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PROBLEMA DE EULER

Euler resolveu o problema, que vamos tratar, num "memorando" à Academia de S. Petersburgo em 1736. O problema consistia em saber se era possível fazer um passeio a começar e a acabar num mesmo ponto, passando por todas as partes da cidade de Königsberg (actualmente Kaliningrad?) e atravessando todas pontes, mas uma só vez cada uma delas.

Acontece que a cidade de Königsberg se organizava em volta do rio Pregel e inclui a ilha Kneiphof, mais ou menos como mostra a figura:

Na ilustração o rio está traçado a azul e as pontes a cinzento. O território da cidade está marcado a verde com manchas avermelhadas.

O modelo tomado por Euler para resolver o problema consistia em representar as ilhas e as zonas da cidade por pontos e as pontes por linhas unindo esses pontos, como se mostra na figura:

 

Assim, o problema de Euler pode agora ser enunciado como segue:

Dado um conjunto de pontos {A, B, C, D} como o da figura, em que alguns deles estão ligado por linhas (rectilíneas, curvas ou tortuosas...), será possível realizar um percurso que tenha o seu início e o seu termo num dos pontos, passando por todas as linhas e não mais do que uma vez por cada uma delas?

Euler resolveu o problema geral. Mas o que nós pretendemos nesta altura é fazer um esforço para estudar o problema particular e discuti-lo em linguagem corrente e com apoio de figuras.


TAREFA 1.

(a) Estude e discuta o problema em linguagem corrente.

(b) Desde então, já foram construídas mais duas pontes em Königsberg. Se a decisão de construção lhe coubesse, quantas e onde mandaria que fossem construídas novas pontes?


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