INICIAÇÃO À TEORIA DE GRAFOS

Formador: Arsélio de Almeida Martins
Duração: 50 Horas
Destinatários: Professores dos 1º, 4º, 5º e 11º Grupo A do 3º Ciclo e Ensino Secundário das escolas TRENDS

 
 
Razões Justificativas da Acção:
O Centro de Formação José Pereira Tavares tem mantido uma actividade constante de apoio às iniciativas de formação dos professores de Matemática das escolas associadas. Assim se foram tomando medidas para prevenir as dificualdades que se iriam levantar à prática lectiva com o ajustamento dos programas de Matemática - Calculadoras Gráficas no ensino secundário de atemática; Oficinas de Matemática - e assim se têm tomado medidas para permitir a discussão e formar uma opinião sobre as futuras diversificações dos programas de Matemática - Tópicos de
Matemática Contemporânea. Das iniciativas para o próximo ano, destacam-se actividades de ormação ligadas ao projecto Nónio XXI, ao projecto TRENDS e à instalação do Laboratório de Matemática.
Esta iniciativa de formação de iniciação à teoria de grafos aproveita da experiência já iniciada com os tópicos de matemática contemporânea e pretende alargar a outros professores o conhecimento, embora a um nível elementar, de alguns aspectos da teoria de grafos como modelo para tentar resolver alguns problemas reais. Pretende-se, ao mesmo tempo, trabalhar estes assuntos com professores de outros ramos de saber que possam ganhar (e dar a ganhar aos professores de Matemática) com os conhecimentos sobre grafos e com as competências (combinatórias) que acabarão por adquirir e que utilizarão em situações e problemas novos.
Integrada no conjunto de iniciativas globais do projecto TRENDS - Training Educators through Networks and Distributed Systems, que utiliza computadores e telecomunicações, esta acção pretende desenvolver hábitos de procura e crítica dos materiais pesquisados na Internet. De qualquer modo, os professores aprenderão a utilizar a Internet para pesquisar sobre o seu assunto de estudo e ficarão armados de uma competência transferível para a resolução de qualquer outra necessidade de formação.
Esta iniciativa constitui um poderoso meio para estudar um assunto (com a maior abertura) que abrirá novas perspectivas de participação aos professores, enquanto os põe em contacto com professores de outros ramos do saber e os prepara para o contacto com o mundo do seu assunto e, noutra altura, para procurar outras fontes de informação sobre quaisquer outros assuntos.
Objectivos a Atingir:
Relativamente ao tema de estudo, pretende-se que os professores melhorem as suas artes combinatórias, a capacidade de conceber modelos para resolver problemas realistas, que se habituem a ensaiar resoluções por tentativas, bem como a conjecturar sobre a economia e a rentabilidade das soluções aproximadas. Há algum esforço para introduzir hábitos de pensamento relativizado pela economia de processos e iniciar os professores na construção de algoritmos.
E pretnde-se, é claro, introduzir a teoria de grafos (embora a um nível muito elementar e como modelo para resolver alguns problemas reais) e tópicos de optimização.
Iniciar-se-á também um debate sobre a utilidade de um tema como a teoria de grafos numa situação de diversificação do programa de matemática.
Dos outros pontos de vista, pretende-se que os professores adquiram competências ao nível da utilização de computadores e telecomunicações, em particular ao nível das ferramentas com que se vai trabalhar - de consulta, de troca de opiniões, de trabalho cooperativo,...
- e pretende-se criar hábitos de procura intencional na Internet, bem como reflexão crítica sobre as ligações e os materiais disponíveis para consulta.
Pretende-se, pela via da prática dos professores, introduzir novas metodologias e relações pedagógicas transferíveis e capazes de produzir mudanças efectivas na leccionação, em particular, aquelas que vêm da utilização das novas tecnologias de informação e comunicação no ensino (Internet, Intranet, etc).
 
 
Conteúdos da Acção:
I
Um grafo para um problema (Um exemplo de um problema e de um grafo).
Concretização de situações e problemas que podem resolver-se utilizando grafos como modelo.
limpeza das ruas de um bairro; patrulhamento; distribuição postal; rotas comerciais; planos de férias; etc.
 
