     e

b)    

15.

16. Superfície esférica de centro (2, -4, 1) e raio 3

17.  

a)    ; C (2, -4, 1)

b)  

18.

19. C (-1, 1, 0) e

20.

21. Para ;
Para

22.

23. Interior: A (1, -2) (p.e.);
Exterior: B (1, 1) (p.e.);
Na circunferência: C (1, -2+  ) (p.e.)

24.  

a)    Esfera de centro na origem e raio 4.

b)   Conjunto de pontos do espaço que não pertencem à esfera de centro no ponto de coordenadas (1, -2, 3) e raio .

c)    Círculo em , pertencente ao plano xOy, centrado em (0, 0, 0) e de raio 2.

25.

26.  

a)    146.467.000 Km

b)   151.533.000 Km

27. ( , 0);  ( , 0);  (0,  );  (0,  ).
( , 0);  ( , 0);  (0,  );  (0,  ).
(1, 1); (-1, -1); (1, -1) e (-1, 1).

 

28. O lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância dada de um plano são dois planos paralelos a ele.
Neste caso, os planos de equações  e .

Se , os planos não intersectam a superfície esférica e o conjunto de pontos é vazio.

Se , o corte são dois pontos:
                        (0, 0, k) e (0, 0, -k).

Se , os cortes são duas circunferências:
         .

O Professor

 

 

Actualizada em
 27-06-2011