II
Modelos, teorias e técnicas matemáticas aplicáveis às ciências de gestão; optimização.
 
GRAFOS
 
Redes de estradas (arestas)
  • Circuitos de Euler, Teorema de Euler
  • Eulerização de circuitos (em particular de malhas rectangulares)
  •  
    Redes de cidades (vértices)

    Circuitos de Hamilton

    Árvores e problemas de contagem Problema do Caixeiro Viajante

    III  

     
     
    Notas: Desde o princípio, o formando é chamado a utilizar os meios informáticos disponíveis: quer para consultar os tutoriais fornecidos pelo formador, quer para responder às questões abertas que forem levantadas e desenhar as respostas a disponibilizar on-line, ou ainda para consultar bases de informação sobre assuntos em discussão
     
     
     
    Metodologia de Realização da Acção:
    O formador disponibiliza inicialmente um conjunto de problemas e os aspectos teóricos (elementares) em base on-line de informação científica (texto de apoio, glossário, índice temático - html).
    Em cada passo - página html, o formador propõe o passo seguinte que pode ser de resposta a inquérito sobre aspectos
    do tuturial (para avançar a outra etapa);
    de passagem a outra etapa ou a outro texto de apoio;
    de procura de informação na Internet;
    de construção de exemplo ou contra exemplo, formulação de conjectura, demonstração, resolução de problema,
    algoritmo;
    de composição/dissertação (aprofundamento científico, proposta didáctica, crítica sobre a procura, sobre um problema, ...)
     
    Cerca de 25 horas serão essencialmente teóricas de estudo e discussão teórica, sendo as restantes
    essencialmente práticas, de estudo e trabalho individual.
     
    Individualmente, os formandos escolhem aspectos teóricos para estudar ou são conduzidos a propostas de trabalho. Os estudos, as tentativas de resolução, as críticas, etc são reunidos em bloco de estudo que fica disponível on-line para serem apreciados e melhorados pelo colectivo dos formandos e pelo formador.
    De qualquer modo, por acção dos formandos poderão ser modificadas as abordagens previstas inicialmente.
     
     
    Regime de Avaliação dos Formandos:
    A avaliação é feita sobre os trabalhos individuais, participação e qualidade da participação nas discussões on-line dos trabalhos.
     
     
     
    Bibliografia:
    (1) "Solution problematis ad Geometriam situs pertinentis." Commentarii Academiæ Scientiarum Petropolitanae, 1736, Leningrad, 1741, vol viii, pp. 128-140., referido em
    (2) Rouse Ball, Coxeter; Mathematical Recreations and Essays, 13th Ed, Dover Pulbications, New York: 1986 pp 243.
    (3) Cardoso, Domingos; Tópicos sobre grafos e problemas combinatórios, Universidade de Aveiro:1997
    (4) Ore, Oystein; Theory of Graphs; American Mathematical Society, Colloquium Pub, vol 38, Providence (USA):1987
    (5) Rosenstiehl, Pierre; Grafo in Enciclopédia Einaudi, vol 13 -Lógica/Combinatória; Lisboa: 1988
    (6) Bastos, Margarida e Guedes de Oliveira, António; A Matemática nos Fulerenos, in Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática, nº 32, pp.37-43 Lisboa. (referido em (3))
    (7) Hart, Eric; Algorithmic Problem Solving in Discrete Mathematics, in The teaching and learning of Algorithms in School Mathematics, 1998 YearBook, NCTM; pp. 251-267; Reston (USA):1998
    (8) Leake, Lowell; The travvelling Salesperson: Some algorithms are different, in The teaching and learning of Algorithms in School Mathematics, 1998 YearBook, NCTM; pp. 268-273; Reston (USA):1998
    (9) Toth, Gabor; Glimpses of algebra and geometry; Springer-Verlag; New York:1998
    (10) Malkevitch, J., Meyer, R., Meyer, W.; Management Science, in For all pratical purposes - Introduction to Contemporary Mathematics; Consortium for Mathematics and its Applications; W.H. Freeman and Company; New York: 1994

     
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